1、1第 4 版数量关系模块宝典节选上篇数字推理上篇数字推理第一章基本知识与基本思维第一节基础数列基础数列六大类型：(1)常数数列；(2) 等差数列； (3)等比数列；(4)质数型数列；(5) 周期数列；(6)简单递推数列。一、常数数列由一个固定的常数构成的数列叫做常数数列。【例 1】3 ，3 ，3，3，3，3 ，3，3 ，3，二、等差数列相邻两项之差（后项减去前项）等于定值的数列叫做等差数列。【例 2】3 ，5 ，7，9，11，13 ，15，17，三、等比数列相邻两项之比（后项除以前项）等于定值的数列叫做等比数列。【例 3】3 ，6 ，12，24，48，96 ，192 ， 备考要点“等差数列”与
2、“等比数列”的基本概念在考试当中基本没有意义，对于考生来说，重要的是以下两点：(1)快速地判断出某个中间数列是等差数列还是等比数列，抑或两者皆不是；(2)迅速将数列对应规律的下一项计算出来。四、质数型数列质数数列：由质数构成的数列叫做质2数数列。【例 4】2 ，3 ，5，7，11，13 ，17，19，合数数列：由合数构成的数列叫做合数数列。【例 5】4 ，6 ，8，9，10，12 ，14，15，质数基本概念只有 1 和它本身两个约数的自然数叫做质数；除了 1 和它本身之外还有其他约数的自然数叫做合数。注意：1 既不是质数，也不是合数。五、周期数列自某一项开始重复出现前面相同（相似）项的数列叫做
3、周期数列。【例 6】1 ，3 ，7，1，3，7 ，【例 7】1 ，7 ，1，7，1，7 ，【例 8】1 ，3 ，7，-1，-3，-7，周期数列基本原则一般来说，数字推理当中的周期数列（包括未知项）至少应出现两个“3-循环节”，或者三个“2-循环节”，此时其周期规律才比较明显。故在一般情况下，要判断一个数列有无周期规律，加上未知项，至少要有六项。项数过少的数列称其为“周期数列” 过于牵强，此时这种数列如果还有其他规律存在，则优先考虑其他规律。六、简单递推数列数列当中每一项等于其前两项的和、差、积或者商。【例 9】1 ，1 ，2，3，5，8 ，13，（简单递推和数列）【例 10】37，23，14，
4、9 ，5，4 ，1，（简单递推差数列）【例 11】2，3，6，18，108，1944 ， （简单递推积数列）3【例 12】256，32， 8，4，2 ，2，1，2，（简单递推商数列）本章总结在公务员考试中，以上基础数列都相对比较简单，直接考查以上各种基础数列的题目也并不是很多，但各位考生一定要注意以下两点：1.在规律不变的前提下，可能只是由于数字稍加变化，规律就可能变得模糊；2.作为复杂数列的中间数列，大家对基础数列一定要“烂熟”。第二节数字敏感一、单数字发散“单数字发散”概念即从题目中所给的某一个数字出发，寻找与之相关的各个特征数字，从而找到解析试题的“灵感”的思维方式。“单数字发散”基本思
5、想1.分解发散针对某个数，联系其各个因子（即约数）及其因子的表示形式（包括幂次形式、阶乘形式等），牢记典型质数与“典型形似质数”的分解方式。2.相邻发散针对某个数，联系与其相邻的各个具有典型特征的数字（即“基准数字”），将题干中数字与这些“基准数字”联系起来，从而洞悉解题的思想。常用幂次数平方数底数 12345678910 平方 149162536496481100 底数11121314151617181920 平方 121144169196225256289324361400底数 21222324252627282930 平4方 441484529576625676729784841900
6、立方数底数 12345678910 立方 1827641252163435127291000 多次方数指数底数123456789102248163264128256512102433927812437294416642561024552512562566362161296常用幂次数记忆1.对于常用的幂次数字，考生务必将其牢记在心，这不仅对数字推理的解题很重要，对数学运算乃至资料分析试题的迅速、准确解答都起着至关重要的作用。2.很多数字的幂次数都是相通的，比如7299336272，2562844 162 等。3.“2129”的平方数是相联系的，以 25 为中心，24 与 26、23 与 27、2
7、2与 28、21 与 29，它们的平方数分别相差 100、200、300 、400。常用阶乘数（定义：n 的阶乘写作 n!。n!=1234（n-1）n ）数字 1 2 3 4 5 6 7 阶乘 1 2 6 24 120 720 5040200 以内质数表（特别留意划线部分）2、3、5 、7、11、13、17 、19、23、29、31、37、41、43、47 、53、59、61、67、71、73、79、83、89 、97、101、103、107 、109、113、127、131、137、139、149、151 、157 、163、167、173 、179、181、191 、193、197、199
8、“质数表” 记忆1.“2、3、5、7 、11 、13、17、19”这几个质数作为一种特殊的“ 基准数”，5是质数数列的“旗帜” ，公务员考试中对于质数数列的考核往往集中在这几个数字上。2.83、89、97 是 100 以内最大的三个质数，换言之 80 以上、100 以下的其他自然数均是合数，特别需要留意 91 是一个合数（91=713 ）。3.像 91 这样较大的合数的“质因数分解”，也是公务员考试中经常会设置的障碍，牢记 200 以内一些特殊数字的分解有时可以起到意想不到的效果，可将其看作一种特殊意义上的“基准数” 。常用经典因数分解91=713 111=337 119=717 133=71
9、9 117=913 143=1113 147=721 153=917 161=723 171=919 187=1117 2091911有了上述“基准数 ”的知识储备，在解题中即可以此为基础用“ 单数字发散”思维解题。例如：题目中出现了数字 26，则从 26 出发我们可以联想到：又如：题目中出现了数字 126，则从 126 出发我们可以联想到：【例 1】（江苏 2004B 类）4，6 ，10，14，22，（）。A. 30 B. 28 C. 26 D. 24答案C解析4，6，10 ，14，22 ，（26）分别是 2，3，5 ，7，11，（13）的两倍。【例 2】（国家 2005 一类-32）2，3
10、 ，10 ，15 ，26，（）。A. 29 B. 32 C. 35 D. 376答案C解析212+1；322-1；1032+1 ；1542-1；2652+1；（3562-1）。点评这里用到 2625 1。【例 3】（国家 2007-43）0，9 ，26，65，124，（）。A. 165 B. 193 C. 217 D. 239答案C解析013-1；923+1；2633-1 ；6543+1；12453-1；（21763+1）。点评这里用到 2627 1。【例 4】3 ，4 ，8，26，122，（）。A. 722 B. 727 C. 729 D. 731答案A解析31!2； 42!2；8 3! 2
11、；264!2；1225!2 ；（）6!2 722。点评这里用到阶乘基准数字。【例 5】-1 ，0，4， 22，118，（）。A. 722 B. 720 C. 718 D. 716答案C解析-11!-2；0 2!-2；43!-2；224!-2；1185!-2；（）6!-2718。点评这里用到阶乘基准数字。二、多数字联系7“多数字联系”概念即从题目中所给的某些数字组合出发，寻找之间的联系，从而找到解析试题的“灵感” 的思维方式。一般来说，大约 75%的情况下我们研究数列当中“三个数片断”的“多数字联系” ；20%的情况下研究“两个数片断”的“多数字联系” ；在数列较长的情况下，偶尔研究“四个数片断
12、”的“多数字联系”。“多数字联系”基本思想1.共性联系：把握数字之间的共有性质；2.递推联系：把握数字之间的递推关系。例如：题目中出现了数字 1、4 、9，则从 1、4、9 出发我们可以联想到：【例 6】4 ，9 ，25，49，121， ()。A. 144 B. 169 C. 196 D. 225答案B解析4,9,25,49,121,（169）的平方根构成质数数列2,3,5,7,11,（13）。点评这里用到了多数字联系 22,32,52,72,112,132 的基本思想。【例 7】1 ，4 ，9，（），1，0。A. 2 B. 4 C. 8 D. 16答案C解析1，4，9 ，（8 ），1，0 可
13、以写成 50，41 ，32，23，14，05。点评这里用到了多数字联系 50,41,32 的基本思想。【例 8】3 ，1 ，4，9，25，（）。A. 16 B. 64 C. 256 D. 5128答案C解析从第三项开始，每一项等于前面两项差的平方。点评这里用到了多数字联系 9=（4-1 ）2 的基本思想。【例 9】1 ，4 ，9，15，18，（）。A. 9 B. 33 C. 48 D. 51答案A解析从第三项开始，每一项等于前面两项差的 3 倍。点评这里用到了多数字联系 9=（4-1 ）3 的基本思想。【例 10】1，4，9，22，53，（）。A. 75 B. 97 C. 128 D. 150
14、答案C解析第三项第一项+第二项的倍，第四项第二项+第三项的倍，以次类推，第六项第四项+第五项的倍。点评多数字联系 9=42+1。【例 11】1，4，9，29，74，（）。A. 103 B. 132 C. 177 D. 219答案D解析第三项第一项的 5 倍+第二项，第四项第二项的 5 倍+第三项，依此类推，第六项第四项的 5 倍+第五项。点评多数字联系 9=4+15。第三节数列试错在讲述“数列试错 ”的概念之前，我们先看看以下三个例子：【例 1】1,2,（）,67,131。9A. 6 B. 10 C. 18 D. 24【例 2】1,2,（）,22,86。A. 6 B. 10 C. 18 D.
15、24【例 3】1,2,（）,37,101。A. 6 B. 10 C. 18 D. 24【分析】以上三道题目的题干当中都含有五个数字，并且未知项都在正中间。因此，如果数列当中相邻数字两两作差，得到的次生数列（这个概念后面章节马上会讲到）当中的四个数中，中间两个是不知道的，需要我们“先猜后验”从而得到最终答案。巧合的是，以上三题两两作差得到同样的次生数列：1,（）,（）,64【例 1 解析】如果猜测该次生数列是一个等差数列，则应为形式：1,22,43,64，从而得到例 1 的答案，选择 D：【例 2 解析】如果猜测该次生数列是一个等比数列，则应为形式：1,4,16,64，从而得到例 2 的答案，选
16、择 A：【例 3 解析】如果猜测该次生数列是一个立方数列，则应为形式：1,8,27,64，从而得到例 3 的答案，选择 B：【总结】例 1例 3 都是通过“相邻两项两两做差 ”得到同样的“次生数列”从而得到答案的，然而对这个“次生数列” 的三种不同“ 猜测”分别对应以上三个不同的例题，其对应性需要我们进行“验算” 来确定。因此，这三个例题告诉我们一个非常重要的道理：在考场上，我们需要进行很多大胆的“尝试”，但并非每一次尝试都会成功，有时候我们需要通过“数列试错”来剔除错误答案，并最终得到正确答案。10下面，我们再来看看另外三个类似的例子：【例 4】15,20,33,62,123,（）。A. 1
17、94 B. 214 C. 248 D. 278【例 5】-1,6,25,62,123, （）。A. 194 B. 214 C. 248 D. 278【例 6】3,2,27,62,123, （）。A. 194 B. 214 C. 248 D. 278【分析】以上三道题目的题干当中都含有六个数字，其中未知项是最后一项。这三道题都可以看作是“幂次修正数列” ，其突破口就在最后两个已知数字上，即：62 与 123。在看以下解析之前，大家可以试着自己从这两个数字入手，通过寻找与之相邻的幂次数（相邻发散），找到各题的答案。【例 4 解析】如果猜测“123=128-5=27-5” 的话，那么我们可以得到例 4 的答案为 C：原数列：15 20 33 62 123（248）基准数列：8 16 32 64 128 256（2 的幂次数列）修正数列：741-2-5-8（等差数列）【例 5 解析】如果猜测“123=125-2=53-2” 的话，那么我们可以得到例 5 的答案为 B：原数列：-16 25 62 123（214 ）基准数列：18 27 64 125 216（立方数列）修正数列：-2-2-2-2-2-2（常数数列）【例 6 解析】如果猜测“123=121+2=112+2”的话，那么我们可以得到例
