1、1、通用轴承优化设计方法滚动轴承是广泛应用于各类机械中的基础件。轴承的好坏直接影响到机械产品的质量，而轴承的质量与轴承的设计、材料、加工工艺等密切相关，其中轴承的设计起着至关重要的作用。良好的设计是保证轴承具有长寿命、高可靠性和优良性能的重要基础。对于不同用途的轴承如滚动轴承，滑动轴承、静压轴承等，优化设计的目标函数也不相同的，作为通用标准的滚动轴承，其优化设计的目标函数基本类似，大都是追求最长的疲劳寿命，即额定动载荷为最大，优化设计可采用单目标函数的方法，也可采用双目标或多目标函数的方法。对于特殊用途的轴承，则应将特殊的使用条件作为目标函数来进行优化设计，设计出满足用户要求的轴承。过去人们采
2、用传统的设计方法，凭借经验、图表和类比的办法，借助有限的人工计算次数，得到有限的设计方案，而确定出的设计结果却不能令人满意。而今，随着科学技术的发展、数学规划理论进一步完善以及计算机的普及、机械设计方法与技术水平的提高、科技成果的不断丰富，使得轴承设计技术有了极大的发展，产生了如优化设计技术、计算机辅助设计（CAD)、可靠性设计、仿真设计技术等，这些新技术的推广、对加速轴承产品的开发与应用，改变轴承工业的面貌将会起到非常重要的作用。1.1 优化设计概念人们做任何事情都希望用最少的付出得到最佳的效果，这就是优化问题。工程设计中，设计者更是力求寻求一种合理的设计参数，以使得由这组设计参数确定的设计
3、方案满足各种设计要求，又使其技术经济指标达到最佳，即实现优化设计。但是常规的工程设计，由于设计手段和设计方法的限制，设计者不可能在一次设计中得到多个方案，也不可能进行多方案的分析比较，更不可能得到最佳的设计方案。因此，人们只能在漫长的设计生产过程中，通过不断地搜索与改进，逐步使设计方案趋于完善。所谓优化设计，就是借助优化设计、数值计算方法和计算机技术，求取工程问题的优化设计方案。进行优化设计时，首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组由数学表达式组成的设计参数。这组设计参数就是设计的最优解。1.2
4、 优化设计特点优化设计过程都是在计算机上完成的，与传统的设计方法相比较，虽然采用同一个基本理论，使用同样的设计公式，遵守同样的设计规范，但因采用计算方法和计算工具不同，而具有如下特点。1.2.1 设计思想是最优设计传统的设计只是以达到规定的设计要求为止，它只是一个可行方案。而优化设计是以达到最优指标为目的，它是许多可行方案中的最优方案。1.2.2 设计的计算工具是计算机由于优化设计的工具是用计算机进行的，因此，不但可以采用较精确的数学模型和分析方法，而且使分析的范围（变量的数目与范围）扩大。计算速度快，设计周期短。1.2.3 设计的方法是最优化方法优化设计用的方法是最优化方法，方案的调整是计算
5、机按照最优化方法沿着改善方案的方向自动进行。直至选出最优方案。因此，优化设计是保证产品具有良好的性能，提高产品质量，缩短设计周期，降低产品造价的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。1.3.优化设计的相关参数1.3.1 设计变量的选择1.设计变量是能影响设计质量或结果的可变参数。但如果将所有能影响设计质量的参数都列为设计变量，将使问题复杂化，而且也没有必要。因此，应对影响设计指标的所有参数进行分析、比较，从中选择对设计质量确有显著影响且能直接控制的独立参数作为设计变量，其它参数则作为常量处理。在优化设计问题
6、中，设计变量太多，将使问题变得复杂化；而设计量太少，则设计的自由度少，不能求得最优化的结果。因此，应根据具体问题综合考虑这两个方面，合理地选取设计变量。2.确定设计变量的原则A.设计变量应是相互独立的优化方法是在 n 维空间内进行的，要求设计变量是相互独立的。B.对目标函数影响大的设计变量应是对目标函数影响较大的那些变量，而且设计变量序列将使目标函数没有明显的极值存在。在满足设计要求下，应充分分析各变量的主次，减少变量的数目，以简化优化过程。1.3.2 目标函数的建立1.目标函数是以设计变量来表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式，通常，设计所要追求的性能指标较多，显然应以其中最重要的指标
7、作为设计追求的目标，建立目标函数。例如：对于一般机械的设计，可以按质量或体积最小的要求建立目标函数，对于精密仪器则应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数。对于滚动轴承优化设计的目标可以按最长接触疲劳寿命设计，最大静载荷能力设计，最小平均摩擦力矩设计，最佳润滑及最小振动噪声设计等等，一般是最长接触疲劳寿命设计也就是最大额定动载荷设计。在优化设计中，可将所追求的设计目标用设计变量的函数形式表达出来，这一过程成为建立目标函数。即目标函数是设计中预期要达到的目标，表达为各设计变量的函数表达式： ),()21nxfxf，它代表设计的某项最重要的特征，例如上面所提到的质量，体积、精度以及疲劳寿命等。目
8、标函数是设计变量的函数，优化设计的过程就是优选设计变量使目标函数达到最优值，或找出目标函数的最小值（或最大值）的过程。在优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数，当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的优化问题。在一般的机械优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。对于多目标函数，可以将它们分别独立地列出来： ),(),)()212211nqqnxfXfff，也可以把几个设计目标综合到一起，建立一个综合的目标函数表达式，即：B. )()(1ffjq 为设计所追求的目标数目。2.选取目标函数的原则A.所选的目标函数应
9、能评价设计优劣的指标B.目标函数必须与所选的设计变量有关，而且能够直接或间接地写成表达式；C.目标函数可以是一个，也可以是多个，应根据设计问题的性质而定。1.3.3 关于约束条件的确定如前所述，目标函数取决于设计变量，而在很多实际问题中设计变量的取值范围是有限制的或必须满足一定的条件。在优化设计中，这种设计变量取值时的限制条件，称为约束条件或设计约束，简称约束。约束形式，可能是对某个或某组设计变量的直接限制，这时称为显约束；也可能是对某个或某组设计变量的间接限制，这时称为隐约束。约束条件可以用数学等式或不等式来表示。等式约束对设计变量的约束，严格起着降低设计自由度的作用。等式约束可能是显约束，
10、也可能是隐约束，其形式为： ),21(0)PXh，在机械优化设计中不等式约束更为普遍，不等式约束形式为：或 ),()mugu，1.3.4 优化方法的选择通常在选择优化方法时，首先应明确数学模型的特点。例如问题的规模（即维数，目标函数及约束函数的数目） ，目标函数及约束函数性质（例如函数的非线性程度，连续性及计算时的复杂程度）以及计算精度等。这些特点是选择优化方法的主要依据。选择优化方法时，必然要考虑它本身及其计算程序的特点，例如，该方法是否已有现成的程序可用，编制程序所花费的代价；程序的通用性或普遍性，即能否用它来解多种类型的问题，解题规模；使用该程序的简便性及计算机执行该程序需要花费的时间和
11、费用；程序的机动性；该方法的收敛速度、计算精度、稳定性及可靠性。2、几种常用的优化方法优化方法很多，不管是何种方法，其关键总可归纳为：1.将有约束目标函数优化变成无约束目标函数优化。2.寻找无约束目标函数最优点的方向。3.确定寻找无约束目标函数最优点的步长。解决这三个问题所采用的方法不同便存在不同的优化方法。通常所采用的方法有：二次插值法、网格法、拉格朗日乘子法、惩罚函数法、共轭梯度法、函数双下降法等等。2.1 基本数学概念2.1.1 函数的梯度函数 在给定点的梯度量是一向量，它的大小就是函数在该点方向导数的最大值，)(xf它的方向垂直于函数过该点的等值面，且指向函数增大的方向。一般的说，若研
12、究对象是函数 ，则其梯度可表示为：nExf),(Tnxfxf ,)(,)(212.1.2 极值问题的一般概念A.一元函数的极值问题定义，设函数 在区间（a，b)内有定义， 是（a， b）内的一个点，如果存在着)(xf 0x点 的一个邻域，对于这邻域内的任何点 x 除了点 外， 均成立，就说0x )(0xf是函数 的一个极大值；如果存在着点 的一个邻域，对于这邻域内的任何一)(f)(xf 0点 x，除了点 外， 均成立，就说 的一个极小值。0)(0xf)(xf函数的极大值和极小值概念是局部性的，一般是指在特定的某个邻域成立，而在整个定义域不一定是最大或最小值。函数 的极值点和极值可通过下面步骤进
13、行计算：)(xf1）求出导数 ；f2）求出 的全部驻点（即求出方程 =0 在所讨论的区间内的全部实根）)(x)(xf3）考虑 的符号在每个驻点的左、右邻近的情形，以便确定该驻点是否是极值点，f如果是极值点，可根据下面的方法判断其为极大还是极小，然后计算其值。判断极大极小方法：如果函数 在点 的一个邻域内可导且 =0：)(xf0 )(xfa）如果 x 取 左侧邻近值时， 恒为正；当 x 取 右侧邻近值时， 恒为负，0)(xf 0)(xf那么函数在 取得极大值。b）如果 x 取 左侧邻近值时， 恒为负；当 x 取 右侧邻近值时， 恒为正，0)(xf 0)(xf那么函数在 取得极小值。B.共轭方向的
14、基本概念设 A 为一个 阶对称矩阵，P、Q 为两个 n 维向量，若 ，则称向量 P 和n 0AQPTQ 为 A 共轭。C.设计空间及可行域出 n 个设计变量可以组成一个 n 维的设计空间。其中满足所有约束条件的点称为可行设计点（简称可行点） ，实际上就是规范要求一个设计方案，所有可行点组成的区域称为可行域。2.2 常用的优化方法2.2.1 二次插值法在求解一元函数 的极小点时，常常利用一个低次多项式 来逼近原目标函数，)(xf )(xP然后求出该多项式的极小点，并以此作为目标函数 的近似极小点。)(xf例如：设 为函数 的一个插值多项式，那么 的极小值点必定是方程)(xP)(xF=0 的根。只
15、要求出这个方程的根，再加以判断，就可以得到函数 极小值点的近)(x )(xF似位置。F(x)考虑问题 )(xF2min1x若已经求出 ，并且满足 ，我们可以通过),0)()(2001xFxF，三点 作一条二次抛物线 来拟合函数 ，如上)(,(),(, 21xx P)(图。即令： ，则它应该满足条件：210)()(aP)()()( 22102 00121 xFaxx对于二次函数 而言，它为抛物线，其顶点的横坐标即为最优解。设为 x，则它满)(P足 ，所以 。02)(1xax )2/(1ax式中的系数 a1 和 a2 可由上述方程组求出。求出后代入 x 式中，求 x，若 x 与 x0 充分接F(x
16、) P(x)0 X1 X X0 X min X2近，即如果预先给定允许误差 ，而当 时，我们就把 x 看成是 在区间0x0 )(F上的近似最优解；否则在 与 中间找出最大者，在注意保持 值的21x， )(Fx“高低高”的前提下，缩短区间，构成新的三点，继续进行二次插值。2.2.2 网格法网格法是一种解非线性规划的直接法，这种方法的特点是算法简单，直观性强，对函数无特殊要求，应用时不需繁琐的公式推导，计算量和计算时间随设计变量个数的增多而迅速增加，所以该方法适用于维数较低的问题。网格法的基本思路是：首先估计设计变量的区域，在估计的区域范围内归分网格（各个设计变量估计区域内划分的网格数可以是相等的
17、也可以是不相等的） ，形成网格点；然后求满足约束条件情况下网格点的目标函数值，并比较它们的大小，从中选择最优值；接着在目标函数最优点的附近加密网格，在求它们的目标函数值，比较优劣；直至网格点之间的间距小于设计精度为止，这时所得到的最小目标函数值的点，即为问题的最优解。网格的具体做法是：（1）估计设计变量的区域设函数为 ，)(xfnE满足约束 j=1,m.0gj我们还假定变量的取值范围为已知：i=1,niibxa（2）划分网格点首先将区间 分成 等分（i=1，n） 。记ia,iri=1，niirbh则网格点的始点为： i=1，niiax)0(中间点： t=1,2， i=1，niitith)( 1
18、r终点： i=1，niribx)(这样，整个设计区域内形成了 R 个网格点，而)1()(12nrrR（3）加密网格对 R 个网格点，逐个计算检查，看是否满足约束条件 ，对满),1(,0)mjxgj 足 的点 再比较 ，从中找出最小值对应的点，设为),1(,0)(mjxgkj )(kx)(kxf，如果对于事先给定的精度 ，不满足 ，我们再在 附近取小区域，再进行分)(t ih)(tx割。设 ，则下一次考虑的区间为：Ttnttt xx),()(2)1)， i=1，n)(itia)1(itib在新的区域 i=1，niix重复前面进行检验约束和比较目标函数的值，直到 为止。ih2.2.3 拉格朗日乘子
19、法拉格朗日乘子法对于等于约束条件下和不等式约束条件下多变量函数的寻优都可使用。1.等式约束条件下拉格朗日乘子法的计算方法A.等式约束时极值存在的必要条件对于二元函数来说，设目标函数为 ，等式约束为： 。在无约束),(21xf 0),(21xg条件时，极值点存在的必要条件为：，即 （21）021xf 0)()(21dxffd当有等式约束时，除了以上的关系式仍成立外，还必须满足（22）0)()(21xgxdg这就是说，在等式约束条件下，使 f 为极小的 dx1 与 dx2 已不能任意选取，必须满足式（22） 。由（21）及式（22）可得：（23）)/(/)(112xgdxf即 （24）0()122
20、1ff这就是在等式约束下使目标函数 f 为极小的必要条件。B.拉格朗日乘子法的计算方法式（24）可改写为： （25）)/()/(1xgfxf令此比值等于一个可正可负的常数 ：（26）)/()/(1xgfxf则 即称为拉格朗日待定乘数，或简称为拉格朗日乘子。于是由式（26） ，连同得：0),(21xg（27）0),(211xgfgf解此联立方程式可得 及 即求出极值点。方程组（27）相当于求解一个无1x， 约束的函数 ：gfL(28）),(),(),( 212121 xxx的极值点。此函数极值点存在的必要条件为：（2 9）021Lx此式（27）的结果。这个新定义的函数 L 称为拉格朗日函数。若将
21、式（27）代入（21） ，得：（ 210）dgxdf2)(这表明：在极值点附近， 为目标函数 随约束条件 g 的微变化而变化的比率。综上f所述，通过应用拉格朗日乘子，可使求等式约束条件下函数 f 极小点，成为求拉格朗日函数 L 的驻点。这种引进待定乘子 ，将有等式约束的寻优问题转化为无约束的寻优问题的做法，称为拉格朗日乘子法。例： （211）)8(4106)( 212121 xxxXf （212）0)8(24321121xLx解此联立方程组，得： 17,3,521 fx以上是用拉格朗日乘子法解忧等式约束的寻优问题。下面讲一下用拉格朗日乘子法解不等式约束的寻优问题。2.不等式约束条件下拉格朗日乘
22、子法的计算方法A.拉格朗日乘子法的计算方法拉格朗日乘子法不仅可以用于解具有等式约束的非线性规则问题，而且也可以用于解具有不等式约束的非线性规划问题。对于不等式约束条件，可设法引入松弛变量，使不等式变为等式。然后按等式约束条件下拉格朗日乘子法的计算方法求解。例如，若不等式约束为：（213）0)(21cbxaXg我们引入松弛变量 。由于在非线性规划中，没有变量为非负的约束，即不要求3， （其中 i=1,n)。因此，为保证不等式成立，引入的松弛变量均用平方项，以保证0ix该引入项为非负的。由此可得：（214）0)(2321xcbaxXg这样就可把不等式约束变换为等式约束。然后，再用拉格朗日乘子法求解
23、。例如，约束条件为：024)(63121xXg求目标函数的最小值，即（215）min6)( 1212xfS第一步：加松弛变量 ，使不等式约束变换为等式约束：43x、（216）0)(211Xg（217）422 x第二步：引入拉格朗日函数 )24()643()6()(, 2122311212 xxxxXgfL （218）式（218）中，有 6 个未知变量 ，若用求导的办法求极值，14321、可有 6 个偏导数方程式，然后求出这 6 个未知数。这样计算时比较冗繁的。第三步：引入新函数 Z2421 23213 2112121)(2)( )64() )46)(xxgxLZmRxnii在计算时先给定一个初
24、始点 ，然后用计算机迭代计算，可求出最优解为：)0(X459.1x45.2x3x357.1430min.S2.2.4 惩罚函数法惩罚函数法是一种是用很广泛、很有效的间接解法。它的基本原理是将约束优化问题),21(0).minlkxhjgtsfki中的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合成新的目标函数惩罚函数 lkmjj xhGrxgrxfrx12121 )()()(,(求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。为此，按一定的法则改变加权因子 和 的值，构成一系列的无约束优化问题，求得一系列的无约束最优1r2解，并不断地逼近原约束优化问题的最优解。因此惩罚函数法
25、又称序列无约束极小化方法，常称 SUMT 法。式中的 称为加权转化项。根据它们在惩罚函数中的作用，lkmjj xhHrxgGr121 )()(和又分别称为障碍项和惩罚项。障碍项的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约束条件时，在迭代过程中将迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。根据迭代过程是否在可行域内进行，惩罚函数法又可分为内点惩罚函数法，外点惩罚函数法和混合惩罚函数法三种。下面主要介绍内点惩罚函数法。内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。对于只具有不等式约束的优化问题),21(0)(.minmjxgtsfi转化后的惩罚函数形式为 mjjjjxgrxfrrfr11)(ln)(,()()(,(或式中 r惩罚因子，它是由大到小且趋近于 0 的数列，即
