1、2008 年中考试卷分类函数与几何图形（2）1. 如图 4，正方形 ABCD 的边长为 10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形 ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形 ABCD 各边平行或垂直若小正方形的边长为 x，且 0x10，阴影部分的面积为 y，则能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是（ D ）2. （连云港）如图，现有两块全等的直角三角形纸板，它们两直角边的长分别为 1 和 2将它们分别放置于平面直角坐标系中的 AOB，COD 处，直角边 OB，OD 在 x 轴上一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板沿直尺边缘平行移动当纸板移动至 PEF 处时，设 PE，PF 与 OC 分
2、别交于点 M，N，与 x 轴分别交于点 G，H （1）求直线 AC 所对应的函数关系式；（2）当点 P 是线段 AC（端点除外）上的动点时，试探究：点 M 到 x 轴的距离 h 与线段 BH 的长是否总相等？请说明理由；两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及 S 取最大值时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为 1 和 2，知 AC， 两点的坐标分别为 (12)， ， ， 设直线 所对应的函数关系式为 ykxb 2 分有 21kb， 解得 3k，所以，直线 AC所对应的函数关系式为 3yx 4 分（2）点
3、M到 x轴距离 h与线段 BH的长总相等因为点 的坐标为 (21)， ，所以，直线 O所对应的函数关系式为 12yx又因为点 P在直线 AC上，所以可设点 的坐标为 (3)a， 过点 M作 x轴的垂线，设垂足为点 K，则有 Mh因为点 在直线 O上，所以有 (2)， 6 分AOEG BFHNCPIxyM（第 24 题答图）KII因为纸板为平行移动，故有 EFOB ，即 GH 又 EFP，所以 HG法一：故 RttRtMKPE ，从而有 12得 12Gh， (3)a所以 Oh又有 1()(1)2Ha 8 分所以 3()2h，得 ，而 1BHOa，从而总有 B 10 分法二：故 RttPGFE ，
4、可得 2GFP故 1(3)2Ha所以 13()(1)2Oa故 G点坐标为 ()0a， 设直线 P所对应的函数关系式为 ycxd，则有30(1)2acd， 解得 23a所以，直线 PG所对的函数关系式为 (3)yx 8 分将点 M的坐标代入，可得 4()ha解得 1ha而 1BHOa，从而总有 BH 10 分由知，点 的坐标为 (21)， ，点 N的坐标为 2， ONHGS 13(1)2aOGh22131348aa 12 分当 时， S有最大值，最大值为 取最大值时点 P的坐标为 32， 3. （沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 ABOC 的边 BO 在 x 轴的负半轴上，边 OC 在
5、y 轴的正半轴上，且 AB=1，OB= 3，矩形 ABOC 绕点 O 按顺时针方向旋转 600 后得到矩形 EFOD点A 的对应点为点 E，点 B 的对应点为点 F，点 C 的对应点为点 D，抛物线 y=ax2+bx+c 过点A，E，D （1）判断点 E 是否在 y 轴上，并说明理由；（ 2）求抛物线的函数表达式；（3）在 x 轴的上方是否存在点 P，点 Q，使以点 O，B，P，Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形 ABOC 面积的2 倍，且点 P 在抛物线上，若存在，请求出点 P，点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）点 在 y轴上 1 分理由如下：连接 AO，如图所示，在 RtAB
6、中， 1， 3B，21sinB， 30由题意可知： 6E9OA点 B在 x轴上， 点 在 y轴上 3 分（2）过点 D作 Mx轴于点1， 30在 RtO 中， 12， 3O点 D在第一象限，点 的坐标为 3， 5 分由（1）知 2EOA，点 E在 y轴的正半轴上点 的坐标为 (0)，点 的坐标为 31， 6 分抛物线 2yaxbc经过点 E，c由题意，将 (31)A， ， 2D， 代入 2yaxb中得3214ab解得8953ab所求抛物线表达式为： 289yx9 分（3）存在符合条件的点 P，点 Q 10 分理由如下： 矩形 ABOC的面积 3BA以 ， ， ， 为顶点的平行四边形面积为 2由
7、题意可知 为此平行四边形一边，又 3OB边上的高为 2 11 分依题意设点 P的坐标为 ()m，点 在抛物线 28539yx上28539解得， 10m， 281()P， 253，以 OBQ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 3，当点 1P的坐标为 (02)， 时，点 Q的坐标分别为 1， ， 2()Q， ；当点 2的坐标为 538， 时，点 的坐标分别为 312， ， 4328， yxODECFAB M4. （徐州）如图 1，一副直角三角板满足 ABBC，AC DE，ABCDEF 90，EDF30【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板
8、 DEF绕点 E 旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q【探究一】在旋转过程中，（1） 如图 2，当 C1A时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明.（2） 如图 3，当 E时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由.（3） 根据你对（1） 、 （2）的探究结果，试写出当 CEAm时，EP 与 EQ 满足的数量关系式为_,其中 m的取值范围是 _(直接写出结论，不必证明)【探究二】若，AC30cm，连续 PQ，设EPQ 的面积为 S(cm2)，在旋转过程中：（1） S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由
9、.（2） 随着 S 取不同的值，对应 EPQ 的个数有哪些变化？不出相应 S 值的取值范围.5. （河南）如图，直线 43xy和 x 轴、y 轴的交点分别为B、C，点 A 的坐标是（-2 ，0）（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时，MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S=4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；
10、在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求 t 的值6. 如图 20，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3） 平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M、N，直线 m运动的时间为 t（秒） (1) 点 A 的坐标是_，点 C 的坐标是_； (2) 当 t= 秒或 秒时，MN= 2AC；(3) 设OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；(4) 探求(3) 中得到的函数 S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由解：(1)（4，0）
11、， （0，3） ； 2 分(2) 2，6； 4 分(3) 当 0t4 时，OM =t由OMNOAC，得 OCNAM， ON= t3，S= 28t 6 分当 4t8 时，如图， OD=t， AD= t-4 方法一：由DAMAOC，可得 AM= )4(3t， BM =6- t43 7 分由BMNBAC，可得 BN= BM=8-t， CN=t-4 8 分S=矩形 OABC 的面积-RtOAM 的面积- RtMBN 的面积- RtNCO 的面积=12- )4(23t- 1（8-t） （ 6- t43）- )4(2t= 8 10 分方法二：易知四边形 ADNC 是平行四边形， CN =AD=t-4，BN
12、=8-t 7 分由BMNBAC，可得 BM= BN43=6- t， AM= )4(3t 8 分以下同方法一(4) 有最大值方法一：当 0t4 时， 抛物线 S= 283t的开口向上，在对称轴 t=0 的右边， S 随 t 的增大而增大， 当 t=4 时， S 可取到最大值 2483=6； 11 分当 4t8 时， 抛物线 S= t32的开口向下，它的顶点是（4 ，6） ， S6 综上，当 t=4 时， S 有最大值 6 12 分方法二： S=230488ttt， ， 当 0t8 时，画出 S 与 t 的函数关系图像，如图所示 11 分显然，当 t=4 时， S 有最大值 67. （郴州）如图
13、10，平行四边形 ABCD 中，AB5，BC10，BC 边上的高 AM=4，E 为 BC 边上的一个动点（不与 B、C 重合） 过 E 作直线 AB 的垂线，垂足为 F FE 与 DC 的延长线相交于点 G，连结 DE，DF （1） 求证：BEF CEG （2） 当点 E 在线段 BC 上运动时，BEF 和 CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由 （3）设 BEx，DEF 的面积为 y，请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？（1） 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 ABDG 1 分所以 ,CEBFE所以 F 3 分（2） B
14、 与 的周长之和为定值 4 分理由一：过点 C 作 FG 的平行线交直线 AB 于 H ，因为 GFAB，所以四边形 FHCG 为矩形所以 FHCG，FGCH因此， EFG 与 的周长之和等于 BCCHBH 由 BC10，AB5，AM4，可得 CH8，BH 6，所以 BCCHBH24 6 分理由二：由 AB5，AM4，可知 在 RtBEF 与 RtGCE 中，有：AMxHGFEDCB4343,5555EFBEGCE，所以，BEF 的周长是 12B， ECG 的周长是 12又 BECE10 ，因此 FA与 的周长之和是 24 6 分（3）设 BEx，则 43,(10)5ExGCx所以 216()
15、52 5yDx 8 分配方得： 26()6x 所以，当 5时，y 有最大值 9 分最大值为 1268. （镇江）如图，在直角坐标系 xoy 中，点 P 为函数 214yx在第一象限内的图象上的任一点，点 A的坐标为（0，1） ，直线 l过 B（0，-1）且与 x 轴平行，过 P 作 y 轴的平行线分别交 x 轴， l于C，Q，连结 AQ 交 x 轴于 H，直线 PH 交 y 轴于 R （1）求证：H 点为线段 AQ 的中点；（2）求证：四边形 APQR 为平行四边形；平行四边形 APQR 为菱形；（3）除 P 点外，直线 PH 与抛物线24yx有无其它公共点？并说明理由（1）法一：由题可知 1
16、AOCQ90AOH， H， （1 分）C，即 为 AQ的中点 （2 分）法二： (01)， ， ()B， ， OB （1 分）又 Qx 轴， H （2 分）（2）由（1）可知 AQ， RHP，ARP， P，RAHPQ （3 分），又 ， 四边形 AR为平行四边形 （4 分）设 214Pm， ， PQy 轴，则 (1)m， ，则 214PQm过 作 Gy轴，垂足为 ，在 tG 中，22211144AP P平行四边形 QR为菱形 （6 分）（3）设直线 为 ykxb，由 OHC，得 2m， ， 214， 代入得：201.4mkb，21.4mb， 直线 PR为 2yx （7 分）设直线 PR与抛物线
17、的公共点为 2x， ，代入直线 关系式得：22104mx， 21()04m，解得 x得公共点为 214m， 所以直线 PH与抛物线 2yx只有一个公共点 P9. （无锡）如图，已知点 A 从（1，0）出发，以 1 个单位长度/秒的速度沿 x 轴向正方向运动，以 O， A 为顶点作菱形 OABC，使点 B，C 在第一象限内，且AOC=60 0， ；以 P（0，3）为圆心，PC 为半径作圆设点 A 运动了 t 秒，求：（1）点 C 的坐标（用含 t 的代数式表示）；（2）当点 A 在运动过程中，所有使 P 与菱形 OABC 的边所在直线相切的 t 的值解：（1）过 C作 Dx轴于 ，O， t，1c
18、os602， 3(1)sin602tOC，点 C的坐标为 3()tt， （2 分）（2）当 PA与 OC相切时（如图 1） ，切点为 C，此时 PO，cos30， 32tA，12t （4 分）当 PA与 O，即与 x轴相切时（如图 2） ，则切点为 O， PC，过 作 EC于 ，则 1EC， （5 分）13cos022t， 3t （7 分）当 PA与 B所在直线相切时（如图 3） ，设切点为 F， P交 OC于 G，则 FOC， (1)2tGD，3()sin0tP （8 分）过 作 Hy轴于 ，则 22PHC，213(1)3(1)ttt，化简，得 2()8()270tt，解得 1936，0t，
19、所求 t的值是 312， 和 936110. (辽宁) 如图 14，在 RtABC 中，A=90 0,AB=AC,BC=4 2，另有一等腰梯形 DEFG（GFDE ）的底边 DE 与 BC 重合，两腰分别落在 AB,AC 上，且 G,F 分别是 AB,AC 的中点 （1）求等腰梯形DEFG 的面积；（2）操作：固定 ABC，将等腰梯形 DEFG 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 方向向右运动，直到点 D 与点 C 重合时停止设运动时间为 x 秒，运动后的等腰梯形为 DEFG（如图15） 探究 1：在运动过程中，四边形 BDGG 能否是菱形？若能，请求出此时 x 的值；若不能，请BADOP Cxy图 1yxBCPO AE图 2yxAFC BPOGH图 3
