1、1初中数学讲座 反比例函数及其应用 知识与方法如果两个变量 y 与 z 的关系可以表示成 y= （k 为常数，x0）的形式，那x么称 y 是 x 的反比例函数反比例函数 y= 的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为双曲线。k反比例函数有下列性质：反比例函数 y= 的图象中两支曲线都与 x 轴、y 轴不相交；并且当 kO 时，x在第一、第三象限内，函数值随自变量取值的增大而减小；当 k0, OB=| |=3 3, AB=m.3S AOB = OBAB= m= ,m=2. 点 A 的坐标为 A（-212，2） 。把 A（- ，2）的坐标代入 中，得 ，3kyx3k231,a。 。1a31令 y=
2、0，得 =0， x= .点 C 的坐标为 C（ ，0） 。3x 3ABx 轴于点 B， ABC 为直角三角形。AC 2=AB2+BC2=22+（2 ）32， AC=4。在 RtABO 中，由勾股定理，得3AO = ， AO：AC = 222(3)7ABO7:4例 5 （2006 年第 18 届希望杯数学邀请赛试题）某医药研究所开发一种新药成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量 y（毫克）与时间 t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线当每毫升血液中的含药量不少于 0.25 毫克时，治疗有效则服药一次治疗疾病有效的时间为( )(A) 16 小时 (B) 小时 (C) 小时 (D)
3、 17 小时 8715165解 函数 y=kt 经过(1，4)点，所以 k=4，于是 y=kt，即 y=4t又(1， 4)点在反比例函数 上，所以 m=4，tmy于是 即,tmt4依题意可知，当每毫升血液中的含药量达到 0. 25 毫克时，治疗才有效由 y=4t，得 1625.0t由此开始，到含药量少于 0. 25 毫克时，药效停止，含药量不少于 0.25 毫克，即当 时，得 t16.4t所以服药一次治疗疾病有效的时间为 （小时） 。故选(C)165例 6某单位为响应政发出的全民健身的号召, 打算在长和宽分别为 20 米和 11 米和矩形大厅内修建一个 60 平方米的矩形健身房 ABCD, 该
4、健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁的费用为 20 元/ 平方米. 新建( 含装修)墙壁的费用为 80 元/平方米, 设健身房的高为 3 米, 一面旧墙壁 AB 的长为 x 米, 修建健身房墙壁的总投入为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式；(2)为了合理利用大厅, 要求自变量 x 必须满足条件：8x12. 当投入的资金为 4800 元, 问利用旧墙壁的总长为多少米？解 （1）根据题意，AB=x, ABBC=60, 所以 ，60BCxy=203 606083.3.xxy即4(2)当 y=4800 时有 4800= ，603x整理得 x2-16x+60=0, 解得 x1=6, x2
5、=10. 经检验，x 1=6, x2=10。都是原方程的根。由 8x12，只取 x=10.故可以利用旧墙壁的总长度为 10+ 米。60例 7如图，正方形 OABC，ADEF 的顶点 A、D、C 在坐标轴上，点 F 在AB 上，点 B、E 在函数 y= (xO)的图象上，则点 E 的坐标是( )x1)25,1)(A)253,()215,()253,(解 显然，B 点的坐标为（1，1） ， 设 AD=DE=a,则 E（1+a, a） ， (1+a)a=1, a2+a+ = , 即 (a+ )2= , a+ = ,4412于是 a= ，a+1= ,点 E 的坐标是 . 选 A。155)215,(例
6、8(2007 年全国初中数学竞赛试题)如图, 点 A，C 都在函数 3(0)yx的图象上，点 B，D 都在 x轴上，且使得 OAB，BCD 都是等边三角形，则点 D 的坐标为 解 如图，分别过点 A，C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E，F设 OEa，BF b， 则 AE 3a，CF 3b，所以，点A，C 的坐标为（ ， 3） ， （2 b， 3） ，所以23,(),ab解得 ,6a因此，点 D 的坐标为（ 26，0） 5课外练习题一 选择题1如果两点 ， 都在反比例函数 的图象上，那么( ),1(yP),2( xy1(A) (B) (C) (D) 02y01y012021y2 （2007 年
7、全国初中数学联赛浙江省预赛试题）函数 的图像大致形状是图中的（ ）|1xy3如图是三个反比例函数 、 、 在 x 轴上方的图象，那么xky12ky3k1,k2,k3 的大小关系是( )(A) k1k2k3 (B) k2k3k1 (C) k3k2k1 (D) k3k1k24函数 y=kx+k 与 y= 在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( )x5 （2007 年四川省初中数学联赛初二初赛试题）函数 y=2x 与 y 的图象交于 A，B 两点（其中，A 在第一象限） ，过 A 作18AC 垂直于 x 轴,垂足为 C， 则ABC 的面积等于（ ）（A） 6 （B） 9 （C） 12 （D）18 6二
8、 填空题6如果函数 是 y 关于 x 的反比例函数，那么 m 的值是 。1|2mxy7如图 均是等腰直角三角形，点 P、Q 在函数 的图ABQOP、 )0(4xy象上，直角顶点 A、B 均在 x 轴上，则点 B 的坐标为 8 （2007年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题） 若反比例函数y= 的图像与一次函数y=ax +b的图像交于点A(一2，m) 、kxB(5，n) ，则 3a+b 的值等于 9在银行存款准备金不变的情况下, 银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系, 当存款准备金率为 7.5%时, 某银行可贷款总量为 400 亿元, 如果存款准备金率上调到 8%时, 该银行可贷款总量将减少
9、 亿元。10 （2004 年全国初中竞赛湖北预赛试题）如果一次函数 y=mx+n 与反比例函数 的图象相交于点 ，那么该3nxy1(,2)直线与双曲线的另一个交点为 。三 解答题11如图，已知点(1,3) 在函数 的图象上，矩(0)kyx形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上， E 是对角线 BD 的中点，函数 又经过 A,E 两点，点 E 的横坐标为 m.(0)kyx（1）求 k 值；（2）求点 C 的横坐标（用 m 表示） ；（3）当ABD=45 时，求 m 的值。12如图所示, 己知直线 y1=xm 与 x 轴、y 轴分 别交于点A、B, 与双曲线 (xy2.O xyA DCBE713
10、为了预防“ 非典”，其学校对教室采用药熏消毒法进行消毒已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与 x 成反比例（如图所示）现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6 毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：(1)药物燃烧时， y 天于 x 的函数关系式为：_，自变量 x 的取值范围是：；药物燃烧后，y 关于 x 的函数关系式为：_；(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 16 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫
11、克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？14直线 y=x+m 与双曲线 y= 在第一象限相交点xmA，ABx 轴，垂足为 B，S AOB=3. 求 m 的值 ； 设直线 y=x+m 与 x 轴交于点 C，求点 C 的坐标；求 SABC.15 “三等分角”是数学史上一个著名问题, 但仅用尺规不可能“三等分角”, 下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图所示)：将给定的锐角AOB 置于直角坐标系中, 边 OB 在 x 轴上、边 OA 与函数的图象交于点 R, 分别过点 P 和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线, 两直线相交于1y
12、x点 M, 连结 OM 得到MOB, 则MOB= AOB, 要明白帕普斯方法, 请研究13以下问题；(1)设 , 求直线 OM 对应的函数表达式(用含 a, b 的代数式表示. )1(,)PaRb(2)分别过点 P 和 R 作 y 轴和 x 轴的平行线, 两直线相交于点 Q, 请说明 Q 点在直线 OM 上, 并据此证明MOB= AOB. 13(3)应用上述方法得到的结论, 你如何三等分一个钝角(用文字简要说明)课外练习题参考答案81. D2D 当 x0 时，y=- 图像在第四象限；当 x0, 那么 y=kx+k 中，当 k0 时，直线上升且在xky 轴上的截距为正. 所以选(D)；5D联立方
13、程组 解得 A(3,6), B(-3,-6), 故 C(3,0)， 所以.18,2xySABC = 6（3-（-3） ）=186-27. 1580因为点 A(一 2，m) 、B(5，n)在反比例函数的图像上，得 ，又因为点25kmnA(一 2，m) 、 B(5，n)在正比例函数 y=ax+b 的图像上，得 ab得 ， 解得 b = -3a , 所以 3a+b=05kab103kab935010 (1,).2 是 y=mx+n 与 的图象的交点， ,解得 (,)23nxy123.2mn3,1.29则两个函数的表达式为 再解方程组 得 312,.xyx 13,2.yx即直线与双曲线的另一个交点是2
14、11,5.xy 5(1,).211 (1) 3; (2) ; (3)32m612. （1）点 C（-1，2）在直线 y=x+m 上， 2=-1+m，m=3，则直线 AB 的解析式为 y=x+3.又点 C（-1，2）在双曲线 y2= 上，k=-2. 双曲线的解析式为 y= .xk 2x（2）由 解得 D 点的坐标为（-2，1） 。,3.yx1,2,.y（3）根据图象可得：当-2y2.13. (1) ;48,0,4xxy(2) 30；(3)此次消毒有效，因把 y=3 分别代入 求得 x=4 和 16，而,483xy、16-4=1210，即空气中的含药量不低于 3 毫克/m 3 的持续时间为 12
15、分钟，大于10 分钟的有效消毒时间.14设 A 坐标为 (x, x+m). S AOB= OBBA. 21xm)(21整理得 m=6mx206 直线与 x 轴交于点 C.把 y=0 代入 y=x+6 得 x=6, 点 C 的坐标是 (6，0)直线 y=x+m 与双曲线 y= 在第一象限相交点 A，x10解方程组 ，得 即点 A 的坐标是 (3+ ，3+ ).xy6153y 15BC= =3+ SABC= (3+ )(3+ )=12+3 .15321515 （1）设直线 OM 的函数关系式为 y=kx, R,Pa1,bMa则k= 。直线 OM 的函数关系式为 y=ab1,x(2)Q 的坐标为 满足 y= Q 是直线 OM 上。1,a1,xab四边形 PQRM 是矩形，SP=SQ=SM= PR。2SQR=PSO。PR=2OP，PS=OP= PR，POS= PSO 。12PSQ 是SQR 的外角，POS=2SQR。QROB ，SOB= SQR，POS=2 SOB。SOB= AOB。13（3）方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可。方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其他方法）将其三等分即可。
