1、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲 16立体几何综合问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测立体几何是高中数学的重要内容，是考察各种能力的重要载体，考察的方法常常是将计算和推理融为一体。增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。范例选讲例 1如图，已知 面 ，PABC于 D， 。BCA1（1）令 ， ，试把x表示为 的函数，并求其最大值；tan（2）在直线 PA 上是否存在一点 Q，使得 ？Q讲解 （1）为寻求 与 的关系，tanx首先可以将 转化为 。PBDC 面 ， 于 D，PA
2、。BD 。2tan,tan xBPxC 。t1t 2x 为 在面 上的射影。ADPB ，即 。1x AB D PCDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！ 。tan42122xx即 的最大值为 ，等号当且仅当 时取得。ta42x（2）由正切函数的单调性可知：点 Q 的存在性等价于：是否存在点 Q 使得 。tnBACQtn。31aaD令 ，解得： ，与 交集非空。t2x312x1 满足条件的点 Q 存在。点评 本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。例 2 如图所示：正四棱锥 中，
3、侧棱 与底面 所成角的ABCDPPABCD正切值为 。6（1）求侧面 与底面PAD所成二面角的大小；ABC（2）若 E 是 PB 中点，求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值；（3）在侧面 上寻找一点F，使得 EF 侧面 PBC。试确定点F 的位置，并加以证明。讲解： （1）连 交于点 ，连 PO，则 PO面 ABCD，BDAC,O PAO 就是 与底面 所成的角，P tanPAO= 。26设 AB=1，则 PO=AOtanPAO = 。23设 F 为 AD 中点，连 FO、PO，则 OFAD，所以，PFAD，所以， 就PFO是侧面 与底面 所成二面角的平面角。PADBCA BCD P E
4、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！在 Rt 中， ，PFO3tanFOP 。即面 与底面 所成二面角的大小为3ADBC3（2）由（1）的作法可知：O 为 BD 中点，又因为 E 为 PD 中点，所以， EO。/D 就是异面直线 PD 与 AE 所成的角。E在 Rt 中， 。PO252POD 。45E由 ， 可知： 面 B。所以， 。BAAEOA在 Rt 中，O。5102tanE 异面直线 PD 与AE 所成的角为。5102arctn（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面 的PBC一条垂线，
5、然后再平移到点 E 即可。为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：。PFO面面 延长 交 于点 ，连接 。设 为 中点，连接 。BCGPHGGHE, 四棱锥 为正四棱锥且 为 中点，所以， 为 中点，ADFADBC ， 。P 。 面 。FB面PB面 ， ， 为正三角形。G3OFG ， 。HC面A BCD OPEFGHKDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！取 AF 中点为 K，连 EK，则由 及 得四边形 为平行四FKHE/HEKF边形，所以， 。FE/ 。PBC面点评 开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、
6、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。高考真题1（2000 年全国高考题）如图，已知平行六面体 ABCD- 的底面1DCBAABCD 是菱形，且 = = 。CB1D60（I）证明： BD；1（II）假定 CD=2， = ，记面 为 ，面 CBD231为 ，求二面角 的平面角的余弦值；BD（III ）当 的值为多少时，能使 平面 ？1CCA1BD1请给出证明。2（2002 年全国高考）如图：正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1，而且平面ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN=a.0a（）求 MN 的长；（）当 为何值时，MN 的长最小；（）当 MN 的长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 的大小。答案与提示：1。（）略；（） ；（） =1。 2（）31CD；（） 时，MN 的长最小，为 ；21aMN0a2a CD M B ENA FDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！（） 31arcos
