1、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲 21抽象函数型综合问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势范例选讲例 1定义在 R 上的函数 fx满足：对任意实数 ，总有,mnfmnfn，且当 时， 01fx（1）试求 的值；0（2）判断 fx的单
2、调性并证明你的结论；（3）设 ，2, 1,21,AyffyfBxyfaaR若 ，试确定 a的取值范围B（4）试举出一个满足条件的函数 f讲解：（1）在 fmnfn中，令 1,0mn得：1f因为 ，所以， 0f0f（2）要判断 fx的单调性，可任取 ，且设 12,xR12x在已知条件 mnfn中，若取 ,mn，则已知条件Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！可化为： 2121fxfx由于 ，所以 100f为比较 的大小，只需考虑 的正负即可21fxf、 1fx在 中，令 ， ，则得 mnnmn1fx 时， ，0xfx 当 时， 10ff又
3、 ，所以，综上，可知，对于任意 ，均有 01f1xR10fx 21210xffx 函数 在 R 上单调递减（3）首先利用 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含 的式fx f子 2211fxfyfy即，即 0a20ax由 ，所以，直线 与圆面 21xy无公共点所以，ABy21a解得： 1a（4）如 2xf点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及 等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的1,0mn21,mnx手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决例 2已知定义在 R 上的函数 满足：fxDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！
4、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！（1）值域为 ，且当 时， ；1,0x10fx（2）对于定义域内任意的实数 ，均满足： 1fmfnfn,y试回答下列问题：（）试求 的值；0f（）判断并证明函数 fx的单调性；（）若函数 f存在反函数 ，求证：g211532ggn讲解：（）在 中，令 ，则有fmfnf0,mn即： 01fmff1ffff也即： 20ff由于函数 的值域为 ，所以， ，所以 x1,210fm0f（）函数 f的单调性必然涉及到 ，于是，由已知xy，我们可以联想到：是否有1mnfnf？（）1fmfnf这个问题实际上是： 是否成立？fnf为此，我们首先考虑函数 的奇偶性，
5、也即 的关系由于xfxf与，所以，在 中，令 ，得0f1fmfnfnm0fmf所以，函数 为奇函数故（）式成立fxDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！所以， 1fmfnffmn任取 ，且 ，则 ，故 且12,xR12x0x210fx所以，f212121fxffxfx所以，函数 在 R 上单调递减（）由于函数 在 R 上单调递减，所以，函数 必存在反函数fx fx，由原函数与反函数的关系可知： 也为奇函数； 在 上单gx gxg1,调递减；且当 时， 10x0x为了证明本题，需要考虑 的关系式在（）式的两端，同时用 作用，得： ，g1f
6、mfnng令 ，则 ，则上式可改写为：,fmxfny,mxy1ggx不难验证：对于任意的 ，上式都成立（根据一一对应）,xy这样，我们就得到了 的关系式这个式子给我们以提示：即可以将g写成 的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端213nxy事实上，由于，211211 232nnnn 所以， 2 112ggn所以， 253Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！11123421122gggnngg点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定 的值0f高考真题1（2001 年全国高考题）设 是定义在 R 上的偶函数，其图像关于fx直线 对称，对任意 都有 ，且yx12,0,x1212fxfx10fa（）求 及 ；12f4f（）证明： 是周期函数；fx（）记 ，求 12naflimna2（2002 北京高考题）已知 是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对fx于任意的 都满足：,abRfabfa（）求 的值；0,1f（）判断 的奇偶性，并证明你的结论；x（）若 ，求数列 的前 项的和 *22, nnffuNnunS答案与提示：1（） ；（）略；（）1/21/4,faf 2（） ；（）奇函数；（）limn0a0ffDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！12nS
