1、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲 19二次曲线与二次曲线100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题( 两圆的交点除外)” 但是，在解答某些问题时（如 1990 年全国理科 25 题），难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往显得较为
2、复杂，这类问题要特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解题步骤范例选讲例 1讨论圆 与抛物线 的位置关系21:1Cxay2:Cyx讲解：圆 是以 为圆心，1 为半径的圆，从草图不难,0a发现，当 时，圆与抛物线无公共点；a当 时，圆与抛物线相切；当1时，圆与抛物线相交；而当时，圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断为此，我们需借助方程组的解的个数来加以说明21xay把 代入 ，整理得： （）221xay22110xa此方程的判别式 54可以看到：当 时， ；当 时， ；当 时， 054a054事实上，当 时，的确有圆与抛物线相切；当 时，圆与抛物线无aa公共点而当 时，虽然有方程（）的 ，但
3、圆与抛物线却并不总有54公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（）的过程中，忽略了条件 事实上，方程组解的个数等于方程（）的非负解的个数0x综上，圆 与抛物线 的位置关系如下：21:1Cay2:Cyx当 或 时，圆与抛物线无公共点；当 时，圆与抛物线相切a541a（只有一个公共点）；当 时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当时，圆与抛物线相交（三个公共点）；当 时，圆与抛物线相交1 54（四个公共点）；当 时，圆与抛物线相切（两个公共点）54a点评：
4、双二次曲线的问题，要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价例 2 已知椭圆 ，它的离心率为 直线21:0xyCab3，它与以原点为圆心，以 的短半轴为半径的圆 相切:lyx1 O（）求椭圆 的方程；1（）设椭圆 的左焦点为 ，左准线为 动直线 垂直 于点 ，线段CF1l2l1P的垂直平分线交 于点 试点 到圆 上的点的最短距离PF2lMO讲解：（） 直线 与以原点为圆心，以 b 为半径的圆相切:2lyx b又 椭圆的离心率为 3 3a 椭圆 的方程为 1C213xy（）由（）可得：椭圆 的左焦点 的坐标为 ，左准线 的方1CF1,01l程为： 3x连接 ，则 由抛物线的定义不难知道：点 M 的
5、轨迹为以FMP为焦点，以 ： 为准线的抛物线，其方程为： 1,01l3x24yx所以，点 到圆 上的点的最短距离，实际上就是抛物线 与ODoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！圆 上的点的最短距离下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这2xy个问题解法一：首先，如果抛物线上点 A 与圆上点 B 之间距离最小，则 AB 必过圆心 O（否则，连接 OB、OA，设 OA 交圆于点 N，则NAOAOB AB AB，即 NABA，与 AB 最小矛盾所以，只需rr求出圆心 O 到抛物线上点的最短距离即可）在抛物线上任取一点 M（x,y ），则22244
6、Mxyxx由于 所以， （等号当且仅当时取得）x所以，上述最短距离为 2Or解法二：用纯代数的方法去思考设 为抛物线上任意点，2,Mm为圆上任意点，cosinQ则 222cossinm446223cs448osmm46224等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为 和 时取得,0M2,0Q点评：方法二需要较强的代数变形的能力，充分运用图形的几何性质可以使得问题简化例 3已知双曲线 和椭圆 有相同的1C2焦点 和 ，两曲线在)0,1cF（ )0(),2c第一象限内的交点为 P椭圆 与 y 轴负半2F1 O F2 xQ ByPDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D
7、) 资料分享我做主！轴交于点 B，且 三点共线， 分有向线段 的比为 1：2，又直线FP、 22FPB与双曲线 的另一交点为 ，若 P1CQ532（）求椭圆 的离心率2（）求双曲线 和椭圆 的方程12C讲解：（）要求椭圆 的离心率，可以先只考虑与椭圆 有关的条2 2C件注意到： 三点共线，且 分有向线段 的比为 1：2所以，若BFP、 22FPB设椭圆的方程为：，210xyab则点 P 的坐标为 代入椭圆方程，可解得椭圆的离心3, 2bc率 3e（）由（）可得椭圆的方程为： ，点 P 的坐标为213xyc直线 PB 的方程为：32, Pc 设双曲线的方程为： ，则 21,0xymn22nc 在
8、双曲线上，3, 2Pc 22914n化简得： 故 2c234mc将直线 PB 的方程代入双曲线方程 ，消去 y，得：21xycDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！2204870xc解得 1239, 1xc从而 22 3105FFQxc 椭圆方程为 ，双曲线方程为 218y21xy点评：解答本题，最大的问题在于：所给条件杂乱无序，不知从何入手为此，应该理清头绪，层层递进，分步解答高考真题（1988年全国高考题）直线L的方程 ，其中 ；椭圆的中2px0心为 ，焦点在x轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶,0pD点为 问：p在那个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，他们中,A每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离2(1990 年全国高考题) 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点 到这个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆的3e30,2P 7方程，并求椭圆上到点P 的距离等于 的点的坐标7答案与提示：1 ； 2 103p21, 3,42xy
