1、中考压轴题专题训练 11 （本题满分 10 分）已知：如图 12，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC5cm，CD6cm，DCB60，ABC90。等边三角形 MPN（N 为不动点）的边长为 cm，边 MN 和直角梯形 ABCD 的底边 BC 都在直线 上，a lNC8cm。将直角梯形 ABCD 向左翻折 180，翻折一次得到图形，翻折二次得图形，如此翻折下去。（1）将直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长 a2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？（2）将直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形 ABCD 的面
2、积，这时等边三角形的边长 a 至少应为多少？（3）将直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？解：（1）重叠部分的面积等于 （2）等边三角形的边长 a 至少为 10cm（3）等边三角形的边3cm长为 c)2(2 （本题满分 12 分）如图 1，已知抛物线的顶点为 A(O，1)，矩形 CDEF 的顶点 C、F 在抛物线上，D、E 在 轴上，CF 交 y 轴于点 B(0，2)，且其面积为 8x(1)求此抛物线的解析式；(2)如图 2，若 P 点为抛物线上不同于 A 的一点，连结 PB 并延长交抛物线
3、于点 Q，过点 P、Q 分别作 轴的垂线，垂足分别为 S、R求证：PBPS；判断SBR 的形状；试探索在线段 SR 上是否存在点 M，使得以点 P、S、M 为顶点的三角形和以点 Q、R、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出 M 点的位置；若不存在，请说明理由.解：方法一：B 点坐标为(02)，OB2，矩形 CDEF 面积为 8，CF=4.C 点坐标为(一 2，2)F 点坐标为(2，2)。设抛物线的解析式为 其过三点 A(0，1)，C(-22)，F(2，2)。2yaxbcIP12MADC BN得 解这个方程组，得124xabc1,04abc此抛物线的解析式为 2yx (3 分)方法二：B 点坐
4、标为(02)，OB2，矩形 CDEF 面积为 8，CF=4.C 点坐标为(一 2，2)。 (1 分)根据题意可设抛物线解析式为 。 其过点 A(0，1)和 C(-22)2yaxc 解这个方程组，得124ca 1,4此抛物线解析式为 214yx(2)解：过点 B 作 BN ，垂足为 NSP 点在抛物线 y= 十 l 上可设 P 点坐标为 214x21(,)4aPS ，OBNS2，BN 。2aaPN=PSNS= (5 分)1在 Rt PNB 中APB 22221()()44PNBaaPBPS (6 分)1根据同理可知 BQQR。 ，2又 ，3 ，同理 SBP (7 分)5 180 9 .SBR S
5、BR 为直角三角形 (8 分)错误！未找到引用源。方法一：设 ，,PSbQRc由知 PSPBb ， 。BcPQbc 222()()c 。 (9 分)SR假设存在点 M且 MS ，别 MR 。x2bcx若使PSMMRQ，则有 。2bcx即 20 。12xbcSR2M 为 SR 的中点. (11 分)若使PSMQRM，则有 。2bcxx 。bc 。21MRxbcQBROSPSM 点即为原点 O。综上所述，当点 M 为 SR 的中点时 PSM MRQ；当点 M 为原点时，PSM MRQ (13 分)方法二：若以 P、S、M 为顶点的三角形与以 Q、M、R 为顶点的三角形相似， ，90R有 PSM M
6、RQ 和 PSMQRM 两种情况。当 PSM MRQ 时 SPM RMQ， SMP RQM由直角三角形两锐角互余性质知 PMS+ QMR 。90 。 (9 分)90PQ取 PQ 中点为 N连结 MN则 MN PQ= (10 分)12(QRPSMN 为直角梯形 SRQP 的中位线,点 M 为 SR 的中点 (11 分)当PSMQRM 时，RQBSP又 ，即 M 点与 O 点重合。点 M 为原点 O。综上所述，当点 M 为 SR 的中点时， PSMMRQ；当点 M 为原点时， PSMQ RM (13 分)3 （本题满分 12 分）如图 15，点 在 轴上， 交 轴于 两点，连结 并延长交 于 ，过
7、点 的直PyAxB，PAC线 交 轴于 ，且 的半径为 ， 2yxbD54A（1）求点 的坐标；BC，（2）求证： 是 的切线；PA（3）若二次函数 的图象经过点 ，2(1)6yxaB求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数 值的 的取值范围2yxb解：（1）如图 4，连结 CAOPB 2O，22 541P OP是 的直径 （也可用勾股定理求得下面的结论） A90B， C 2AC， ， （写错一个不扣分）(20)B (1)() xy图 15（2） 过 点 2yxb C6 26yx当 时， 6 分 03(0)D， 1A，1OBAOP 90POBDC C90（也可用勾股定理逆定理证明
8、） 7 分AB是 的切线 8 分C P（3） 过 点2(1)6yxa (20)，9 分0 10 分2yx4 （本题满分 12 分）已知抛物线 y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设 A 是(1)所确定的抛物线上位于 x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于 B，DCx 轴于 C.当 BC=1 时，求矩形 ABCD 的周长；试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时 A 点的坐标；如果不存在，请
9、说明理由解：（1）由已知条件，得：n 21=0解这个方程，得： n 1=1 ，n 2=1；当 n=1 时，得 y=x2+x，此抛物线的顶点不在第四象限；当 n=1 时，得 y=x23x，此抛物线的顶点在第四象限；所求的函数关系式为 y=x23x (4 分)(2)由 y=x23x，令 y=0，得 x23x=0，解得 x1=0 ，x 2=3；抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0）它的顶点为（ ） ，对称轴为直线 x=49,3BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知 OB= 12B（1，0）点 A 的横坐标 x=1，又点 A 在抛物线 y=x23x 上，点 A 的纵坐标 y=1231=2。AB=|y
10、|=2矩形 ABCD 的周长为：2（AB+BC）=6 (8 分)点 A 在抛物线 y=x23x 上，可以设 A 点的坐标为（x，x 23x） ，B 点的坐标为 （x，0） 。 （0x 23BC=32x，A 在 x 轴的下方，x 23x0AB=| x 23x |=3xx 2矩形 ABCD 的周长 P=2（3xx 2）+（32x） =2（x ） 2+13a=20当 x= 时， 矩形 ABCD 的周长 P 最大值是 。 (12 分)115 （本题满分 11 分）如图 16，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为 15，边 OA 比 OC 大 2E 为 BC 的中点，以 OE为直径的O交 轴于
11、D 点，过点 D 作 DFAE 于点 Fx（1） 求 OA、OC 的长；（2） 求证：DF 为O的切线； （3） 小明在解答本题时，发现AOE 是等腰三角形由此，他断定：“直线 BC 上一定存在除点E 以外的点 P，使AOP 也是等腰三角形，且点 P 一定在O外” 你同意他的看法吗？请充分说明理由解：（1）在矩形 OABC 中，设 OC=x 则 OA= x+2，依题意得(2)15x解得： 23,（不合题意，舍去） 2xOC=3， OA=5 (4 分)（只要学生写出 OC3，OA5 即给 2 分）（2）连结 OD 在矩形 OABC 中，OC=AB，OCB=ABC=90 ，CE=BE= 052 O
12、CEABE EA=EO 1=2在O中， OO= OD 1=3 3=2 ODAE， DFAE DFOD又点 D 在O上，OD 为O的半径 ，DF 为O切线。 (8 分)(3) 不同意. 理由如下: 25 当 AO=AP 时，以点 A 为圆心，以 AO 为半径画弧交 BC 于 P1和 P4两点过 P1点作 P1HOA 于点 H，P 1H = OC = 3，A P 1= OA = 5A H = 4， OH =1 求得点 P1（1，3） 同理可得：P 4（9，3） (9 分)当 OA=OP 时，同上可求得:：P 2（4，3） ，P 3（ 4，3） (11 分) 图 16 y O C B A E D F
13、 x 因此，在直线 BC 上，除了 E 点外，既存在O内的点 P1，又存在O外的点 P2、P 3、P 4，它们分别使AOP 为等腰三角形。 (12 分)6 （本题满分 12 分）如图、是两个半径都等于 2 的 O1和 O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置， O1和 O2相交于 A、 B 两点，分别连结 O1A、 O1B、 O2A、 O2B 和 AB。（1）如图，当 AO1B=120时，求两圆重叠部分图形的周长 l；(4 分)（2）设 AO1B 的度数为 x，两圆重叠部分图形的周长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(4 分)（3）由(2)，
14、若 y=2x，则线段 O2A 所在的直线与 O1有何位置关系？为什么？除此之外，它们还有其它的位置关系，写出其它位置关系时 x 的取值范围。(4 分)图 16 O C B A E D F y y x P3 P1 P2 P4 H 1 3 2 ABO1 O2第 26 题图ABO1 O2第 26 题图ABO1 O2第 26 题图X=1OLPXYCBA7.如图，点 A 在 Y 轴上，点 B 在 X 轴上，且 OA=OB=1，经过原点 O 的直线 L 交线段 AB 于点 C，过 C作 OC 的垂线，与直线 X=1 相交于点 P，现将直线 L 绕 O 点旋转，使交点 C 从 A 向 B 运动，但 C 点必
15、须在第一象限内，并记 AC 的长为 t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当AOC 和BCP 全等时，求出 t 的值。（2）通过动手测量线段 OC 和 CP 的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。（3）设点 P 的坐标为（1,b）,试写出 b 关于 t 的函数关系式和变量 t 的取值范围。求出当PBC 为等腰三角形时点 P 的坐标。解 （1）t= （3 分）2（2）OC=CP （4 分）过点 C 作 X 轴的平行线，交 OA 与直线 BP 于点 T、H，证OTCCHP 即可 （7 分）（3） （0t1） （10 分）tb21当 t=0 或 1 时，PBC 为等腰三角形，即 P（
16、1.1）, P（1，1 ） （12 分 ）8 （本小题满分 10 分） 已知点 M， N 的坐标分别为（0，1） ， （0，1） ，点 P 是抛物线 214yx上的一个动点 （1）求证：以点 P 为圆心， PM 为半径的圆与直线 y的相切；（2）设直线 PM 与抛物线 24yx的另一个交点为点 Q，连接 NP， NQ，求证： N解：（1）设点 P 的坐标为 201(,)4x，则PM 22220001()14xx;又因为点 P 到直线 1y的距离为 2200)x，所以，以点 P 为圆心， PM 为半径的圆与直线 1y相切 （得 4 分）（2）如图，分别过点 P， Q 作直线 的垂线，垂足分别为
17、H， R由（1）知， PH PM，同理可得， QM QR因为 PH， MN， QR 都垂直于直线 1y，所以， PH MN QR，于是MRNH，所以 QP，因此，Rt PHRt 于是 NR，从而 （得 6 分）9 如图，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，点 D 是弧 ABC 中点，弦 DEAB，垂足为 F，DE 交 AC 于点 G.（1）图中有哪些相等的线段？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写出推理过程）（2）若过点 E 作O 的切线 ME，交 AC 的延长线于点 M（请补完整图形） ，试问：ME=MG 是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说
18、明理由.（3）在满足第（2）问的条件下，已知 AF=3，FB= 34，求 AG 与 GM 的比.第（1）的结论可直接利用解. （1）OA=OB，DF=EF，DE=AC，AG=DG，EG=CG. 3 分（2）ME=GM. 理由是：连 EO 并延长交O 于点 N，连结 DN.EM 是O 的切线，OEM=90，GEM+GEN=90. 5 分EN 是O 的直径，N+GEN=90，N=GEM. 7 分AB 是O 的直径，B+BAC=90，AGF+GAF=90，AGF=B，9 分AGF=CGE，CGE=B.AC=DE，N=B，GEM=CGE，MG=ME. 11 分（3）答案： 310.14 分10（本题满分 12 分）如图：矩形的顶点在坐标原点 O， OA 在 y 轴上， A 点坐标为（0，3） ，另一边 OB 在 x 的正半轴上,点 M 是 AC 边的中点，点 P 是 OB 边上一动点, PF OM， PE BM，垂足分别为 E、 F（1）若四边形 PEMF 为矩形，求 B 点坐标；（2）在（1）的条件下，求过 A、M、B 三点的抛物线解析式；（3）在抛物线上是否存在一点 N，使得四边形 AMON 是平行四边形，若存在，求出点 N 的坐标，若不存在，说明理由。解.（1）B（6，0）4 分（2）8 分32xy（3）存在。N（3，0）12 分A BCDEFGO3yxAO BCMPF E
