1、中考数学资料免费下载 http:/ QQ：937959615北京中考数学一对一辅导 http:/ 欢欢htp:/.n/beijgstudy二次函数知识点总结二次函数知识点：1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 2yaxbca欢0a这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域是全体0bc欢实数2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项bc欢 bc二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxoo结论：
2、a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：2. 的性质：2yaxc的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0欢轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 欢轴 时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xx值 中考数学资料免费下载 http:/ QQ：937959615北京中考数学一对一辅导 http:/ 欢欢htp:/.n/beijgstudy结论：上加下减。总结：3. 的性质：2yaxh结论：左加右减。总结：4. 的性质：2yaxhk的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0c欢轴y时， 随 的增大而增大
3、； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 c向下 欢轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大x0x值 的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0h欢X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhxxh随 的增大而减小； 时， 有最小yy值 0a向下 欢X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xxh值 中考数学资料免费下载 http:/ QQ：937959615北京中考数学一对一辅导 http:/ 欢欢htp:/.n/beijgstudy总结：二 次函 数图 象的 平移1. 平移 步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶
4、点坐标 ；2yaxhkhk欢 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax欢 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 三、二次函数 与 的比较2yaxhk2yaxbc请将 利用配方的形式配成顶点式。请将 配成 。245 2yaxbc2axhk的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 hk欢X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小
5、； 时， 有最小y值 ka向下 欢X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxx值 中考数学资料免费下载 http:/ QQ：937959615北京中考数学一对一辅导 http:/ 欢欢htp:/.n/beijgstudy总结：从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，2yaxhk2yaxbc即 ，其中 224bcyax 24欢四、二次函数 图象的画法2yaxbc五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对2yaxbc2()yaxhk称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
6、轴的y交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有0c欢0c欢 h， 10欢2x欢x交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.xy五、二次函数 的性质2yaxbc1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 0 2x24acb欢当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小2bxayxyx2xay值 4c2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 当 时， 随0a 2bxa24bac欢2bxay的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 x
7、2bxay2xy中考数学资料免费下载 http:/ QQ：937959615北京中考数学一对一辅导 http:/ 欢欢htp:/.n/beijgstudy六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2yaxbcabc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()hkhk3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12x01x2x注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的x4bac这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与
8、各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 2yxbca0a 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；0 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大a总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小aa2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴ab 在 的前提下，0当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；02y当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；ba当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧002y 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当
9、 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；ba当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；002y当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧ba总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置总结：3. 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置c总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的ab欢二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法
10、用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；中考数学资料免费下载 http:/ QQ：937959615北京中考数学一对一辅导 http:/ 欢欢htp:/.n/beijgstudy2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2ya
11、bcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；xhk hk2. 关于 轴对称y关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2abcy 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；yxhk hk3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2abc 2yaxbc关于原点对称后，得到的解析式是 ；yxhk hk4. 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2abc 22byaxca关于顶点对称后，得到的解析式是 yxhk hk5. 关于点 对称 mn欢关于点 对称后，得到的解析式是2yaxhkn欢 2yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，
12、因此 永远不变求a抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：x一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.20axbc2y0y图象与 轴的交点个数： 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的 是一元二次方24x120AxB， ， ， 12()x12x，程 的两根这两点间的距离 . 20axbca214ac 当 时，图象与 轴只有一个交点；
13、 x中考数学资料免费下载 http:/ QQ：937959615北京中考数学一对一辅导 http:/ 当 时，图象与 轴没有交点.0x当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；1ax0y当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 2 x 2. 抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ； 2yaxbcy(0)c3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ， ， 的符号2yaxbcabcabc判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一x个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
