1、13. （2011 江苏连云港，25，10 分）如图，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点，21yxa与 y 轴交于点 C，其顶点在直线 y=2x 上.(1)求 a 的值；(2)求 A,B 两点的坐标;(3)以 AC,CB 为一组邻边作 ABCD,则点 D 关于 x 轴的对称点 D是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出 a 的值；（2）根据二次函数解析式求出与 x 轴的交点坐标即是 A，B 两点的坐标；（3）根据平行四边形的性质得出 D 点的坐标，即可得出 D点的坐标，即可得出答案解答：解：（1）抛物线
2、y=x2x+a 其顶点在直线 y=2x 上抛物线 y=x2x+a=（x 22x）+a=（x1） 2+a，顶点坐标为：（1， +a） ，y=2x，+a= 2， a=；（2）二次函数解析式为：y=x 2x，抛物线 y=x2x与 x 轴交于点 A，B，0=x 2x，整理得：x 22x3=0，解得：x=1 或 3， A（1， 0） ，B（3，0） ；（3）作出平行四边形 ACBD，作 DEAB，二次函数解析式为：y= x2x，图象与 y 轴交点坐标为：（0，） ，CO=，DE=，CAO=DBE，DEB=AOC，AOC BDE，AO=1，BE=1， D 点的坐标为：（2， ） ，点 D 关于 x 轴的对
3、称点 D坐标为：（2，） ，代入解析式 y=x2x，左边= ，右边= 42=，D点在函数图象上（2011 江苏苏州，29，10 分）巳知二次函数 y=a（x2-6x+8） （a0）的图象与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C点 D 是抛物线的顶点（1）如图连接 AC，将OAC 沿直线 AC 翻折，若点 O 的对应点 0恰好落在该抛物线2的 对称轴上，求实数 a 的值；（2）如图，在正方形 EFGH 中，点 E、F 的坐标分别是（4，4） 、 （4，3） ，边 HG 位于边 EF 的 右侧小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点 P 是边 EH 或边 HG 上的任意一点，则四条
4、线段 PA、PB、PC、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形） “若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图，当点 P 在抛物线对称轴上时，设点 P 的纵坐标 l 是大于 3 的常数，试问：是否存在一个正数阿 a，使得四条线段 PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）本题需先求出抛物线与 x 轴交点坐标和对称轴，再根据OAC=60得出 AO，从而求出 a（2）本题需先分两种情况进行讨论，当
5、 P 是 EF 上任意一点时，可得 PCPB，从而得出PBPA，PBPC，PBPD，即可求出线段 PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形（3）本题需先得出 PA=PB，再由 PC=PD，列出关于 t 与 a 的方程，从而得出 a 的值，即可求出答案解答： 解：（1）令 y0，由 解得 ；2(68)0ax12,4x令 x0，解得 y8a点 A、 B、C 的坐标分别是(2，0) 、(4，0)、(0 ，8a)，该抛物线对称轴为直线 x3OA2 如图，时抛物线与 x 轴交点为 M，则 AM1由题意得： 2O ，OAM60A ，即 32C823a4（2）若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点
6、，结论同样成立（）如图，设点 P 是边 EF 上的任意一点 (不与点 E 重合)，连接 PM点 E(4，4) 、F(4，3)与点 B(4，0)在一直线上，点 C 在 y 轴上，BAyO(图)xDC EF GHM3PBPB又 PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD此时线段 PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形（）设 P 是边 FG 上的任意一点( 不与点 G 重合) ，点 F 的坐标是(4，3)，点 G 的坐标是(5，3)FB 3， ，3PBPB（3）存在一个正数 a，使得线段 PA、PB、PC 能构成一个平行四边形如图，点 A、B 时抛物线与 x 轴交点，点 P 在抛物
7、线对称轴上，PAPB当 PCPD 时，线段 PA、PB、PC 能构成一个平行四边形点 C 的坐标是(0，8a)，点 D 的坐标是(3，a)点 P 的坐标是(3，t)，PC2 32(t8a) 2，PD2 (ta) 2整理得 7a22ta 10，4t228t 是一个常数且 t3，4t2280方程 7a22ta 10 有两个不相等的实数根 224871tta显然 ，满足题意27ta当 t 是一个大于 3 的常数 ,存在一个正数 ，使得线段 PA、PB 、PC 能27ta构成一个平行四边形点评： 本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形
8、的判定相结合是本题的关键5. （2011 江苏宿迁，27，12）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 为 AB 的中点，Q为边 CD 上一动点，设 DQ=t（0t2 ） ，线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、BC 于点M、N，过 Q 作 QEAB 于点 E，过 M 作 MFBC 于点 F（1）当 t1时，求证：PEQNFM；（2）顺次连接 P、M 、Q、N ，设四边形 PMQN 的面积为 S，求出 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并求 S 的最小值考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性BAyO(图)xDC EF GHP4质；勾股定理。专
9、题：代数几何综合题。分析：（1）由四边形 ABCD 是正方形得到A= B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；（2）由点 P 是边 AB 的中点，AB=2 ，DQ=AE=t ，又由勾股定理求得 PQ，由 PEQNFM 得到 PQ 的值，又 PQMN 求得面积 S，由 t 范围得到 S 的最小值解答：证明：（1）四边形 ABCD 是正方形，A=B=D=90，AD=AB ，QEAB，MF BC，AEQ=MFB=90，四边形 ABFM、AEQD 都是矩形，MF=AB，QE=AD，MF QE，又 PQMN，EQP=FMN，又QEP=MFN=90，PEQNFM；（2）点 P 是边 AB 的
10、中点，AB2，DQ AEtPA1，PE1t，QE2由勾股定理，得 PQ 2PEQ4)1(2tPEQNFMMNPQ 4)1(2t又PQMNS t2tMNP2)(2t150t2当 t1 时，S 最小值 2综上：S t2t ，S 的最小值为 25点评：本题考查了正方形的性质， （1）由四边形 ABCD 是正方形得到A= B=D=90，AD=AB，又由 EQP=FMN，而证得；（2）由勾股定理求得 PQ，由 PEQNFM 得到PQ 的值，又 PQMN 求得面积 S，由 t 范围得到答案6.（2011 江苏徐州， 28，12）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与
11、 y 轴交于点 P，顶点为 C（1，2） （1）求此函数的关系式；（2）作点 C 关于 x 轴的对称点 D，顺次连接 A，C ，B，D若在抛物线上存在点 E，使直线 PE 将四边形 ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得PEF 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点 F 的坐标及PEF 的面积；若不存在，请说明理由5考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）将顶点坐标 C（ 1， 2）代入 y=x2+bx+c 即可求得此二次函数的关系式；（2）先求出直线 PM 的解析式，然后与二次函数联立即可解得点
12、E 的坐标；（3）根据三角形相似的性质先求出 GP=GF，求出 F 点的坐标，进而求得 PEF 的面积解答：解（1）y=x 2+bx+c 的顶点为（1， 2） y=（x 1） 22， y=x22x1；（2）连结 CD 交 AB 于点 M，根据轴对称性可知 MA=MB,MC=MD,ABCD,所以四边形 ACBD 是菱形，过点 M 的任意一条直线都把菱形 ACBD 的面积平分，所以直线 PM 平分菱形 ACBD 的面积因为 y= 与 y 相交于点 P（0,1）, 顶点为点 C（1，2）2x1所以点 M 的坐标为（1，0）设直线 PM 的解析式为 y=kx+b则 ，解之得=bkk=b1所以直线 PM
13、 的解析式为 y=x1解方程组 ，得 或2yx.=0y=326所以点 E 的坐标为（3，2）.（3）过点 P 作直线 PQPM,则直线 PQ 的表达式为 y=x1解方程组 ，得 或2y=x1.x=0y12所以直线 PQ 与抛物线的交点 F 是抛物线的顶点 C（1，2）.所以 PE= ,PC=22(30)()32(0)()所以PEF 的面积为 1=6点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题7. （2011 南昌，25，10 分）如图所示，抛物线 m：y=a
14、x 2+b（a0，b0）与 x 轴于点A、B （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C将抛物线 m 绕点 B 旋转 180，得到新的抛物线 n，它的顶点为 C1，与 x 轴的另一个交点为 A1（1）当 a=1，b=1 时，求抛物线 n 的解析式；（2）四边形 AC1A1C 是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（3）若四边形 AC1A1C 为矩形，请求出 a，b 应满足的关系式考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题分析：（1）根据 a=1，b=1 得出抛物线 m 的解析式，再利用 C 与 C1 关于点 B 中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；（2）利用两组对边分别相
15、等的四边形是平行四边形即可证明；（3）利用矩形性质得出要使平行四边形 AC1A1C 是矩形，必须满足 AB=BC，即可求出解答：解：（1）当 a=1，b=1 时，抛物线 m 的解析式为：y=x 2+17令 x=0，得：y =1C（0， 1） 令 y=0，得：x=1A（1，0） ，B（1，0） ，C 与 C1 关于点 B 中心对称，抛物线 n 的解析式为： y=（x 2） 21= x24x+3；（2）四边形 AC1A1C 是平行四边形理由：C 与 C1、A 与 A1 都关于点 B 中心对称，AB= BA1，BC =BC1，四边形 AC1A1C是平行四边形（3）令 x=0，得：y =bC（0，b）
16、 令 y=0，得：ax 2+b=0， ，aby，aA， ， .要使平行四边形 AC1A1C0，bBab2abOBCB22是矩形，必须满足AB=BC， ， ，ab3a、b 应满足关系式b2ab24ab3点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键18. （2011 新疆建设兵团，24，10 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD4，BC9， B45动点 P 从点 B 出发沿 BC 向点 C 运动，动点 Q 同时以相同速度从点 C 出发沿 CD 向点 D 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动（1）求
17、 AB 的长；（2）设 BPx，问当 x 为何值时 PCQ 的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在 AB 边上是否存在点 M，使得四边形 PCQM 为菱形？请说明理由考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形分析：（1）作 AEBC，根据题意可知 BE 的长度，然后，根据B 的正弦值，即可推出8AB 的长度；（2）作 QFBC，根据题意推出 BPCQ，推出 CP 关于 x 的表达式，然后，根据C 的正弦值推出高 QF 关于 x 的表达式，即可推出面积关于 x 的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出 x 的值；（3）首先假设存在 M 点，然后根据菱形的性质推出， BA
18、PBBAP45，这是不符合三角形内角和定理的，所以假设是错误的，故 AB 上不存在 M 点解答：解：（1）作 AEBC，等腰梯形 ABCD 中，AD4，BC 9，BE（BCAD）22.5，B45，AB ，（2）作 QFBC，等腰梯形 ABCD，BC45，点 P 和点 Q 的运动速度、运动时间相同， BPx，BPCQx，BC9，CP9 x，QF x，设PQC 的面积为 y，y（9 x） x ，12即 y x x，当 x 时，y 的值最大，b2a 92当 x 时，PQC 的面积最大，92（3）假设 AB 上存在点 M，使得四边形 PCQM 为菱形，等腰梯形 ABCD，B C45，CQCPBPMP
19、， BC MPB45，BMP45 ，BAPB BMP45，不符合三角形内角和定理，假设不存在，边 AB 上不存在点 M，使得四边形 PCQM 为菱形9点评：本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可21. （2011 重庆市，26，12 分）如图,在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线 经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D2yxbc（1）求 b,c 的值；（2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外)，过点
20、E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点 P的坐标；若不存在，说明理由.考点：二次函数综合题分析：（1）由ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，可得 A（-1，0）B（4，5） ，然后利用待定系数法即可求得 b，c 的值；（2）由直线 AB 经过点 A（-1，0） ，B（4，5） ，即可求得直线 AB 的解析式，又由二次函数y=x2-2x-3，设点 E（t，t+1） ，则可得点 F 的坐标，则可求得
21、 EF 的最大值，求得点 E 的坐标；（3）顺次连接点 E、B、F、D 得四边形 EBFD，可求出点 F 的坐标（ ， ） ，点 D的坐标为（1，-4）由 S 四边形 EBFD=SBEF+ SDEF 即可求得；AOCBDxy26题 备 用 图AOCBDxy26题 图10过点 E 作 aEF 交抛物线于点 P，设点 P（m，m 2-2m-3） ，可得 m2-2m-2= ，即可求得点P 的坐标，又由过点 F 作 bEF 交抛物线于 P3，设 P3（n，n 2-2n-3） ，可得 n2-2n-2=- ，求得点 P 的坐标，则可得使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形的 P 的坐标答案：26. 解
22、：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）-1 分二次函数 的图像经过点 A（-1，0）B(4,5)2yxbc 6c解得：b=-2 c=-3 （2 如题图：直线 AB 经过点 A（-1，0） B(4,5)直线 AB 的 解析式为：y=x+1二次函数 23yx设点 E(t， t+1),则 F（ t， ）23tEF= 2(1)= 54t当 时，EF 的最大值=32点 E 的坐标为（ ， ） 2（3）如题图：顺次连接点 E、B、F、D 得四边形 可求出点 F 的坐标（ ， ）,点 D 的坐标为（1，-4） 354S = S + SEBD四 边 行 BEFAEFA= 12512()()4= 78如题备用图：) 过点 E 作 aEF 交抛物线于点 P,设点 P(m, )23则有： 解得: , 253m126m 26 , 16()p 265(,)p）过点 F 作 b EF 交抛物线于 ，设 （n， ）3P23
