1、1初中数学论文从“中考探索性问题”到“课堂探索能力的培养”谈初三几何探索性复习课的初探摘 要：本文从探索“中考探索性问题”入手，阐述了教师如何设计探索性问题，如何在课堂上培养学生探究能力，提出了宁可少讲知识，也要探究，也要 创新的观点。关键词：探索性问题、探索能力、有效复习、创新探索是人类认识客观世界过程中最生动，最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，它对培养学生思维的创造性、深刻性、发散性有着独特的要求。新课标指出，数学学习不仅包括数学的一些现成的结果，还有包括这些结果的形成过程。探索性问题已成为课改思想的具体体现的热点之一，纵观全国各地中考试题，探索性试题已成为中考压轴的主要
2、题型来源。这些中考探索性问题不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力，暴露出学生在解题过程中的思维品质，还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况。这点中考探索性问题又是在新课程理念下培养学生观察、实验、操作、归纳、猜想的直观思维能力和合情推理能力的好材料。我们应重视探索。课堂上应重视对学生探索能力的培养。怎么培养？对于我们这些长期受演绎论证训练的教师来说，缺乏“探索能力” ，很容易忽视直观思维的存在和作用，虽对“探索”有所重视，但这重视只不过停留在由几道探索型题目组成的专题讲解上，在中考指挥棒下，很多老师的课堂由大量的例题组成，大容量、大密度的满堂灌，根本没留出或没有充分的时间让学生
3、探索，学生没有探索，那“探索能力”的培养又从何谈起。笔者从培养自身的探索能力入手，认真探索众多的中考探索性问题，从这些问题中受到启发，试着利用改编、设计探索性问题，努力创设探索型几何复习课。以下是笔者觉得对自己启发较大的几种探索性问题。一、利用平移、旋转构造的探索性问题：2“平移、旋转”是图形的基本变换，它对发展学生空间观念，丰富学生对空间图形的认识与感受，使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。如下例：一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起。现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O（点 O 也是 BD 中点）按顺时
4、针方向旋转。如图 2，当 EF 与 AB 相交于点 M，GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量 BM，FN 的长度，猜想 BM，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；若三角尺 GEF 旋围到如图 3 所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时，中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。受这类题的启发，我在备课时，把一些证明题中静止的图形进行图形变换来设计探索题。如：已知：如图， 是 的高线，且 ，CDABADC是 上一点，且 ，求证：OOBO线段 与 间有什么关系？并证明你的结论。连结 ，若
5、把 绕顶点 旋转一角度，使点 分别落在 内和 内，画出图形，ADC探索中结论是否成立。课堂中学生通过对这类问题探索，会用运动的眼光看问题，锻炼了学生观察图形的能力，能利用类比的思想从变化中找出不变的规律，同时也训练了他图 2EA BDGFOMNC图 3A BDGEFOMNC图 1A( G ) B( E )COD( F )3们，通过平移旋转来处理图形，使他们在特殊的图形、简单的图形中得到启发而进行猜测。一、运用类比思想构造的探索性问题：如下例：问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题： 如图 1，在正三角形 ABC 中，M、N 分别是 AC、AB 上的点，BM 与CN 相交于点
6、 O，若BON = 60，则 BM = CN. 如图 2，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是CD、AD 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若BON = 90,则 BM = CN.然后运用类比的思想提出了如下的命题： 如图 3，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 CD、DE 上的点，BM与 CN 相交于点 O，若 BON = 108，则 BM = CN.任务要求 （1）请你从、三个命题中选择一个进行证明；（说明：选做对的得 4 分，选做对的得 3 分，选做对的得 5分）（2）请你继续完成下面的探索： 如图 4，在正 n（n3）边形 ABCDEF中，M、N 分别是 CD、DE 上的
7、点，BM 与 CN 相交于点 O，问当BON 等于多少度时，结论 BM = CN 成立？（不要求证明） 如图 5，在五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 DE、AE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，当BON = 108时，请问结论 BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（1）我选 .证明：2NM1OAB CDONMCBA43NMODEEAB CDONMFCBA5O DEN MCBA4受该例的启发，利用类比的思想把一些知识串在一起来让学生探索。如在复习三角形中位线内容时，我这样设计探索：探索一：E、F 分别是 中 AB、AC 边上的中点，连结 EF，我们得到
8、了什么ABC线段，它有什么特征？如何把三角形剪拼成一个平行四边形？矩形？探索二：把三角形换成四边形，探索中点四边形问题。如何把四边形剪拼成一个平行四边形、矩形？探索三：把四边形换成梯形，连结梯形两腰中点，得到什么？它有什么特征？取梯形上、下底中点并连结，这条线段的长是否等于两腰和的一半。我们还可以取梯形对角形的中点与梯形中位线联系起来，还可以加条件：如当对角线互相垂直，对角线夹角为 时让学生在这样的不知不觉的探60索中加课对知识理解的广度和深度，并且能培养学生用类比的思想来进行探索。二、规律探索性问题这类题型十分常见，要求学生从所提供的图形，数字信息中寻找共同之处，观察、分析、猜想、归纳出一般
9、规律，探索这类题型可引导学生从特殊情况进行研究、归纳、概括，如下例：观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：请你在和后面的横线上分别写出相对应的等式：401413；411423；421433；_；_；5通过猜想，写出与第 n 个图形相对应的等式。受这类题型的启发，我在复习图形的初步认识时让学生探索下面这些规律：直线上有几个点，则共有_条线段；以 O 为端点引 n 条射线，当得到的最大角小于平角时，小于平角的角的个数为_个；n 条直线最多有_个交点；过任三点不在同一直线上的 n 点一共可画_条直线。平面内 n 条直线最多将平面分成_个部分。探索这类问题时，引导学生从特殊值即当 n
10、为 1、2、3入手进行探索，从中发现规律、归纳小结。教师通过这类问题，有效地培养学生用“特殊一般”的思想来进行探索，培养学生从特殊的事例中寻求一般规律的能力。四、方法探索性问题，这类问题考查学生对一些已学方法的掌握程度。如下面两例：1、已知 中， ，AC=6，BC=8。ABCRt90、如图，若半径的 的1r1O是 的内切圆，求 ；t、如图，若半径为 的两个2r等圆 、 外切，且1O21O与 AC、AB 相切， 与 BC、AB相切，求 ；2r、如图，当 n 是大于 2 的正整图11图2 26.ABCDOl1l2数时，若半径为 依次外切，且nr 、 、 依次外切，且 与 AC、AB 相切， 与1O
11、2O1OnOBC、AB 相切， 、 、 均与 AB 边相切，求 。3n r2、在学习扇形的面积公式时，同学们推得，并通过比较扇形面积公式与弧长公3602RnS扇 形式 ，得出扇形面积的另一种计算方式18l。S2扇 形接着老师们让同学们解决两个问题：问题，求弧长为 ，圆心角为 的扇形面积。4120问题，某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知 AB 和 CD 所在圆的圆心都是点 ，AB 的长为 ，CD 的长为 ， AC=BD=d，求花坛的面积。O1l2l请你解答问题 I；在解完问题后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式类似于三角形面积公式；类似梯形面积公式，他猜想花坛的面积lRS21扇 形。
12、他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请d)(1说明理由。从第 1 题中受到启发，当我在复习三角形内切圆时，进行了这道题的探索渗透，当学生在探索时不单巩固了“面积法” ，而且引导学生用“类比”的思想进行探索。从第 2 题中受到启发，我可以把一些老教材有而新教材没有的知识，作为探索的材料，让学生在探索中进一步巩固了课本知识和方法，提升了学生对知识更深、更广的理解。同时为教师处理教材提供了思路，教师以课本知识为基础，以探索课本延伸知识或相关知识为手段促进知识的巩固、方法的掌握，使课堂效果更好。我曾让学生探索圆台的两个侧面积公式，探索圆中的一些成比7例线段（圆幂定理） ，相似多边形的探
13、索学生的成功探索让我更自信，对于考试我无需压题、猜题，不需要搞题海战，学生的解决能力提高了，还怕什么。在课堂中探索多了，学生的胆子大了，会尝试用不同方法进行多方面探索，而同时在学习设计探索性问题时，我的课堂探索问题的设计能力也增强了。比如我会利用印错的题目让学生探索，培养学生用反证法来探索，如下列：在直角梯形 ABCD 中，ABDC，ABBC，E 是 CD 的中点，且 AB=AD+BC，则ABE 是_三角形。此题没有图，学生大部分答案是直角三角形，而我在探索中否定了直角三角形，题目所提供的答案是等腰直角三角形。我把该题拿到了课堂，引导学生假设 BEAE，然后把ADE 绕点 OE 旋转 180，
14、与FCE 重合（如图） ，发现在FCB 中，BFFC+BC，从而得到 BFBA，而由 BE 垂直平分 AF 又得到BF=BA。两者产生矛盾，从而假设错误。我还让学生从“等腰直角三角形”这个参考答案入手，让学生大胆地修改已知条件。再如：新课标降低了对逻辑推理的要求，于是现在学生在逻辑推理的能力也相对弱了，而作为教师的我逻辑推理是强项，我把一些学生的困难题放在课堂里，引导学生从不同的角度、不同的方法探索，用多种方法证明，如下例：如图，已知ABC 为等边三角形，点 D 为 BC 边上的任意一点，ADE=60，DE 与ACB 的外角ACM的平分线 CE 相交于点 E。求证：AD=DE。该题作为作业时，
15、很多同学感到困难，我在课堂中分别通过构造全等三角8形，通过证相似，通过翻折多种方法来引导学生证明，很多学生在反思中后悔自己怎么没有继续探索下去，其实有很多解决问题的方法。我在复习“空间与图形”这部分内容时，我的每一节课都是探索课。利用探索复习双基，再利用中考探索性问题来培养学生的探索能力，同时巩固和提升了课本中所学的知识，最后再设计一个个的新探索问题让学生探索。学生是课堂的主人，他们自主探究，热烈讨论，创新的火花时时涌现。这样复习课产生好的效果是显而易见的。通过探索，使我们感到学习数学是有用的，可以利用所学的知识解决问题。探索能力具备了，创新能力增强了，探索性问题存在于各个领域，还怕我们的学生
16、成为高分低能吗？其实在探索中更多的是失败，但正是因为这种失败的经验来帮助学生不断地进步，他们在失败再失败后尝到成功的喜悦，在失败再失败中提高了探索创新能力。其实开设探索性课堂，教师备课压力相当大，但教师课前的探索，课堂中与学生一起交流探索，教师从学生中学到很多，这在“教师一言堂”的复习课中是得不到的。学生在探索中成长，教师也在探索中成长。为了设计探索问题，培养学生的探索能力我经历很多曲折，还在不断的尝试，不断地改进。我用我的尝试告诉大家，课堂上宁可少讲些知识（例题） ，也要探索。有了探索就会有创新，就有发展。试着探索吧，你一定会受益非浅的。参考资料：2006 年全国各地中考试卷 关文信主编的新课程理念与初中数学课堂教学实施
