1、12013 高三专题复习四 立体几何一专题综述：立体几何的主要任务是培养学生的空间想像能力，当然推理中兼顾逻辑思维能力的培养，几何是研究位置关系与数量关系的学科，而位置关系与数量关系可以相互转化，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面的问题，即空间问题平面化，平面化的手法有：平移（包括线、面、体的平移） 、投影、展开、旋转等变换。1.考纲要求（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系。（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理：理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的
2、判定定理：掌握三垂线定理及其逆定理。（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式。（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定量。（8）了解多面、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。（
3、9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。（11）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。2.考题设置与分值从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是 1 至 3 个填空或选择题，1 个解答题，分值 25 分左右3.考试重点与难度（1）空间基本的线、面位置关系。一般以客观题的形式出现，试题很基础，但需要全面、准确掌握空间线、面位置关系的判断、性质，还需要有好的空间感。（2）空间距离和角的计算。一般以主观题的形式出现，以棱柱、棱锥或其部分图为试题背景，其解题方法一般都在二种以上，并且一般都能用空间向量求解
4、（但不一定是最简单的解法） 。立体几何的解答题一般设置在解答题的前三题之一，所以试题不很难，属中档题。（3）球的有关问题，特别是球面距离的计算，也是高考的重点考察内容。（4）平面图形的翻折与空间图形的铺展能很好的考察学生的空间想象能力，这往往作为立体几何试题的背景。总之，立体几何试题难度不大，是我们必须抓好的得分点。2二考点选讲【考点 1】空间基本的线、面位置关系的判断【例题 1】设 a、b 是异面直线，给出以下五个命题：存在唯一平面 ，使 a、 b 与 距离相等；空间存在直线 c，使 c 上任一点到 a、b 的距离相等；夹在异面直线 a、b 间的三条异面直线段的中点不能共线；过空间任一点 M
5、，可作直线 l 与 a、b 均相交；经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于 b。正确的命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【解析】C存在过 a、b 公垂线段的中垂面只有 1 个；存在中垂面内与 a 和 b 所成角相等的直线 c；正四面体 ABCD 中，E、F 为 AB、CD 中点，到 BC、EF、AD 三异面直线中点共线；M 与 a 确定平面与 b 平行时，不存在 l；反证法若 ，则 b 不一定成立。 ， 【注】像这种题能全面考察学生对立体几何的基础知识的掌握情况，是一种较理想的考题，要引起重视。【练习 1】一个透明密闭的正方体体容器中，恰好盛有容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在
6、容器中的形状不可能是A菱形 B矩形 C正六边形 D三角形【提示】本小题转化为立体问题就是：用一个平面将正方体截为体积相等的两部分，创截面是什么图形？【考点 2】角与距离的计算【例题 2】如图棱长均为 2 的正四棱锥的侧面展开图，E 是 PA 中点，则在正四棱锥中 PB 与 CE 所成角的 余弦值为（ ）A B 363C D226【解析】在正四棱锥中，连接 AB，CD，相交于 O，连 EO，则EOPB，CEO 为异面直线 PB 与 CE 所成的角，OE1，OC ，CE= ，故23cosCEO= 3EB P CD A3选 B【注】角与距离的计算是立体几何的重要考点，不仅可能出现在客观题中，在主观题
7、中是一定要考的，我们要把用传统方法和向量方法求角与距离的的步骤及相应的公式牢牢掌握。【练习 1】将正方形沿对角线 BD 折成二面角 ABDC，若正方形的边长为 1，点 A 到平面 BCD 的距离为 ，则直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( )46A B C D21213【练习 2】若三棱锥 ABCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到棱 AB 的距离与到棱 BC 的距离相等，且ABC=40，则 BP 与平面 BCD 所成角 的取值范围是 【提示】如图，P 到棱 AB 为距离与到棱 BC 的距离相等， BP 是 ABC 的角平分 线，故PBC 20，利用最小角定理知： PBC=20 o 【练习
8、 2】已知平面 与平面 所成的二面角为 ，P 为平面 、 外一定点， 过点 P 的一条直线 l 与 、 所成角为 ，且这样的直线 l 且只有 4 条，则30角 取值范围为 【提示】将直线 l 与 、 所成的角转化为 l 与其法向量的角思考，问题便转化为直线所成的角的问题，欲使过 P 的直线 l 与 、 所成角为 ，只需直30线 l 与平面 、 的法线所成角均为 ，即转化为过空间一点的直线与两异60面直线所成角相等的问题。【考点 3】球与球面距离【例题 5】在半径为 R 的球内 有一内接正三棱锥，其底面上的三个顶点都在同一个大圆 上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过 其余三点后返回
9、，则经过的最短路程是（ ）A2R B 73C D83R6R【解析】B沿球面运动的最短距离可选:AA2()SBSBCB OSACABDDFEOGACB4=2 27()3R【练习 1】设直线 与球 O 有且仅有一个公共点 P，从直线 l 出发的两个半平面 截球 O 的两个截面 和 的半径分别为 1 和 2，若两半平面 所成二面 1 2 、 角为 120O，则球 O 的半径 R 。【提示】如图:连 ，则 ，1 、 2 1 2 120从而 O、 四点共圆，且 OP 为球 O 的半径，在1， 2 1、 、 2 中，由余弦定理得|O 1O2| ，又由正弦定理得: 1 2 72R= ,30sin1R考点 4
10、】立体几何的综合以解答题的形式综合对立体几何进行考察，这是高考的必考题，试题难度中档，往往即可用传统方法解，亦可用向量法解。一般题目是多问设置，既有位置关系的证明，又有角与距离的问题。【例 4】 如图：ABCD 是正方形，DE 平面 ABCD，BF 平面 ABCD，且 AB FB DE； 2（1）求证：平面 AEC 平面 AFC； （2）求 EC 与平面 BCF 所成角；（3）在 EF 上是否存在一点 M，使三棱锥 MACF 是正三棱锥？若存在，试确定 M 位置；若不存在，请说明理由。【练习 1】四棱锥 PABCD，PA 平面 ABCD，ABCD 是直角梯形，DA AB、CB AB， PA 2
11、AD BC 2，AB ，设 PC 与 AD 的夹角为 ，O1O2OPADFMEOBC5（1）求点 A 到平面 PBD 的距离；（2）求二面角 BPDC 的大小；（3）求 的大小，当平面 ABCD 内有一个动点 Q，始终满足 PQ 与 AD 的夹角为 则此动点的轨迹是经过 C 的一条曲线 C，试判断曲线 C 的形状；如果是 ，直线，说出 C 与直线 AD 夹角；如果 C 是圆，说出圆心位置及半径；如果 C 是圆锥曲线，则说也 C 的曲线类型，中心位置与离心率。【练习 2】已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的底面是直角三角形， ，侧棱与 90底面所成的角为 ， （ ） ，点 B1在底面上的射影 D
12、落在 BC 上， 090（1）求证：AC 平面 BB1C1C， （2）当 为何值时，AB 1 BC1，且使 D 恰为 BC 中点？ （3）若 ，且当 AC BC AA1时，求二面角 C1ABC 的大小。arcos3 = = 三专题训练立体几何专题检测(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1(2010山东)在空间中，下列命题正确的是( )A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行2(2011聊城模拟)设 m、 n 是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四
13、个命题：Error! ； Error! m ；Error! ； Error! m .其中真命题的序号是( )C1AB1DCBA1PA D.QCB6A B C D3(2010福建)如图，若 是长方体 ABCD A1B1C1D1被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1后得到的几何体，其中 E 为线段 A1B1上异于 B1的点， F 为线段 BB1上异于 B1的点，且 EH A1D1，则下列结论中不正确的是( )A EH FGB四边形 EFGH 是矩形C 是棱柱D 是棱台4正四面体的内切球与外接球的半径之比为( )A13 B19 C127 D1815(2011广东)如图所示，某几何体的正视图(
14、主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A6 B93 3C12 D183 36(2011舟山月考)若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )A. B. C. D.1 22 1 4 1 2 1 27.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， O 是底面 A1B1C1D1的中心，则 O 到平面 ABC1D1的距离为( )A. B.12 247C. D.22 328(2011四川) l1， l2， l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A l1 l2， l2 l3l1 l3B l1 l2， l2 l3
15、l1 l3C l1 l2 l3l1， l2， l3共面D l1， l2， l3共点 l1， l2， l3共面9(2011临沂模拟)某几何体的三视图如图，则该几何体的体积的最大值为( )A. B. C. D.16 13 23 1210设 P 是 60的二面角 l 内一点， PA平面 ， PB平面 ， A、 B 分别为垂足， PA4， PB2，则 AB 的长是( )A2 B2 C2 D43 5 7 211正三棱柱 ABC A1B1C1的底面三角形的边长是 a， D， E 分别是 BB1， CC1上的点，且 EC BC2 BD，则平面 ADE 与平面 ABC 的夹角的大小为( )A30 B45C60
16、 D9012(2011丽水月考)如图所示，平面 平面 ， A ， B ， AB 与两平面 、 所成的角分别为 和 .过 A、 B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A、 B，则 4 6AB A B等于( )A21 B31C32 D43二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13如图，是 AOB 用斜二测画法画出的直观图 A O B，则 AOB 的面积是_814.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， G， H， N 分别是棱CC1， C1D1， D1D， DC， BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则点 M 只需满足条件_时，就有 MN
17、平面 B1BDD1.15(2011上海)若圆锥的侧面积为 2，底面面积为 ，则该圆锥的体积为_16(2011阳江月考)正四棱锥 SABCD 中， O 为顶点在底面上的射影， P为侧棱 SD 的中点，且 SO OD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是_三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 5、圆心角为 的扇形，65在这个圆锥中内接一个高为 x 的圆柱(1)求圆锥的体积；(2)当 x 为何值时，圆柱的侧面积最大？18(12 分)已知在矩形 ABCD 中， AB4， AD3，沿对角线 AC 折叠，使面ABC 与面 ADC 垂直，求 B
18、、 D 间的距离19(12 分)(2011陕西)如图，在 ABC 中， ABC60， BAC90，AD 是 BC 上的高，沿 AD 把 ABD 折起，使 BDC90.(1)证明：平面 ADB平面 BDC；(2)设 E 为 BC 的中点，求 与 夹角的余弦值AE DB 920(12 分)(2011广州模拟)如图， A1A 是圆柱的母线， AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于A， B 的任意一点， A1A AB2.(1)求证： BC平面 AA1C；(2)求三棱锥 A1ABC 的体积的最大值21(12 分)(2011重庆)如图，在四面体 ABCD 中，平面 ABC平面ACD， AB BC
19、， AD CD， CAD30.(1)若 AD2， AB2 BC，求四面体 ABCD 的体积(2)若二面角 C AB D 为 60，求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值22(12 分)(2011北京)如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形， AB2， BAD60.(1)求证： BD平面 PAC；(2)若 PA AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；(3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长立体几何专题检测参考答案1D 2.C 3.D 4.A5B 由三视图可还原几何体的直观图如图所示10此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和
20、宽均为 3，高为 的平3行六面体，所求体积 V33 9 .3 36A 7.B8B 当 l1 l2， l2 l3时， l1也可能与 l3相交或异面，故 A 不正确；l1 l2， l2 l3l1 l3，故 B 正确；当 l1 l2 l3时， l1， l2， l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 不正确； l1， l2， l3共点时， l1， l2， l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故 D 不正确9D 10.C 11.B 12.A1316 14. M线段 FH 15. 16.303317解 (1)因为圆锥侧面展开图的半径为 5，所以圆锥的母线长为 5.设圆锥的底面半径为 r，则
21、2 r5 ，解得 r3.(2 分)65所以圆锥的高为 4.从而圆锥的体积 V r2412.(4 分)13(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形设圆柱的底面半径为 a，则 ，从而 a3 x.(6 分)3 a3 x4 34圆柱的侧面积 S(x)2(3 x)x34 (4 x x2) 4( x2) 2(0x4)32 32(8 分)当 x2 时， S(x)有最大值 6.所以当圆柱的高为 2 时，圆柱有最大侧面积为 6.(10 分)18解 方法一 如图，过 D、 B 分别作 DE AC 于点 E， BF AC 于点 F，则由已知条件得 AC5， DE ， BF .ADDCAC 125 ABBCAC 125
