1、第十一讲 逻辑推理（二）上一讲我们介绍了有关逻辑推理问题的简单例子，它并没有用到专门的数学原理，而是直接运用正确推理，解决逻辑问题的.这一讲我们将利用图表解决一些较为复杂的逻辑推理问题。例 11 一次数学考试，共六道判断题.考生认为正确的就画“”，认为错误的就画“”.记分的方法是：答对一题给 2 分；不答的给 1 分；答错的不给分.已知 A、B、C、D、E、F、G 七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出 G 的得分，并简单说明你的思路。分析 由于 E 得了 9 分，说明他只答错了一道题.先假定答错的是第1 题，这样就有一个标准答案，并由此可分析其他人的得分.如出现矛盾，再假定 E
2、答错的是第 2 题，直到判断出 E 答错的题号为止.有了正确的答案，就可以写出 G 的得分。解：假设 E 的第 1 题答错，那么 A 至少错 3 道题，一题未答，最多得 5 分，与 A 得 7 分矛盾.所以 E 第 1 题答对。假设 E 第 2 题答错，可知 A 最多得 3 分，矛盾.所以 E 第 2 题答对。假设 E 第 3 题答错，则 B 最多得 3 分，矛盾.所以 E 第 3 题答对。假设 E 第 6 题答错，则 D 最多得 3 分，矛盾.所以 E 第 6 题答对。由于 E 得 9 分，因此 E 只答错一题，因此 E 第 4 题答错，于是 A 的第 2、4 两题对，3、6 两题错.而 A
3、 得 7 分，说明 A 的第 5 题是对的.由A、E 两人的答案，可得一标准答案如下表：按此标准评分，与题中所给 A、B、C、D、E、F 得分相符合，所以 E的第 4 题确实答错了.上表的答案是正确的.故可知 G 得 8 分。例 12 李英、赵林、王红三人参加全国小学生数学竞赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖.现在知道：李英不是金城的选手；赵林不是沙市的选手；金城的选手不是一等奖；沙市的选手得二等奖；赵林不是三等奖。根据上述情况，王红是_的选手，他得的是_等奖。解：为了便于分析，我们画表帮助思考.根据条件，在相应的格中打上“”。由条件得出：如果王红是沙市的选手，他得
4、二等奖，那么由条件可知：金城选手不是一等奖，只能是三等奖.又因为李英不是金城选手，只有赵林得三等奖.这与条件矛盾.所以王红不是沙市选手，沙市选手应该是李英，他得二等奖.这样金城的选手只能是王红，他得三等奖。例 13 李云和他哥哥参加一次集会，同时出席的还有其他两对兄弟.见面后有的人握手问候，没有人和自己的兄弟问候，也没有人和同一个人握两次手.事后李云发现除自己外每个人握手次数互不相同，问李云握了几次手？李云的哥哥握了几次手？解：设除李云（用 0 表示）之外的五个人分别是 A、B、C、D、E，他们握手的次数分别是 0 次、1 次、2 次、3 次、4 次，那么他们的握手情况可以用右图来表示，其中一
5、条连线表示握过手一次，没有连线即表示没握过手。从图中很容易看出：李云握手 2 次。那么，谁是李云的哥哥呢？因为 A 是唯一没有和 E 握过手的人，所以 A、E 是一对兄弟.D 只和 A、B 没握过手，而 A 已经是 E 的兄弟了，所以 B、D 也是一对兄弟.这样只剩下 C 是李云的哥哥，他握手的次数也为2 次.例 14 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有 A、B、C、D、E 五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包。A 猜：第二包是紫的，第三包是黄的；B 猜：第二包是蓝的，第四包是红的；C 猜：第一包是红的，第五包是白的；D 猜：第三包是蓝的，第四包是白的
6、；E 猜：第二包是黄的，第五包是紫的。猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对.请你判断他们各猜对了哪一包？解：我们把题目中的条件列成一个表，就更清楚了。根据已知条件，每一包都只有一人猜对，而第一包只有 C 猜，所以C 猜对了第一包，是红的；又根据每人只猜对了一种，所以 C 猜第五包是白的，猜错了；第五包只有 C、E 两人猜，所以 E 猜第五包是紫的，猜对了；那么 E 猜第二包是黄的，猜错了；紫颜色的珠子，只有 A、E 两人猜，那么 A 猜第二包是紫的，猜错了；第二包有 A、B、E 三人猜，其中A、E 都猜错了，所以 B 猜第二包是蓝的，猜对了；那么 B 猜第四包是红
7、的，猜错了；D 猜第三包是蓝的，也猜错了；所以 A 猜对的是第三包，是黄的；D 猜对的是第四包，是白的。总结以上推理判断，A 猜对了第三包是黄的，B 猜对了第二包是蓝的，C 猜对了第一包是红的，D 猜对了第四包是白的，E 猜对了第五包是紫的。注如果题中只给了一个条件：“每人都只猜对了一包”，你能判断他们都猜对了哪包吗？例 15 有 A、B、C 三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A 有一场踢平，共进球 2 个，失球 8 个；B 两战两胜，共失球 2 个；C 共进球 4个，失球 5 个，请你写出每队比赛的比分。分析 解决本题首先要明白两点常识：一个队踢进一个球，对方就失去一个球，所以三个队
8、的总进球数应等于总失球数；两个队踢平，显然该场球的进、失球的总数应相等。根据已知条件，可以列成表格如下：解：已知每两个队要赛一场，一共要赛三场球.B 是两战两胜，显然一场胜 A，另一场胜 C；A 踢平一场无疑是与 C 比赛的这场球。由总进球数等于总失球数，则 B 队的进球数应为 9 个。因为 A 与 C 两队进球总数是 6 个，那么除去 A、C 对 B 的那两场球赛中，踢进 B 队的那 2 球外，剩下的 4 个球便是 A 与 C 踢平那一场中双方各自踢进对方的进球数的和，因此 A 与 C 踢成 2 比 2。现在从 C 的进球数分析，由于 C 进球 4 个，除去与 A 两平外，另外进的两个球是对
9、 B 比赛进的球数；再从 C 的失球数分析，因为 C 对 A 失两球，表中 C 共失了 5 个球，因此另外失的 3 个球就是对 B 失的球数.所以 C 对 B 是 2 比 3。再因为 B 进球共 9 个，除去对 C 进的 3 个球，那么对 A 就进了 6 个球，A 对 B 没有进球，所以 B 对 A 是 6 比 0。例 16 北京至福州列车里坐着 6 位旅客：A、B、C、D、E、F.分别来自北京、天津、上海、扬州、南京和杭州，已知A 和北京人是医生；E 和天津人是教师；C 和上海人是工程师。A、B、F 和扬州人参过军，而上海人从未参军。南京人比 A 岁数大；杭州人比 B 岁数大；F 最年轻。B
10、 和北京人一起去扬州；C 和南京人一起去广州。试根据已知条件确定每位旅客的住址和职业。分析 由于职业可由住址确定，所以只需考虑确定旅客的住址。解：下面我们利用表格进行推理.表格中记号“”表示这个人是来自这个城市；记号“”表示这个人不来自这个城市。由可知，A、C、E 既不是北京人，也不是天津、上海人；由可知，A、B、F 不是上海人，也不是扬州人.于是得到 D 是上海人.那么他不是其他城市的人.如图（a）。由知，A 和 F 不是南京人，那么 A 一定是杭州人.而其他旅客都不是杭州人.如下图（b）。由可知，B 不是北京人，也不是南京人；C 不是南京人，那么 B 是天津人，C 是扬州人；故 F 是北京
11、人，E 是南京人.如下图（c）。综合上述推理，我们得到：A 是医生，来自杭州；B 是教师，来自天津；C 是工程师，来自扬州；D 是工程师，来自上海；E 是教师，来自南京；F 是医生，来自北京。例 17 甲、乙、丙三人分别在北京、天津、上海的中学教数学、物理、化学.已知甲不在北京；乙不在天津；在北京的人不教化学；在天津的人教数学；乙不教物理。根据以上情况判断，甲、乙、丙三人分别在何处教何课程？分析 根据已知条件，我们把人、地区、科目这三类分别用点表示在三个集合内.规定：两者之间有关系用实线连接，没有关系用虚线连接.这样把问题转化为用图进行推理（如图（a）.据此，下面的结果是显然的：如果某一点用虚
12、线连接某一个集合的两个点，则这点与这一集合内的第三个点应连实线；如果在以不同集合内的点为顶点的三角形中两条边是实线，则第三条边也应该是实线.这样，上述三角形中若一条边为虚线，另一条边为实线，则第三条边一定为虚线.这两条结论是解题的依据.解题的关键是找到三个以实线为边的三角形。解：根据题意，甲与北京、乙与天津、乙与物理、北京与化学之间连虚线；天津与数学之间连实线（如上图（b）.这样，根据上面的结论，乙与数学应连虚线，乙与化学应连实线。从而天津与化学连虚线，上海与化学连实线，乙与上海连实线（如下页图（c），即乙在上海教化学.由图（c）进一步可以看出，甲与上海应连虚线，甲与天津连实线.因而甲与数学连实线（如下页图（d）.由此得出：甲在天津教数学，而余下就是丙在北京教物理.
