1、14-13 动点问题（数学思想的综合运用）动点问题是中考中的重中之重，其中包括纯几何题以及几何代数综合体，解决该类问题的关键在于把握以静制动、动中求静、函数思想以及方程思想等。1、因动点产生的多边形面积问题点、线或者多边形的运动会使得某些多边形的大小和形状发生变化，往往会伴随着面积大小的变化，而面积的大小往往与点、线以及多边形的位置有直接的关系。解决此类问题的关键在于把握函数思想。例 1（09 北京）24. 在 中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋ABD转 得到线段 EF(如图 1)90（1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD 上任意一点（P
2、 1不与 C 重合）时，连结 EP1绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EC1.判断直线90FC1与直线 CD 的位置关系，并加以证明；当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转得到线段 EC2.判断直线 C1C2与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结90论.（2）若 AD=6,tanB= ,AE=1,在的条件下，设 CP1= ，S = ，求 与 之间的43x1PFCAyx函数关系式，并写出自变量 的取值范围.x例 2（2009 年吉林省）如图所示，菱形 的边长为 6 厘ABCD米， 从初始时刻开始，点 、 同时从 点出60BPQ发，点
3、 以 1 厘米/秒的速度沿 的方向运动，点P以 2 厘米/秒的速度沿 的方向运动，当Q点 运动到 点时， 、 两点同时停止运动，设 、D运动的时间为 秒时， 与 重叠部分的面积为 平方厘米（这里规定：xAPQ BC y点和线段是面积为 的三角形） ，求 与 之间的函数关系式Oyx例 3.（09 年湖南衡阳）26、 （本小题满分 9 分）如图 12，直线 4xy与两坐标轴分别相交于 A、B 点，点 M 是线段 AB 上任意一点（A、B 两点除外） ，过 M 分别作 MCOA 于点 C，MDOB 于 D（1）当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2
4、）当点 M 运动到什么位置时，四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形 OCMD 为正方形时，将四边形 OCMD 沿着 x 轴的正方向移动，设平移的距 13 14 12AHBCDAHBCDHMQPDCBA离为 )40a（ ，正方形 OCMD 与AOB 重叠部分的面积为 S试求 S 与 a的函数关系式并画出该函数的图象练习 1如图， 直线 l与 x轴、 y轴分别交于点 ) 0,8(M，点 ) 6,(N点 P从点 N出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 N O方向运动，点 从点 O出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 O M的方向运动已知点 P、同时出发，当点 到达点 M时，
5、P、两点同时停止运动， 设运动时间为 t秒（1）设四边形 MNPQ 的面积为 S，求 关于t的函数关系式，并写出 t的取值范围 2、变量的取值范围方法：端点法，不等式法解答质点运动型问题中的取值范围，需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握动点运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系尽管一些试题大多属于静态的知识和方法，然而，这些试题中常常渗透着运动与变化的思想方法，需要用运动与变化的观点去研究和解决例 （2008 年大连）如图 12，直角梯形 ABCD 中，ABCD，A = 90，CD = 3，AD = 4，tanB = 2，过点 C 作
6、 CHAB，垂足为 H点 P 为线段 AD 上一动点，直线PMAB，交 BC、CH 于点 M、Q 以 PM 为斜边向右作等腰 RtPMN，直线 MN 交直线 AB 于点 E，直线 PN 交直线 AB 于点 F设 PD 的长为 x，EF 的长为 y求 PM 的长(用 x 表示)；求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围( 图 13 为备用图)； 当点 E 在线段 AH 上时，求 x 的取值范围( 图 14 为备用图) 三、方程思想例 1（2010 北京）24、在平面直角坐标系 中，抛物线Oy与 轴的交点分别为原234522mxmy x点 O 和点 A，点 B（2， ）在这条抛物线上.
7、n（1）求 B 点的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点运动，过 P 点作轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 ED=PE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧x作等腰直角三角形 PCD（当 P 点运动时， C 点、 D 点也随之运动）.当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；BxyMCDO A图12（1）BxyO A图12（2）BxyO A图12（3）A CBPQED图 16若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一点 Q从 A 点出发向 O 点作匀速运动，速度为
8、每秒 2 个单位（当 Q 点到达 O 点时停止运动， P 点也同时停止运动）.过 Q 点作 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得xFM=QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当 Q 点运动时， M 点、 N 点也随之运动）.若 P 点运动到 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线t上，求此刻 的值 .t例 2、(2008 湖北 天门)如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(3，0)，B 点坐标为(0，4)动点 M 从点 O 出发，沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动；同时，动点 N 从点 A 出发沿 A
9、B 方向以每秒 个单位长度的速度向终点 B 运动设运动了35x 秒(1)点 N 的坐标为(_，_)；(用含 x 的代数式表示)(2)当 x 为何值时，AMN 为等腰三角形？(3)如图，连结 ON 得OMN，OMN 可能为正三角形吗？若不能，点 M 的运动速度不变，试改变点 N 的运动速度，使 OMN 为正三角形，并求出点 N 的运动速度和此时x 的值O M A xNBy图O MaaaaaA xNBy图例 3.（09 年河北）26 （本小题满分 12 分）如图 16，在 RtABC 中，C=90，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运
10、动，到达点 A后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D， 交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t 0） （1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 Q BED
11、 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 4、多边形的存在问题例 1、 （2007 年，义乌，24 题）如图，抛物线 与 x 轴交 A、B 两点（A 点23yx在 B 点左侧） ，直线 与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2。l（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）点 G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由。例 2、(2008 江苏常州)如图,抛物线 与
12、 x 轴24y分别相交于点 B、O,它的顶点为 A,连接 AB,把 AB 所的直线沿 y 轴向上平移,使它经过原点 O,得到直线 l,设P 是直线 l 上一动点.（1）求点 A 的坐标;（2）以点 A、B、O、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点 P 的坐标;（3）设以点 A、B、O、P 为顶点的四边形的面积为 S,点 P 的横坐标为 x,当时,求 x 的取值范围. 4682S课堂练习已知：如图，在直角梯形 中， ，以 为原点建立平面直角坐CABO标系， 三点的坐标分别为 ，点 为线段 的中点，ABC， ， (80)1)(04)， ， ， ， ，
13、 DBC动点 从点 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线 的路线移动，移动的时间为PO秒t（1）求直线 的解析式；（2）若动点 在线段 上移动，当 为何值时，四边形 的面积是梯形 面tOPOA积的 ？7（3）动点 从点 出发，沿折线 的路线移动过程中，设 的面积为 ，请POABDD S直接写出 与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；St t（4）当动点 在线段 上移动时，能否在线段 上找到一点 ，使四边形 为QCP矩形？请求出此时动点 的坐标；若不能，请说明理由ABDCO P xyABDCO xy（此题备用）作业 1如图，点 A（m，m 1） ，B （m3，m1）都在反比例函数的图象上
14、 （1）求 m，k 的值； （2）如果 M 为 x 轴上一点，N 为 y 轴上一点，以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线 MN 的函数表达式 2.如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于 两点，1(0)2xbxyAB，以 为边作矩形 ， 为 的中点以 ， 为斜边端点作等OAB， OACBD4， (80)，腰直角三角形 ，点 在第一象限，设矩形 与 重叠部分的面积为 POACBP S（1）求点 的坐标；（2）当 值由小到大变化时，求 与 的函数关系式；bSb（3）若在直线 上存在点 ，使1(0)2yxQ等于 ，请直接写出 的取值范围；OQM 90（1） 在 值的变
15、化过程中，若 为等腰三角形，且bPCDPC=PD，请直接写出 的值3(昌平二模 2011）25.如图 1，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OMN 的斜边 ON 在x 轴上，顶点 M 的坐标为（3，3） ，MH 为斜边上的高抛物线 C： 与直线214yxn及过 N 点垂直于 x 轴的直线交于点 D点 P（m，0）是 x 轴上一动点，过点 P 作12yy 轴的平行线，交射线 OM 与点 E设以 M、E、H、N 为顶点的四边形的面积为 S（1）直接写出点 D 的坐标及 n 的值；（2）判断抛物线 C 的顶点是否在直线 OM 上？并说明理由；（3）当 m3 时，求 S 与 m 的函数关系式；ACD
16、yMPNx图 1yxDE MP H NO（4）如图 2，设直线 PE 交射线 OD 于 R，交抛物线 C 于点 Q，以 RQ 为一边，在 RQ 的右侧作矩形 RQFG，其中 RG= ，32直接写出矩形 RQFG 与等腰直角三角形 OMN 重叠部分为轴对称图形时 m 的取值范围4（北京 2012）22操作与探究：（1）对数轴上的点 进行如下操作：先把点 表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右PP13平移 1 个单位，得到点 的对应点 . 点 在数轴上，对线段 上的AB， AB每个点进行上述操作后得到线段 ，其中点 的对应点分别，为 如图 1，若点 表示的数是 ，则点 表示的数是 ；AB， A3若
17、点 表示的数是 2，则点 表示的数是 ；已知线段 上的点BAB经过上述操作后得到的对应点 与点 重合，则点 表示的数是 EE E；来源:学科网（2）如图 2，在平面直角坐标系 中，对正方形 及其内部的每个点进行如下操作：xOyABCD把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数 ，将得到的点先向右平移 个单位，再向上平am移 个单位（ ） ，得到正方形 及其内部的点，其中点 的对应点分n0mn， AB，别为 。已知正方形 内部的一个点 经过上述操作后得到的对应点 与点AB，ABCDFF重合，求点 的坐标。F备 用 图 1yxDMH NOO NHM Dxy备 用 图 2GF图 2REO NHPMQ Dxy
