1、- 1 -高三数学专题讲座（复数） 2001 年 5 月 10 日1、（2000 年）在复平面内，把复数 对应的向量按顺时针方向旋转 ，所得向量对应的复数是i33（A） （B） （C） （D）32i2i i2、（2000 年春季）复数 则 在复平面内的对应点位于,1,21iz21z(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3、（2000 年春季）设复数 z1=2sin +icos 在复平面上对应向量 ，将 按顺时针)4(1OZ1方向旋转 后得到向量 ， 对应的复数为 Z2=r(cos+isin),则 tg=42OZ(A) (B) (C) (D)12tg1tg1tg1tg4、
2、（2000 年上海）设复数 满足 ,且 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分 线上,z5zi)43(,求 和 的值.)(5Rmz5、（1999 年）设复数 ，求函数 的最大值及对应的 的值。sin2co3z )20(argzy 6、 （1998 年）复数i 的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是（A） （B） （C） （D）213213i213i2137、 （1997 年）已知复数 ， ，复数 、 在复平面上所对应的点分别ziiz3为 P、Q。证明 OPQ 是等腰直角三角形（其中 O 为原点）8、（1996 年）复数 等于()21345i(A)、1+ i (B)、 1+ i (C)、1
3、i (D)1 i339、（1995 年）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 Z1, Z2 ,Z3 ,O（其中 O 是原点） ，已知 Z2对应复数 Z2=1+ i。求 Z1和 Z2对应的复数。310、（1994 年）如果复数 z 满足 |z+ i |+ | zi |=2，那么 | z+i+1 |的最小值是（A）1 （B） （C）2 （D ） 511、 （1994 年）已知 z=1+i,(1)设= ,求的三角形式；z34- 2 -(2)如果 ，求实数 a、b 的值。zabi2112、（1993 年）设复数 z=cos+isin (0)， = ，并且| |= ，arg ， 求 14
4、()z3213、（2001 年春季）已知 (17zCz且（）证明 ；065432（）设 的辐角为 ，求 的值z4cos2cos14、（2000 年上海）复数 的 三 角 形 式 是是 虚 数 单 位 )(in().56sin(co3) ),54sin(co3) . ,) DCBA15、 （2000 年上海）已知复数 均为实数， 为yxiyxwyixzmiz ,010 其 中和 i虚数单位，且对于任意复数 。|2|,w有（1）试求 的值，并分别写出 和 用 、 表示的关系式；mxy（2）将( 、 )作为点 的坐标，( 、 )作为点 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点xyPQ的一个变换：它将平
5、面上的点 变到这一平面上的点 ，当点 在直线 上移动时，试求点 经该变换后得到的点 的轨迹方程；P1xyP（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。- 3 -高三数学专题讲座（数列）参考答案1、B2、D3、A4、解法一设 ,25,5),(2yxzRyxiz而 )34()3(43)( iii 又 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分 线上,z ,得 .0yxx7 . 即 ; ,2,)2(iz)71(iz当 时,有 ,即 ,得 .iz7125mi 50122,m当 时,同理可得 .)(,0解法二 , ,243zi
6、zi )43sin(co2)43( zi得 iz27或 得 .),47sin(co5)43( zi)27(iz当 时,有 ,即 ,得 .i71225mi 50)12,m当 时,同理可得 .)(z,05、解:由 .20tg得由 得.sinco3z .31)(arg2ar0tztz及故 ,31)arg(2tgtzty.3,323tgtg- 4 -当且仅当 时,即 时,上式取等号.)20(3tg3tg所以当 时,函数 取最大值3y6、D7、解：因为 .),6sin()co(213iziz 所 以因为 .1,4is4所 以i于是 .|233232 izz由此得 OPOQ，|OP|=|OQ| .由此知O
7、PQ 有两边相等且其夹角为直角，故OPQ 为等腰直角三角形。8、B9、解：设 Z1，Z 3对应的复数分别为 .,31z依题设得 i iiiz213 )2)(2)4sn()co(21 i iiiz231 )2)(3124snco3 10、A11、 （1） 45sinco（2） 2,ba12、 ， 或cos4sintg12713、解：（）由 )1( 65432zzz765432，得 4 分0)( 65432zzz- 5 -因为 ， ，1z0所以 6 分065432zz（）因为 ，1|,7可 知所以 ，而 ，所以 ，1z76z，同理 ， 6 3452,z 65342z由（）知 ，165z即 ，424
8、2z所以 的实部为 ， 8 分而 的辐角为 时，复数 的实部为z42z，coscos所以 12 分114、C15、解 （1）由题设， ，2,000 zzzw于是由 ， （3 分）3,42mm得且因此由 ，iyxxyiiiyx )3()(1( 得关系式 （5 分）3解（2）设点 在直线 上，则其经变换后的点 满足),(yxP1x),(yxQ， （7 分）1)3(yx消去 ，得 ，232(x故点 的轨迹方程为 （10 分）Q)y解（3）假设存在这样的直线，平行坐标轴的直线显然不满足条件，所求直线可设为 ， （12 分）)0(kbx解法一 该直线上的任一点 ，其经变换后得到的点,yP仍在该直线上，)3,(yxQ ，bk(- 6 -即 ，bxky)3()13(当 时，方程组 无解，0b1故这样的直线不存在。 （16 分）当 时，由0b,31)3(k得 ，023k解得 或 ，3故这样的直线存在，其方程为 或 ， （18 分）xyxy3解法二 取直线上一点 ，其经变换后的点 仍在该直线上，)0,(kbP),(kbQ ，kb)(3得 ， （14 分）0故所求直线为 ，取直线上一点 ，其经变换后得到的点 仍在该直xy),0(kP)3,1(kQ线上。 ， （16 分）)31(3kk即 ，得 或 ，023k故这样的直线存在，其方程为 或 ， （18 分）xyxy3
