1、39初中数学竞赛辅导资料（16）整数的一种分类甲内容提要1 余数的定义：在等式 A mBr 中，如果 A、B 是整数，m 是正整数，r 为小于 m 的非负整数，那么我们称 r 是 A 除以 m 的余数。即：在整数集合中 被除数除数商余数 (0余数除数)例如：13，0，1，9 除以 5 的余数分别是 3，0，4，1 （15（1）4。 95（2）1。 ）2 显然，整数除以正整数 m ,它的余数只有 m 种。例如 整数除以 2，余数只有 0 和 1 两种，除以 3 则余数有 0、1、2 三种。3 整数的一种分类：按整数除以正整数 m 的余数，分为 m 类，称为按模m 分类。例如：m=2 时，分为偶数
2、、奇数两类，记作2k,2k1 （k 为整数）m=3 时，分为三类，记作 3k,3k+1,3k+2.或3k,3k+1 ， 3k1其中3k1表示除以 3 余 2。m=5 时，分为五类， 5k. 5k+1,5k+2,5k+3 ,5k+4或5k,5k1,5k2 ， 其中 5k2 表示除以 5 余 3。4 余数的性质：整数按某个模 m 分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。举例如下：（3k 1+1）+(3k 2+1)=3(k1+k2)+2 （余数 112）（4k 1+1）(4k 2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数 133）（5k2） 225k 220k+4=5(5k24k)+4
3、 （余数 224）以上等式可叙述为： 两个整数除以 3 都余 1，则它们的和除以 3 必余 2。 两个整数除以 4，分别余 1 和 3，则它们的积除以 4 必余 3。 如果整数除以 5，余数是 2 或 3，那么它的平方数除以 5，余数必是4 或 9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。如：17 除以 5 余 2 17 6 除以 5 的余数是 4 （2 664）5 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模 m。40乙例题例 1. 今天是星期日，9 9 天后是星期几？分析：一星期是 7 天，选用模 m=7, 求 99 除以 7 的余数解：9 9（72） 9，它的余数与 29 的余数相同，29（2 3）
4、 38 3（71） 3 它的余数与 13 相同，9 9 天后是星期一。又解：设A表示 A 除以 7 的余数，9 9（72） 92 98 3（71） 31 31例 2. 设 n 为正整数，求 43 n+1 除以 9 的余数。分析：设法把幂的底数化为 9kr 形式解：4 3 n+144 3n=4(43)n=4（64） n4(9 71) n(971) n 除以 9 的余数是 1n=14 3 n+1 除以 9 的余数是 4。例 3. 求证三个连续整数的立方和是 9 的倍数解：设三个连续整数为 n1,n,n+1M=(n 1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2)把整数 n 按模 3，分为三类讨论。当
5、n=3k （k 为整数，下同）时，M33k(3k) 2+2=9k(9k 2+2)当 n=3k+1 时， M3（3k+1） (3k+1) 2+23（3k+1）(9k 2+6k+3)=9(3k+1)(3k2+2k+1)当 n=3k+2 时， M3（3k+2） (3k+2) 2+23（3k+2）(9k 2+12k+6)9(3k+2)(3k 2+4k+2)对任意整数 n，M 都是 9 的倍数。例 4. 求证：方程 x23y 2=17 没有整数解证明：设整数 x 按模 3 分类讨论，当 x3k 时， （3k） 23y 2=17, 3(3k 2y 2)=17当 x=3k1 时， （3k1） 23y 2=1
6、7 3(3k22ky 2)=16由左边的整数是 3 的倍数，而右边的 17 和 16 都不是 3 的倍数，上述等式都不能成立，因此，方程 x23y 2=17 没有整数解例 5. 求证：不论 n 取什么整数值，n 2+n+1 都不能被 5 整除证明：把 n 按模 5 分类讨论， 当 n=5k 时，n 2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1当 n=5k1 时，n 2+n+1（5k1） 25k1125k 210k+1+5k115（5k 22kk）21当 n=5k2 时，n 2+n+1（5k2） 25k2125k 220k+4+5k215（5k 24k+k+1）2综上所述，不论 n 取
7、什么整数值，n 2+n+1 都不能被 5 整除又证：n 2+n+1n(n+1)+141n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是 0，2， 6n 2+n+1 的个位数只能是 1，3，7，故都不能被 5 整除。丙练习 161. 已知 a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k 都是整数)填写表中各数除以 3 的余数。2. 37 67 的余数是3今天是星期日，第 2 天是星期一，那么第 2111 天是星期几？4已知 m,n 都是正整数，求证： 3 nm(n2+2)5. 已知 a 是奇数但不是 3 的倍数，求证：24 （a 21）（提示 a 可表示为除以 6 余 1 或 5，即
8、a=6k1）6 把正整数按表中的规律排下去，问 100将排在哪一列？答：7 已知正整数 n 不是 4 的倍数求证：1 n2 n3 n4 n 是 10 的倍数8. 任给 5 个整数，必能从中找到 3 个，其和能被 10 整除，这是为什么？9 对任意两个整数，它们的和、差、积中至少有一个是 3 的倍数，试说明理由。10任意 10 个整数中，必有两个,它们的差是 9 的倍数。这是为什么？如果改为任意 n1 个，则必有两个,它们的差是 n 的倍数，试说明理由。11.证明 x 2+y2-8z=6 没有整数解 （1990 年德化县初中数学竞赛题）12.从 1 开始的正整数依次写下去，直到第 198 位为止 即 位198234那么这个数用 9 除之，余数是（1987 年全国初中数学联赛题）a+b a+c ab ac 2a 2b a2 b2 b3 b5 a+b)5 一 二 三 四 五1 2 3 48 7 6 59 10 11 1216 15 14 1341返回目录 参 考 答案 上一页 下一页
