1、分式的复习一、 基本知识点：知识点一、分式的有关概念及性质1.分式的定义：设 A、B 表示两个整式如果 B 中含有字母，则式子 就叫做分式注意分母 B 的值BA不能为零，否则分式没有意义.注：判断一个代数式是否是分式，主要看分式的分母是否含有未知数。另外不能把原式变形（如约分等）后再进行判断，而只能根据它的本来面目进行判断。例如：对于 来说， ，我们不能因为 是整式，就判断 也是整式，事实上y3232y3yy32是分式。y22.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式注：如果分子分母有公因式，要进行约分化简.3.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘( 或除以) 一个不等于 0 的整式，
2、分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是： （M 为不等于零的整式）.知识点二、分式的运算1.基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:2.零指数 3.负整数指数4.约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分注：（1）约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，同时把分子分母中系数的最大公约数约去；（2）约分的依据是分式的基本性质；（3）若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分（4）当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：（其中 n 为自然数）
3、 。（5）分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式） 。5.通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分注： (1)通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；(2)不要把通分与去分母混淆，通分的依据是分式的基本性质，去分母的依据是等式的基本性质6.分式的加减法法则(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；(2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算7.分式的乘除法法则两个分式相乘，把分子相乘的
4、积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘注：（1）在分式的乘法运算中，当分子和分母都是单项式时，此时乘法运算可以直接运用法则计算：（2）分子、分母是多项式时，要先分解因式，看能否约分，然后再乘：（3）分式的除法可以统一成分式的乘法：（4）分式乘除法中的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同。8.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的注：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简。知识点三、分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母
5、,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程注： 解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。3.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的根增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根知识点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些解题时应抓住“找等量关系、恰当
6、设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性四、规律方法指导1.分式的概念需注意的问题(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；(2)分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母2.约分需明确的问题(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；(3
7、)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.4.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审仔细审题，找出等量关系;(2)设合理设未知数;(3)列根据等量关系列出方程；(4)解解出方程;(5)验检验增根；(6)答答题二、经典例题透析类型一：分式及其基本性质1当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A. B. C. D. 2若分式 的值等于零，则 x_； 3求分式 的最简公分母。举一反三：【变式 1】 （1）已知分式 的值是零，
8、那么 x 的值是（ ）A1 B0 C1 D（2）当 x_时，分式 没有意义【变式 2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A B C D类型二：分式的运算技巧(一) 通分约分4化简分式:举一反三：【变式 1】顺次相加法 计算：【变式 2】整体通分法 计算：（二）裂项或拆项或分组运算5巧用裂项法计算：举一反三：【变式 1】分组通分法计算：【变式 2】巧用拆项法计算： 类型三：条件分式求值的常用技巧6参数法 已知 ，求 的值举一反三：【变式 1】整体代入法 已知 ，求 的值. 【变式 2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的
9、问题适合通常采用倒数法已知： ，求 的值【变式 3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值已知： ，求 的值类型四:解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧（一）与异分母相关的分式方程7解方程 =举一反三：【变式 1】换元法 解方程： 321x（二）与同分母相关的分式方程8解方程 32x举一反三：【变式 1】解方程 【变式 2】解方程871x25xx类型五：分式（方程）的应用9甲、乙两个小商贩
10、每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000 元钱的糖；乙进货的策略是每次买 1000 斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？举一反三：【变式 1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距 180 千米的 A 地同时出发到 B若汽车的速度是自行车的速度的 2 倍，汽车比自行车早到 2 小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？【变式 2】 A、B 两地路程为 150 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，2 小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达 B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的 2 倍，结果甲、乙两车同时到达
11、A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度中考题萃一、选择题1、 （包头市）化简 ，其结果是( )2)4(2xxA B C D8x8828x2、 （陕西省）化简 的结果是( )ba)(2Aab B a b C D1ba13、 （山西省）解分式方程 ，可知方程( )xx2A解为 x2 B解为 x4 C解为 x3 D无解 4、 （上海市）用换元法解分式方程 时，如果设 ，将原方01yx1程化为关于 y 的整式方程，那么这个整式方程是( )A、y 2y30 B、y 23y10C、3y 2y10 D、3y 2y105、 （浙江省）解方程 的结果是( )x248A、x2 B、x2 C、x4 D无解二、填空题6
12、、 （天津市）若分式 的值为 0，则 x 的值等于_。12x三、化简求值7、 （山西）化简： 8、 （上海市）计算：2)4(2xx1)1(22aa9、 （河北省）已知 a2，b1，求 的值ab11210、 （河南省）先化简 ，然后从 ，1，1 中选取一个你2)1(xx认为合适的数作为 x 的值代入求值.四、解分式方程13、 （北京市） 解分式方程： 14、 （赤峰市）解分式方程：学习成果测评基础达标一、填空题1已知 vv 0at(a 不为零)，则 t_；2关于 x 的方程 mxa (m 的解为 ；3若分式 的值为零，则 x 的值等于_4如果3 是分式方程 的增根，则 a_；5一汽车在 a 小时
13、内走 x 千米，用同样的速度，b 分钟可以走_千米二、选择题6已知 2，用含 x 的代数式表示 y，得（ ）（A）y2x8 （ B）y2x10 （C）y2x8 （D）y2x107下列关于 x 的方程，其中不是分式方程的是（ ）（A） （B ） （C） （D）8一件工程甲单独做 a 小时完成，乙单独做 b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（ ）（A）ab （B ） （C ） （D）9解关于 x 的方程（m 21）xm 2m2 (m 21) 的解应表示为（ ）（A）x （B）x （C）x （D）以上答案都不对三、解方程10 （1） ； （2） 3412xx 2)1()21( yy四、解关于 x 的方程11. )0(2baab五、列方程解应用题12某文具厂加工一种学生画图工具 2500 套，在加工了 1000 套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的 1.5 倍，结果提前 5 天完成任务，求该文具厂原来每天加工多少套这种学生画图工具
