1、分类讨论思想（3）第 3 讲一、概述与要点历年中考试题的综合性问题中，屡次出现数学分类讨论思想，并且能力要求较高。以尽力培养学生的思维品质，学习能力.在解这类综合能力题时，从基础知识和基本数学思想（分类讨论）出发，抓住本质，具备缜密的思维得出完整的结论。如等腰三角形设有指明腰，直角三角形没有指明直角等问题，都应一一分类考虑.二、例题选讲例 1、已知抛物线 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，若ACB 是43mxy2等腰三角形，求抛物线的解析式分析 此题题干很短，条件简单，但细看有许多不确定因素，如抛物线开口可以向上，也可以向下；与 x 轴两个交点 A， B 可在原点同侧，也可
2、在原点异侧；等腰 ABC 可以是 CB=CA，也可以是 AB=AC，还可以是 AB=BC，因此必须分类讨论，观察解析式，发现它的右边可以分解因式，可求出 A， B 两点的坐标分别为（3，0）和 ，C 点坐标为（0，4） ，不论 A， B 两点的位置如何，线段 AB 的长度都可3m,以表示为 ，AC 和 BC 则可用勾股定理求得.4解： .4y0x,432 时 ，当xy C 点的坐标为（0，4）.当 y=0 时， 的解为 ，0432xmx mx3,21 抛物线与 x 轴的交点是 A（3，0） 、B（ ）.3（1） 若 AC BC，如图 5-10，则 A、 B 关于 y 轴对称. =3， ，49
3、抛物线的解析式为 42xy（2） 若 AC AB，如图 5-11， AO=3，OC =4， AC=5CA xOy 图 5-1 B2B1B xOyCA图 5-10 32m,61,534解 得m当 时，解析式为614xy2当 时，解析式为323（3） 若 AB BC，如图 5-12则 得22344m78 抛物线的解析式为 412xy所以，所求抛物线的解析式为 或 或 或94x61y24x32y.42178xy例 2、已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像过点 A（2，4） ，顶点的横坐标为 ，它的图像与 x 轴交于两2点 B（x 1,0） 、C （x 2,0） ，与 y 轴交于点 D，且 .试
4、问：在 y 轴的正半轴上是否存在点 p，使得13x1 POB 与 DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过 P、 B 两点直线的解析式；若不存在，说明理由。分析：本题主要考察学生的分类讨论的能力. 因为题中 B（x 1,0）,C（x 2,0）的位置没有明确，所以 B点坐标要做两种假设：而 POB 与 DOC 相似的对应边也可改变，因此，本题显然是简单之中蕴育着分类的智慧.解：y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 B（x 1,0）,C（x 2,0） ， .acbx211,又因为 即 323211xx acb又由 y 的图象过点 A（2，4） ，顶点的横坐标为 ，21则有 4a+
5、2b+c=4 1由 解得 a=1，b=1，c=6.AB xOyC图 5-12B CO xDy图 5-13 y= x2+x+6图象与 x 轴交点为（2，0） ， （3，0） ，与 y 轴交点为（0，6）.设 y 轴上存在点 P，使得 POB DOC， 则（1（ 当 B（2，0） 、 C（3，0） 、 D（0，6）时有（如图 5-13）.,2, OO OP=4，即点 P 的坐标为（0，4）.可设过 P（0，4） 、 B（2，0）两点直线的解析式为 有 0=-2k+4，得 k=2.所以 ,4kxy.2xy或 .3,6, OCDOCD OP=1，这时点 P 的坐标为（0，1）.可设过 P（0，1） 、
6、 B（2，0）两点直线的解析式为 有 0=-2k+1，得 k= .所以 ,1kxy21.2xy（2（ 当 B（3，0） 、 C（-2，0） 、 D（0，6）时有（如图 5-14）或 .91xy例 3、已知在梯形 ABCD 中，AD/BC ，AD0）上有两点 A、 B，它们在横坐标分别为-1，2，如果 AOB（O 是坐标原点）是直角三角形，求 a 的值.4、如图 5-19， ABC 中，AB=AC=10，BC =8，点 D 在边 AB 上，且 AD=8，若E 是边 AC 上一点，且 ADE 是等腰三角形，求 sin ADE 的值. 5、如图 5-20， ，AB=AC=2，点 D 在 BC 上运动，,90BACRt中（不能到达点 B、 C） ，过 D 作 ，DE 交 AC 于 E45E（1）求证： ；A（2）设 BD=x， AE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；DAB CQP图 5-16 EDB CAE图 5-20CBAE图 5-19DBAC图 5-18ABD 图 5-17 C（3）当 是等腰三角形时，求 AE 的长.ADE答案：1、 .640或或2、 1358或或3、 .或a4、 .2514sin251sinADEADE或5、 （1）略；（2） ；（3）1 或 4 .02xxy 2
