1、经雪山阿莲整理的数学材料第 1 页 共 4 页八年级数学培优训练题补形法的应用班级_ 姓名_ 分数_一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。一、补成三角形1.补成三角形例 1.如图 1，已知 E 为梯形 ABCD 的腰 CD 的中点；证明：ABE 的面积等
2、于梯形 ABCD 面积的一半。分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。略证：2.补成等腰三角形例 2 如图 2.已知A90，ABAC，12，CEBD，求证：BD2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现 CF2CE ，再证 BDCF 即可。略证：3.补成直角三角形例 3.如图 3，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC 90，F 、G 分别是 AD、BC 的中点，若 BC 18，AD8，求 FG 的长。分析：从B、C 互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求 FG，需求 P
3、F、PG 。略解： 图 3经雪山阿莲整理的数学材料第 2 页 共 4 页4.补成等边三角形例 4.图 4，ABC 是等边三角形，延长 BC 至 D，延长 BA 至 E，使 AEBD，连结 CE、ED。证明：ECED分析：要证明 ECED，通常要证ECDEDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长 BD 到 F，使 BFBE ，连结 EF。略证：二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例 5.如图 5，四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点，并且E、F、 G、H 不在同一条直线上，求证：EF 和 GH 互相平分。分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，
4、需考虑四边形 GEHF 是平行四边形。略证：2.补成矩形例 6.如图 6，四边形 ABCD 中，A60 ，BD 90，AB200m，CD100m，求 AD、BC的长。分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。略解：图 6经雪山阿莲整理的数学材料第 3 页 共 4 页3.补成菱形例 7.如图 7，凸五边形 ABCDE 中，A=B120，EAABBC 2，CD DE 4，求其面积分析：延长 EA、CB 交于 P，根据题意易证四边形 PCDE 为菱形。略解：4.补成正方形例 8.如图 8，在ABC 中，ADBC 于 D，BAC 4
5、5，BD3， DC 2。求ABC 的面积。分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设BAC 45，ADBC 出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。 略解：5.补成梯形例 9如图 9，已知： G 是 ABC 中 BC 边上的中线的中点，L 是ABC 外的一条直线，自A、B 、 C、G 向 L 作垂线，垂足分别为 A1、B 1、C 1、G 1。求证：GG 1 4(2AA1 BB1CC 1)。分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过 D 作 DD1L 于 D1，则 DD1 既是梯形 BB1
6、C1C的中位线，又是梯形 DD1A1A 的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。略证：图 7图 8图 9经雪山阿莲整理的数学材料第 4 页 共 4 页三、练习 1、在ABC 中，AC=BC，D 是 AC 上一点，且 AE 垂直 BD 的延长线于 E，又AE= BD，求证： BE 平分ABC。22、如图，已知：在ABC 内，BAC=60 ，ACB=40，P、Q 分别在 BC、CA 上，并且 AP、BQ 分别是BAC、ABC 的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP3、已知：BAC=90，AB=AC，AD=DC，AEBD，求证：ADB=CDE4、设正三角形 ABC 的边长为 2，M 是 AB 边上的中点，P 是 BC 边上的任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别记为 S 和，求：S t 的值。ABQCPAB CDEA BCPM
