1、1. （2011 浙江省舟山， 24，12 分）已知直线 （ 0）分别交 轴、 轴于3kxyxyA、B 两点，线段 OA 上有一动点 P 由原点 O 向点 A 运动，速度为每秒 1 个单位长度，过点 P 作 轴的垂线交直线 AB 于点 C，设运动时间为 秒x t（1）当 时，线段 OA 上另有一动点 Q 由点 A 向点 O 运动，它与点 P 以相同速度1k同时出发，当点 P 到达点 A 时两点同时停止运动（如图 1） 直接写出 1 秒时 C、Q 两点的坐标；t 若以 Q、C、A 为顶点的三角形与AOB 相似，求 的值t（2）当 时，设以 C 为顶点的抛物线 与直线 AB 的另一交点为43k n
2、mxy2)(D（如图 2） ， 求 CD 的长； 设COD 的 OC 边上的高为 ，当 为何值时， 的值最大？ hthBAOPCxy1D（第 24 题图 2）（第 24 题图 1）BAOPCQxy1【答案】 （1）C（1，2） ，Q（2，0） 由题意得：P( t，0)，C(t， 3)，Q (3t，0)，分两种情形讨论：情形一：当AQC AOB 时，AQC=AOB 90，CQOA ，CPOA，点 P 与点 Q 重合， OQ=OP，即 3t =t，t=1.5情形二：当ACQ AOB 时，ACQ=AOB 90，O =O 3，AOB 是等腰直角三角形，ACQ 是等腰直角三角形，CQOA，AQ=2CP，
3、即 t =2（t 3） ，t=2满足条件的 t 的值是 1.5 秒或 2 秒(2) 由题意得：C(t， 3)，以 C 为顶点的抛物线解析式是34t，23()4yxt由 ，解得 x1=t，x 2=t ；过点 D 作 DECP 于点 E，则3tx34DEC=AOB 90，DE OA，EDC= OAB，DEC AOB， ，CAOBAO=4，AB=5 ，DE =t（ ）= CD= 3435146DEBAOCD= ，CD 边上的高= S COD= S COD为定值；1561251298要使 OC 边上的高 h 的值最大，只要 OC 最短因为当 OCAB 时 OC 最短，此时 OC 的长为 ，BCO 90
4、， AOB 90，5COP 90 BOC OBA，又 CPOA，Rt PCORtOAB， ，OP= ，即 t= ，当 t 为 秒时，h 的值最大OPCBA12365BO32562. （2011 广东东莞，22，9 分）如图，抛物线 与 y 轴交于点 A，过点174yxA 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C（3，0）.（1）求直线 AB 的函数关系式；（2）动点 P 在线段 OC 上，从原点 O 出发以每钞一个单位的速度向 C 移动，过点 P 作x 轴，交直线 AB 于点 M，抛物线于点 N，设点 P 移动的时间为 t 秒，MN 的长为 s 个单位，求 s 与
5、t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点 P 与点 O，点 G 重合的情况） ，连接 CM，BN ，当 t 为何值时，四边形 BCMN 为平等四边形？问对于所求的 t 的值，平行四边形 BCMN 是否为菱形？说明理由.【解】 （1）把 x=0 代入 ，得25174yx1y把 x=3 代入 ，得 ，5A、B 两点的坐标分别（0，1） 、 （3， ）52设直线 AB 的解析式为 ，代入 A、B 的坐标，得ykxb，解得532bk12所以， yx（2）把 x=t 分别代入到 和12yx25174yx分别得到点 M、N 的纵坐标为 和ttMN= -（ ）=25174t
6、12即 s点 P 在线段 OC 上移动，0t3.(3)在四边形 BCMN 中，BCMN当 BC=MN 时，四边形 BCMN 即为平行四边形由 ，得2514t12,t即当 时，四边形 BCMN 为平行四边形或当 时，PC=2，PM= ，PN=4，由勾股定理求得 CM=BN= ,t352此时 BC=CM=MN=BN，平行四边形 BCMN 为 菱形；当 时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得 CM= ,2t此时 BCCM，平行四边形 BCMN 不是菱形；所以，当 时，平行四边形 BCMN 为菱形1t3. （2011 江苏扬州，28,12 分）如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB0）（1）PB
7、M 与QNM 相似吗？以图 1 为例说明理由；（2）若ABC=60，AB=4 厘米。3 求动点 Q 的运动速度； 设 RtAPQ 的面积为 S（平方厘米） ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）探求 BP2、PQ 2、CQ 2 三者之间的数量关系，以图 1 为例说明理由。【答案】解：（1）PBM 与QNM 相似；MNBC MQMP NMB= PMQ= BAC =90PMB= QMN, QNM=B =90 C PBMQNM（2）ABC=60，BAC =90,AB=4 ,BP= t3AB=BM=CM=4 ,MN=4 3 PBMQNM 即：MNBQP34QPP 点的运动速度是每秒 厘米，3 Q 点运
8、动速度是每秒 1 厘米。 AC=12,CN=8 AQ=12-8+t=4+t, AP=4 t S= =)34()21tt)16(2t（3） BP2+ CQ2 =PQ2证明如下： BP= t, BP 2=3t2 3CQ=8-t CQ 2=(8-t)2=64-16t+t2PQ 2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64BP 2+ CQ2 =PQ27. （2011 山东威海，25，12 分）如图，抛物线 交 轴于点 ，点2yaxbcx(3,0)A,交 轴于点 点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 F 是线段 BC 的中点，(10)By(0,3)E直线 过点 F 且与 轴平行直线 过点
9、 C，交 轴于点 Dl yxm（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 K 为线段 AB 上一动点，过点 K 作 轴的垂线与直线 CD 交于点 H，与抛物线交于点 G,求线段 HG 长度的最大值；（3）在直线 上取点 M，在抛物线上取点 N，使以点 A，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四l边形，求点 N 的坐标图 备用图【答案】 解：（1）设抛物线的函数表达式 (1)3yax抛物线与 轴交于点 ，将该点坐标代入上式，得 y(0,3)E所求函数表达式 ，即 1x2（2）点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 ，点 ，(3,0)A(1,)B点 C 的坐标是 (5,0)将点 C 的坐标是 代入 ，
10、得 yxm5直线 CD 的函数表达式为 设 K 点的坐标为 ，则 H 点的坐标为 ，G 点的坐标为 (,0)t (,)t 2(,3)t点 K 为线段 AB 上一动点， 31t 222341(5)(3)8()HGttt ，当 时，线段 HG 长度有最大值 32t41（3）点 F 是线段 BC 的中点，点 ，点 ，(,0)B(5,)C点 F 的坐标为 (3,0)直线 过点 F 且与 轴平行，ly直线 的函数表达式为 x点 M 在直线 上，点 N 在抛物线上 ，l设点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为 (3,)m2(,3)n点 ，点 ， (,0)A5C8A分情况讨论： 若线段 AC 是以点 A，C，
11、M，N 为顶点的四边是平行四边形的边，则须 MNAC，且MNAC8当点 N 在点 M 的左侧时， 3n ，解得 3n5N 点的坐标为 (,12)当点 N 在点 M 的右侧时， 3Nn ，解得 38nnN 点的坐标为 (1,40)若线段 AC 是以点 A，C，M，N 为顶点的平行四边形的对角线，由 “点 C 与点 A 关于点B 中心对称”知：点 M 与点 N 关于点 B 中心对称取点 F 关于点 B 对称点 P，则点 P 的坐标为 过点 P 作 NP 轴，交抛物线于点 N(1,0)x将 代入 ，得 x23yx4y过点 N，B 作直线 NB 交直线 于点 Ml在BPN 和BFM 中， 90PFBB
12、PNBFMNBMB四边形点 ANCM 为平行四边形坐标为 的点 N 符合条件(1,4)当点 N 的坐标为 ， ， 时，以点 A，C ，M ，N 为顶点的四边是(5,2)(1,40)(,)平行四边形8. （2011 山东烟台，26,14 分）如图，在直角坐标系中，梯形 ABCD 的底边 AB 在 x轴上，底边 CD 的端点 D 在 y 轴上.直线 CB 的表达式为 y= x+ ，点 A、D 的坐标分4316别为（4，0） ， （0，4）.动点 P 自 A 点出发，在 AB 上匀速运行.动点 Q 自点 B 出发，在折线 BCD 上匀速运行，速度均为每秒 1 个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同
13、时停止运动.设点 P 运动 t（秒）时，OPQ 的面积为 s（不能构成OPQ 的动点除外）.（1）求出点 B、C 的坐标；（2）求 s 随 t 变化的函数关系式；（3）当 t 为何值时 s 有最大值？并求出最大值 .O xyA BCDPQ O xyA BCD（备用图 1）90（备用图 2）90O xyA BCD【答案】解：（1）把 y4 代入 y x ，得 x1.4316C 点的坐标为（1 ，4）. 当 y0 时， x 0，316x4.点 B 坐标为（4，0）.（2）作 CMAB 于 M，则 CM4，BM3.BC 5.2C23sinABC .B5当 0t4 时，作 QNOB 于 N，则 QNB
14、QsinABC t.45S OPQN （4t） t t2 t（0t4）.12 85当 4t5 时， （如备用图 1） ，连接 QO，QP ，作 QNOB 于 N.同理可得 QN t.S OPQN （t4 ） t. t2 t（4t5）.1258当 5t6 时， （如备用图 2） ，连接 QO，QP .S OPOD （t4）42t 8（5t6）.121（3）在 0t4 时，当 t 2 时，85()S 最大 .28()54在 4t5 时，对于抛物线 S t2 t，当 t 2 时，5885S 最小 22 2 .8抛物线 S t2 t 的顶点为（2， ）.585在 4t5 时，S 随 t 的增大而增大.当 t5 时，S 最大 52 52.来源:Z,xx,k.Com在 5t6 时，在 S2t8 中，20， S 随 t 的增大而增大.当 t6 时，S 最大 26 84.综合三种情况，当 t6 时， S 取得最大值，最大值是 4.（说明：（3）中的也可以省略，但需要说明：在（2）中的与的OPQ，中的底边 OP 和高 CD 都大于中的底边 OP 和高.所以中的 OPQ 面积一定大于中的OPQ的面积.）
