1、1有限单元法图 3-1 简单的梁和桁架结构现考虑对图 3-1 中结构的分析。在位移分析法中我们是把该结构看成是两个梁单元、一个桁架单元和一个弹簧单元的分割体，第一步是计算对应于结构总体自由度的单元刚度矩阵。在这种情况下，对于梁单元、弹簧单元和桁架单元，我们分别有； 46124221symLLEIKe 4321U,；162816222symLLEIKe 6543U,；se36U； 24LEAKe 75,2整个分割体的刚度矩阵可以由各个单元刚度矩阵通过直接刚度法有效地求得。在这个过程中，结构刚度矩阵 K 是通过各单元刚度矩阵直接相加而算得，即 ieK而系统的平衡方程为 RU式中 是系统的总体位移向
2、量，R 是作用在结构总体位移方向上的外力向量：，71T721RT在求解结构的位移之前，我们需要利用边界条件 和 。这意味01U7着我们可以只考虑含有五个未知位移的五个方程，即 ，式中 是从 KK中删去第一和第七行以及第一和第七列后得到的，而，65432UUT00PRT上面的讨论说明了有限元法的一些重要特点基本的处理过程是先把整个结构看成为各个结构单元的分割体，计算对应于结构分割体总体自由度的各单元刚度矩阵，然后通过将各单元刚度矩阵叠加的方法形成结构刚度矩阵，求解单元分割体的平衡方程组就得到单元的位移，然后利用它们来计算单元的应力。虽然原来并不认为用位移法分析梁和衍架单元的分割体就是有限元分析，
3、但以后我们将会看到，实际上我们可以把桁架和梁单元看作两种特殊的有限元。在这个定义上，上述的分析就是梁和衍架结构的有限元分析。而用另一种方法，我们可不通过求解平衡微分方程，而是用虚功原理计算其刚度系数。导出表示弹性体平衡的相应方程的一个等效方法是利用虚位移原理，这个原理表示物体处于平衡的要求是：对于强加在该物体上的任意相容的微小的虚位移，总的内虚功应等于总的外虚功，即（3.1） iiTSTVBTVT FUdfdfUd式中， ， （3.2）BZYXfSZYXfiZYiXiF是作用在弹性体上的体力 、表面力 和集中力 。从未受荷载时的位置开i始的弹性体的位移以 表示，其中U（3.3）WVT3相应于
4、的应变为U（3.4）ZXYXZYXT 相应的应力为（3.5）ZXYXZYXT 和 表示虚应变和虚位移。U分析的基本步骤和上述桁架和梁结构的分析步骤一样。图 3-2 有限元平面分析该问题的求解可按下列的步骤进行：(1)假设每一单元节点 i 的两个未知位移为 和 ，而 和iuiv)Y,X(用简单多项式函数来表示，其中的末知参数是单元节点位移。对于图)Y,X(v3-3 中的单元，未知位移是 。41v,u(2)利用虚位移原理计算每个单元对应于节点自由度的刚度矩阵。(3)将各单元刚度矩阵叠加得到结构的刚度矩阵，利用边界条件解平衡方程组求出节点位移，然后算出单元的应力。图 3-3 局部坐标系统中典型的二维
5、四节点有限元43.1 利用虚位移原理建立有限元法的公式（一）平面应力分析的位移和应变位移的变换矩阵为了便于说明，再考虑一个平面内荷载作用下悬臂板分析的例子(图 3-2)。该结构是处于平面应力的状态，因此可以将平桓理想化为二维平面应力有限元的分割体，如图 3-2 所示。所需要的基本矩阵是对于分割体的每个单元的位移变换矩阵和应变-位移变换矩阵。为了推导这些矩阵，我们着重研究如图 3-3 所示的典型单元，并假设局部单元位移 和 是以局部坐标变量 和 的多项式的形式给出：uvxy（3.6）x)y,x( 4321（3.7）未知系数 也称为广义坐标，它们可以用未知的单元节点位移 和41, 41u,来表示。
6、定义41v,（3.8）43214321 vvuuT我们可以把式（3.6）和（3.7）写成矩阵形式（3.9）a)y,x(其中（3.10）0xy1（3.11）)y,x(vu),(（3.12） 43214321 Ta对于单元的各个节点，方程(3.9)都一定是成立的。因此，对于所有四个节点，利用式(3.9)，我们有（3.13）Aau其中（3.14）04332211yx5因而广义坐标 是a（3.15）uA1其中（3.16）110将式（3.9）代入，可以得到（3.17）u)y,x(N),(u其中（3.18）1A),(我们用虚功原理来得到单元刚度矩阵。若是平面应力状态，单元应变为（3.19）XYXT其中（3
7、.20）xuXyvYyuxvX利用式（3.17），我们得（3.21）B式中（3.22）1EA（3.23）yxxy010单元应力是（3.24）XYXT假定是各向同性的线弹性材料，对于平面应力状态，有（3.25）D其中（3.26）21012E而 和 是材料的弹性常数， 为杨氏模量， 为泊松比。6要进行实际的有限元分析，就需要求出式(3.18)和式(3.22)中分别给出的分割体中每个单元的位移和应变-位移的变换矩阵，而算出每个单元的矩阵 A，才能求出这些矩阵。至今，我们所考虑的是通过单元局部节点位移来决定的每个有限元的位移。然而，在推导整个单元分割体的平衡方程的时候，通过整个单元分割体节点位移来表示
8、单元的位移是方便的，即对单元 m 可写出（3.27）U)y,x(N)y,x(u)m)m而对于单元应变和应力类似地可写成（3.28）),(B),()（3.29）yxDyx)m()m( 式(3.27)至式(3.29)中的量与向量 有关，而 存储整个有限元分割体的总体U坐标系下的全部节点位移。作为一个例子，考虑 ，即确定图 3.2 中悬臂板)(N2理想化后的单元 2 上位移矩阵。利用图 3.2 给出的整个单元分割体和图 3.3 给出的单元的节点位移的定义，我们有 432123VUVUvuv0026273112 NN)( 976514 VUVUvuv（3.30）002512841 NN式中 是式（3.
9、17）中考虑单元 2 时对应的单元。ij3.2 建立有限元步骤归纳有限元法与结构力学中的位移法相似。首先将连续体转化为离散化结构，即将连续体代之以仅在节点互相连结的许多单元组成的结构。这种离散化结构类似于结构力学中的桁架或刚架，但其中的单元不一定是杆件，可以是平面块体或空间块体等。然后对此离散化结构按类似结构力学的位移法进行分析，步骤如下：71 取每个单元的节点位移 作为基本未知数。u2 在单元内建立位移模式， 。N3 根据几何关系建立应变矩阵， 。B4 根据物理方程建立应力矩阵， 。其中 称为uSDDB应力矩阵。5 根据虚位移原理建立单元刚度矩阵， 。)m(V)(T)(dK6 建立单元节点荷
10、载向量， 。)(CI)(S)m(B)( RR7 建立平衡方程， ，其中 ， ， 是全部KU)(m)(U节点位移向量。8 代入约束条件求解平衡方程， 。aa位移模式中的 N 称为形态函数。在有限单元法中，各种计算公式都依赖于位移模式，位移模式选择的恰当与否，与有限单元法的计算精度和收敛性有关。为了使位移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态，它应满足下列条件：(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移。(2)位移模式必须能反映单元的常量应变。(3)位移模式应尽可能地反映位移的连续性。在单元之间，除了节点处有共同的节点位移值外，还应尽可能反映在单元之间边界上位移的连续性。8第一章、 杆件结构的有限单元法
11、4.1 平面刚架结构平面刚架结构的有限单元法分析，通常采用两端固接的平面固结单元(见图4-1)，现针对这种单元讨论有限元分析计算公式的建立。图 4-1 平面刚架单元（a）坐标系，单元节点位移与节点力向量杆件结构的有限元分析需要建立单元局部坐标系与结构整体坐标系。对平面固结单元(如图 4-1 所示)，结构矩阵位移法取结构的节点位移为基本未知量。单元节点位移与基本未知量之间满足变形协调条件，在局部坐标和整体坐标下单元节点位移、节点力分别记为（4.1）jjjiiiTvuvu（4.2）jjjiii（4.3）jjjiiiT MVNR（4.4）jjjiii图 4-1 中各量值所示方向均为正方向。设单元的弹
12、性模量为 E，惯性矩为I，截面积为 A，杆长为 L。（b）位移模式，应力与应变矩阵由材料力学知识可知，位移模式可以选择（4.5）xa)(u10（4.6）32bbv9注意 ，可得单元的位移模式dxv（4.7）uN)(vu其中，形函数 23322332 010 0lxlxlxlxl单元的线应变分为拉压应变 和弯曲应变 两部分(略去剪切变形)，于是有0b（4.8）uBdxvyb20其中 232232 61604160 0lxylxylxylxylB对应的应力为（4.9）DBEbb00（c）单元刚度矩阵根据虚位移原理可知，在局部坐标系中（4.10）)m(V)(T)(dBK具体表达式为10 lEIllE
13、IllAlAEIlsymlEAK)m( 4602601214601223323（d）坐标转换矩阵，整体坐标下单元刚度矩阵从图 4-1 可知，局部坐标系相对于整体坐标系逆时针旋转了 角。根据单元的节点位移或节点力在两个坐标系中的投影关系，可得坐标转换关系（4.11）10cosin于是，单元节点位移或节点力的坐标转换矩阵(从整体坐标转到局部坐标)为（4.12）0根据正交矩阵的特性和矩阵的相关知识，可知在整体坐标中的单元刚度矩阵为（4.13）)m(T)(K（e）节点荷载向量单元上的荷载按虚位移原理移置到节点上、得到等效节点荷载向量（4.14）iiTlTFNqdR其中 是作用在杆上的均布荷载， 是集中荷载。i整体坐标中的节点荷载同局部坐标中的关系为（4.15）T（f）结构的平衡方程根据虚位移原理，结构的平衡方程表示为（4.16）RKU其中 ， ， 分别代表整体总刚度矩阵，总节点位m)(mumR移向量和总节点力向量。
