1、1函数 专讲 【函数的解析式 】【求函数解析式的方法】把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知 求 或已知 求 ：换元法、配凑法；()fx()fg()fgxf（3）已知函数图像，求函数解析式；（4） 满足某个等式，这个等式除 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程 组，从而)(xf求出待定的参数，
2、求得 的表达式。)(f【例 1】已知 函 数 f(x)是 一 次 函 数 ，且 满 足 关 系 式 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求 f(x)的 解 析 式 。分析：所求的函数类型已定，是一次函数。设 f(x)=ax+b(a0)则 f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设 f(x)=ax+b(a0)，由条件得： 3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=ax+5a+b=2x+17，f(x)=2x+7【例 2】求一个一次函数 f(x)，使得 fff(x)=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。设 f(x)=ax+b(a0)则 fff(x)=ffax+b=fa(ax+b)+b=
3、?解：设 f(x)=ax+b（a0)，依题意有 aa(ax+b)+b+b=8x+7 +b( +a+1)=8x+7，f(x)=2x+1xa32【评注：】待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 待 定 系 数 法 ()fx2(2)fx(2)fx设 二 次 函 数 满 足且 图 象 在 轴 上 的 截 距 为 1， 在 轴 截得 的 线 段 长 为 ， 求 的 解 析 式 。y()fx例 题 ：2解 法 一 、122xa2248bac21()fxxc又 ,1解 得 2()(0)fxabxca设 ()f由 40得解 法 二 、(0)1f41ak12x22,ak22()
4、()1fx()yfx2x得 的 对 称 轴 为2()f由 2设解 法 三 、(0)1f2a2)(2)1xx()yfx2x有 对 称 轴12又 f (,0)(2,0)与 轴 交 点 为()xx故 设3函数 专讲 【函数的解析式 】【求函数解析式的方法】【换元法】（注意新元的取值范围）已知 的表达式，欲求 ，我们常设 ，从而求得 ，然后代入)(xgf )(xf )(xgt)(1tgx的表达式，从而得到 的表达式，即为 的表达式。)(f tf【配凑法（整体代换法）】若已知 的表达式，欲求 的表达式，用换元法有困难时，（如 不存在反函)(xgf )(xf )(xg数）可把 看成一个整体，把右边变为由
5、组成的式子，再换元求出 的式子。gf【例题】已知 f(x-1)= -4x，解方程 f(x+1)=02x分析：如何由 f(x-1)，求出 f(x+1)是解答此题的关键解 1：f(x-1)= -2(x-1)-3，f(x)= -2x-32)1(x2xf(x+1)= -2(x+1)-3= -4， -4=0，x=2解 2：f(x-1)= -4x，f(x+1)=f（x+2)-1= -4(x+2)= -4， -4=0，x=22x 2)(x2x2解 3：令 x-1=t+1，则 x=t+2，f(t+1)= -4(t+2)= -4ttf(x+1)= -4， -4=0，x=22x2评注：只要抓住关键，采用不同方法都
6、可以达到目的。解法 1，采用配凑法；解法 2，根据对应法则采用整体思想实现目的；解法 3，采用换元法，这些不同的解法共同目的是将 f(x-1)的表达式转化为 f(x+1)的表达式。【小结：】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同-整体思想。【消元法】【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知 f（x）为奇函数且 g（x）为偶函数等）若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解 这个方程组，求出函数元，称这个方法为 消元法。4【赋值法】在求某些函数的表达式或求某些函数值时
7、，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 换 元 法 ()fx21()fx21(2)fx例 题 ： 根 据 条 件 ， 分 别 求 出 函 数的 解 析 式22()(1)ftt tt1tx（ 1） 解 ： 令txt则 且2fxx(1)即换 元 法52()fx(2)x凑 配 法 x1x用 替 代 式 中 的1又 考 虑 到 21()()fx（ 2） 解 ：解 函 数 方 程 组 法 13()2()fxfx(0)例 题 ： 已 知 ，求 ()()113()2()fxfxff解 ： 由 ()5xf(0)x解 得代 入 法 1()fxx1C1C2,A22()gx例
8、题 ： 设 函 数 的 图 象 为 ，关 于 点 对 称 的 图 象 为 ，求 对 应 的 函 数 的 表 达 式 。6()ygx(,)xy(2,1)A(4,2()fx设 图 象 上 任 一 点 ， 则 关 于对 称 点 为 在 上 ，解 ： 1yx即 24x即 1()gx()x故函数 专讲 【函数的解析式 】【例题】(1)已知 f（ 1）x 2 ，求 f(x)的解析式。(2)已知 f（x ）x 3 ，求 f(x)的解析式。(3)已知函数 f（x）是一次函数，且满足关系式 3f（x1）2f （x1）2x17，求 f(x)的解析式。分析：此题目中的“ f”这种对应法则，需要从 题给条件中找出来，
9、这就要有整体思想的应用。即：求出 f 及其定义域.(1)解法一：【换 元法】设 t 11，则 t1，x（t1） 2xf（t）（t1） 22（t1）t 21（t1）f（x）x 21 （x1）解法二：【凑配法】由 f( +1)=x+2 = -1，f(x)= -1(x1)x2)1(2x【评注：】f(t)与 f(x)只是自变量所用字母不同，本 质是一样的。求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。(2)x3 （x ）（x2 1）（x ）（x ）231 17f（x ）（x ）（x ）2311f（x）x（x 23）x 33x当 x0 时， x 2 或 x 2f（x）x 33 x（x
10、2 或 x2）(3)设 f（x）axb则 3f（x1）2f（x 1）3ax 3a2b2a2baxb5a2x 17a2，b7f（x）2x7评述：“换元法 ”“配凑法”及“待定系数法” 是求函数解析式常用的方法，以上 3 个题目分别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。函数 专讲 【函数的解析式 】【例题】(1)甲地到乙地的高速公路长 1500 公里，现有一辆汽车以 100 公里小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离 S(公里)表示成时间 t(小时)的函数。分析：从已知可知这辆汽车是匀速运动，所以易求得函数解析式，其定义域由甲乙两地之间的距离来决定。解：汽 车在
11、甲乙两地匀速行驶， S100t汽车行 驶速度为 100 公里小时，两地距离 为 1500 公里，从甲地到乙地所用时间为 t 小时105答：所求函数为：S100t t0，158(2)某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克，如果该乡镇人口平均每年增长 1.2，粮食总产量平均每年增长 4%，那么 x 年后若人均一年占有 y 千克粮食.求出函数 y 关于 x 的解析式。分析：此题用到平均增长率问题的分式，由于学生尚未学到，所以还应推导。解：设现在某乡镇人口为 A，则1 年后此乡镇的人口数为 A(11.2)，2 年后的此乡镇人口数为 A（11.2） 2经过 x 年后此 乡镇人口数 为 A(11.2)
12、x。再设现在某乡镇粮食产量为 B，则1 年后此乡镇的粮食产量为 B(14),2 年后的此乡镇粮食产量为 B（14） 2，经过 x 年后此 乡镇粮食产 量为 B（14） x，因某乡镇现在人均一年占有粮食为 360 kg，即 360，AB所以 x 年后的人均一年占有粮食为 y，即 y （xN*)x%)2.1(4360)2.1(4评述：根据 实 际 问 题 求 函 数 解 析 式 ，是 应 用 函 数 知 识 解 决 实 际 问 题 的 基 础 ，在 设 定 或 选 定 自 变量 后 去 寻 求 等 量 关 系 ，求 得 函 数 解 析 式 后 ，还 要 注 意 函 数 定 义 域 要 受 到 实
13、际 问 题 的 限 制 。9函数 专讲 【函数的解析式 】【例题】我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费基本费超额费损耗费若每月用水量不超过最低限量 时，只付基本费 8 元和每月每户的定额损耗费 元；若用水量超过 时，除了付同上a3mca3m的基本费和定额损耗费外，超 过部分每 付 元的超额费。已知每户每月的定额损耗费不超3mb过 5 元。该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：月份 用水量 3()m水费（元）1239152291933根据上表中的数据，求 、 、 。abc解：设每月用水量为 ，支付费用为 元， 则有x3
14、my8,0(1)(),2cxab由表知第二、第三月份的水费均大于 13 元，故用水量 15 ，22 均大于最低限量 ，3ma3m于是就有 ，解之得 ，从而 198(5)32bac2b19()ac再考虑一月份的用水量是否超过最低限量 ，不妨设 ，将 代入（2）式，得39x，即 ，这与（3）矛盾。 。982()ac179a从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有 ，得 。8c110函数 专讲 【函数的解析式 】【例题】（1）已知 ，求 ；31()fxx()f（2）已知 ，求 ；lg（3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；()fx3(1)2()17fxfx()fx（4）已知 满足 ，求 2()fx解：（1） ，331()()f x （ 或 ）3)fxx（2）令 （ ），则 ， ， t121t2()lg1ft2()lg (1)fxx（3）设 ，()(0)fxab则 ，32527fxabxabxax ， ， 27()27（4） ， 把中的 换成 ，得 ，1()fxxx13()ffx 得 ， 33()6f()2f注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法
