1、1南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 二试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知 为虚数单位，则 i102ir2 在区间 内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 12,3 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中寿命在 100300 小时的电子元件的数量为 400，则寿命在 500600 小时的电子元件的数量为 4 设定义在区间 上的函数 的图象与 图象的交点横坐标为 ，02, sin2yx1cos2yx则 的值为 tan5 运行如图所示的流程图，则输出
2、的结果 是 S6 在 中， 分别是角 的对边，若 成等差数列，则 的ABCbc, ABC, 22abc, cosB最小值为 7 若定义在 上的函数 （ 为常数）满足 ，则 的最小值是 R23()fxa(2)1ff()fx 8 已知双曲线 （ ）的两个焦点为 、 ，点 P21yxab0b, 1302F, 230, 400 500125043201频 率组 距100 200 300 寿命（h）600（第 3 题图）开始S2，i1i 20111Sii+1结束输出 SYN（第 5 题图）2是第一象限内双曲线上的点，且 ， ，则双曲线的离心率12tanPF21tanPF为 9 函数 的图象在点 处的切线
3、与 轴的交点的横坐标为 ，其中 ，exyeka, x1ka*N，则 10a135a10 如图，在 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 , ,6 abc满足 （ ） ，则 .x+ycb,Rxy11 记 当 时，观察下列等式：123kkkSn, 123, ， ，1n 2216Sn， ，43231Sn5434 0n， 6545AnB可以推测， 12 有一个各条棱长均为 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，a但可以折叠，则包装纸的最小边长是 13 定义在 上的函数 满足： ；当 时，1, ()fx(2)(fxf24x, ，则集合 中的最小元素是 ()3fx3614 已知关于 的
4、实系数一元二次不等式 的解集为 ，则20 ()axbcab R的最小值是 24abcM二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本题满分14 分）已知集合 ， 280Ax 22(3)0BxmxmR , （1 ）若 ，求实数 的值； 4B, （2）设全集为 ，若 ，求实数 的取值范围RRcb（第 10 题图）316 （本题满分 14 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且PABCDPABCDBCD, 2BCAD（1 ）若点 为线段 的中点，求证： 平面 ；E/EP（2 ）若二面角 的大小为 ，求证：平面PBCA4平PA
5、B面 17 （本题满分 15 分）如图，点 在 内， ，记 PABC23PBC, , PB（1 ）试用 表示 的长； （2 ）求四边形 的面积的最大值，并写出此时 的值18 （本题满分 15 分）在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ，圆 ： ，点xOy1C2()16xy2C2(1)xy为圆 上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心 恰与点 重合，折痕S1C 0, S与直线 交于点 P（1 ）求动点 的轨迹方程；（2 ）过动点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，求 MN 的最小值；S2CMN、（3 ）设过圆心 的直线交圆 于点 ，以点 分别为切点的两条切线(10), 1CAB、 、交于点 ，求证：点
6、 在定直线上QABCDPE（第 16 题图） A B C P （第 17 题图）419 （本题满分 16 分）已知整数列 满足 ， ，前 6 项依次成等差数列，从第 5 项起依次成等na3174a比数列（1）求数列 的通项公式；n（2 ）求出所有的正整数 m，使得 1212mmmaa20 （本题满分 16 分）已知函数 ， ， 2()fx()lngxaR（1 ）若 ， ，求实数 的取值范围；1 f（2 ）证明：“方程 有唯一解”的充要条件是“ ”()fxgax(0)1a试题（附加题）21 【 选做题 】本题包括 A、B、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答
7、的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A （几何证明选讲）如图，以正方形 的顶点 为圆心， 为半径的圆ABCDCA交 的延长线于点 、 ，且点 为线段 的中点BEFBG求证： 2GB （矩阵与变换）若直线 在矩阵 对应的变换作用下得到的直线过点 ，求实数 的ykx01 (41)P, kABDCEGF（第 21 A 题）5值C （极坐标与参数方程）在极坐标系 中，求曲线 与 的交点 的极坐标() 02), 2sincos1QD （不等式选讲）设 为互不相等的正实数，求证： ab, 334()()ab【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作
8、答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22如图，在正方体 中， ， 1ABCD1AB1 (0)PAC（1 ）若 ，求直线 与 所成角的正弦值；12P（2 ）是否存在实数 ，使得直线 平面 ？并说明理由1D23 我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法 “算两次” （G.Fubini 原理） ，如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高 请结合二项式定理，利用等式 证明：2(1)(1) (*)nnnxxN（1 ） ； （2） 20(C)nrn20Cmrmnn南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 二参 考 答 案
9、1 ； 2 ； 3300； 4 ； 52； 6 ； 311270；ABCD11BCP（第 22 题）68 ； 9 6； 10 ； 11 ； 12 ； 1312； 351971462a148答案解析：1 i2+(i3+i4+i5+i6)+(i7+i8+i9+i10)=i2= ；0r12 易得正数的取值区间长度是 2，总长度是 3，由几何概型得所求概率为 ；233 寿命在 100300 小时的电子元件的频率是 ，故样本容量是131025， 14025从而寿命在 500600 小时的电子元件的数量为 ；301024 易得锐角 满足 ，即 ，所以1sincossincos2于是15sincos4， ，
10、ta5 变量 i 的值分别取 1，2，3 ，4，时，变量 S 的值依次为 ，不难发现1 2 ， ， ， ，变量 S 的值是以 3 为周期在变化，当 i 的取值为 2010 时， ，而后 i 变为 2011 退S出循环6 易得 （当且仅当 时等号成立）22222 1 cosacbbbaBac， ac7 由 得 ，即 ，所以偶函数 在 上是单调增函数，(2)1ff23()a0()fx0 ，在 上是单调减函数，所以 ； 0， min()()fxf8 sinPF 1F2 = ，sinPF 1F2 = ，由正弦定理得 ，又易得5512PFtanF 1PF2= ，所以 cosF 1PF2 ，由利用余弦定理
11、得 ，所34415 3，以 ，故 ，又 ，所以离心率 ；125P53a3ce9 易求得切线方程为 ，令 y 0 得， x ，即 ，故ekkkyx1ka1ka数列 是等差数列，所以 ；ka135a710 由向量坐标的引入可以认为 ，代入 得1 2 3 4abc， ， ， ， ， x+ycab， 172xy，故 ；911 易观察出 A ，对于 ，可令 n 1 得 ，即有 ，所以 ；165S5S15162B1212 如图，是某正四棱锥的平面展开图，等腰 的底边 BC 即为所求正方形包装纸的ABC边长的最小值，由余弦定理得；2262cos150BCaa13 易得 ，91(36)(8)4(1644fff
12、ff由条件可知， 上的最大值依次为2 8 fx在 ， ， ， ， ，1，2， 4，即最大值构成一个以 2 为公比的等比数列，结合图象不难发现 时 x 的最小值是 12；()=f14 由题意得 ，所以 ，240 bac ， 2224()abcabM 21ba令 ，则 （当且仅当 (1)bta， 2+142481ttt 时等号3 t， 即成立） 15命题立意：本题主要考查集合的交、并、补集运算以及一元二次不等式等基础知识，考查运算求解能力解：（1）易得集合 ，集合 ， （4 分）24Ax 3Bxm 由 得 所以 m=5 （7 分） 4B， 3 ， ，（2 ）由（1 ）得 ， （10 分） Rxx，
13、 或ABC（第 12 题图）8因为 ，所以 ，解得 （14 分）ABR342m或 72m或16命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识，考查空间想象、推理论证能力证明：（1）取 BP 得中点 F，连结 AF，EF ，又点 为线段 的中点，EPC且 ，且 ，ADB, 2AD所以 EF BC AD，/12/所以四边形 ADEF 是平行四边形，(2 分) 故 ED AF，/又因为 平面 PAB， 平面 PAB，所以 平面 PAB(5 分)DEAFDE（2 ）因为 ，且 ， 所以 ，PBC平 面 BC平 面 PBC又 ， ， 所以 C PDP， 、 平 面 PD平
14、 面于是 ，即有 ，(7 分)DA是 二 面 角 的 平 面 角 4D此时， ， 又 ，故 ，(9 分)P 是 等 腰 三 角 形 EC是 的 中 点 EC因为 ， 又 ， 所以 ，BC平 面 DP平 面 B又 ， 所以 ，且 ，/EAFAFB又 ， 所以 ，(12 分)P， BC、 平 面 P平 面又 ， 所以 (14 分 )平 面 PC平 面 平 面17 命题立意：本题主要考查三角形的余弦定理与面积公式以及三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力解：（1） 与 中，由余弦定理得， ， ABCP223cosAC，（4 分）22cosA由得 ，解得41290 P， ，；（7 分）34cosA
15、P（2 ） 123sinsin ABCPS AP, ，由（1）得 sico ，ACDPE（第 16 题图）F9（13 分）所以当 时， （15 分）0 ， 4max2S18 命题立意：本题主要考查直线、圆、椭圆基础知识，考查运算求解、综合应用能力解：（1）由题意得 ，故 P 点的轨迹是以 C1、C 2 为焦点，412112PCPC为长轴长的椭圆，则 ，所以 ， ， 故 P 点的轨迹方程24 ac， a3b是 （5 分）2143yx（2）法 1（几何法） 四边形 SMC2N 的面积 ，2112SCMNSCSM所以 ， （9 分）22cossinSMNSC从而 SC2 取得最小值时，MN 取得最小
16、值， 显然当 时，SC 2 取得最大值(3 0)S，2，所以 （12 分）min134N法 2（代数法） 设 S(x0，y 0)，则以 SC2 为直径的圆的标准方程为，220 0xy该方程与圆 C2 的方程相减得， ， （8 分）001xx则圆心 到直线 MN 的距离 ，2 200dy2001yx因为 ，所以 ， 从而 ，20016xy215xx 0164dx，03 5，故当 时 dmax ，0x12因为 ，所以 = （12 分）MN2min1MN3（3）设 ，则“切点弦 ”AB 的方程为 ，( )Qmn， (1)6xny将点（-1，0）代入上式得 ， 故点 Q 在定直线 上 （167R， 7
17、x分）19 命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式等基础知识，考查灵活运用基本量10进行探索求解、推理分析能力解：（1）设数列前 6 项的公差为 d，则 ， ，d 为整数512ad613a又 a5，a 6，a 7 成等比数列，所以 ，解得 ，34当 n6 时， ， （3 分）4n由此 ， ，数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2， 51a62所以，当 n5 时， . 故 （7 分）5na54 2.na， ， （2 ）由（1 ）知，数列 为： 3， 2， 1，0，1 ，2，4 ，8，16，n当 m 1 时等式成立，即 3 2 1 6 ( 3) ( 2) ( 1)；当 m 3
18、时等式成立，即 1 0 1 0；（11 分） 当 m 2 或 4 时，等式均不成立；（13 分）当 m5 时， ， ，31212mma53512(1)7ma 因为 ，而 ，所以 是偶数，3127575Z ， 7所以 ，于是 ，故 m 1，或 m 3 （16 分）3125m1212mmaa20 命题立意：本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化、分类与讨论思想进行运算求解、推理论证的综合能力解：（1）记 ，则 ， ，()()Fxfgx2()axF1当 时， 恒成立，0a 0故 为 上的单调增函数，所以 ， （2 分）()x1, min()1xF当 时，由 得 （负值已舍） ，若 ，即 时，0a()0Fx2aa 0a恒成立，()Fx
