1、77微积分教案章节次数 第 41 讲：第十章 10.1 微分方程的基本概念 10.2 一阶微分方程（一）教学目的要求1. 理解微分方程的基本概念。2. 掌握一阶可分离变量方程的解法。主要内容微分方程的阶、通解与特解一阶可分离变量方程重点难点一阶可分离变量方程的解法；区分解与通解；分离变量后的积分教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：391 页 习题 10-1：1、2、3 、4、8402 页 习题 10-2：1、(2)(4)(6)备注在研究几何、物理、经济等问题会遇到微分方程，并且有广泛运用。本章只介绍基本概念，和最简单的几种方程的解法。78第十章 微分方程10.1 微分方程的
2、基本概念教学目的与要求：了解微分方程的阶、通解与特解等概念。掌握一阶可分离变量方程的解法。教学重点（难点）：区分解与通解。可分离变量方程的解法。例：一条曲线通过点(1,2)，且在曲线上任一点处的切线斜率为 2x+1，求曲线方程。定义：含未知函数、未知函数的导数或微分以及自变量之间关系的方程叫做微分方程。微分方程中未知函数的最高阶导数称为微分方程的阶。例：指出下列各微分方程的阶1. y+y 3+xy 4=sin x 2. y+xy+(y)3+2y 5=13. y+y y=1+x54. y=y注意：在一个微分方程中，自变量 x、未知函数 y 可以不出现，但未知函数的导数或微分不能不出现。如果一个函
3、数代入微分方程能使之成为恒等式，称该函数为微分方程的解。如果微分方程的解中含有独立的任意常数个数与微分方程的阶相同，则称这解为微分方程的通解。用一些条件确定通解中的任意常数而得到的解称为微分方程的特解。用来确定通解中任意常数的条件叫做初始条件。一阶微分方程初始条件的提法为： 0yx二阶微分方程初始条件的提法为： ，0x*0yx10.2 一阶微分方程（一）一、可分离变量的微分方程一阶微分方程：y=f (x,y)若能化为 y=h(x)g(y)，则称该方程为可分离变量的微分方程。例如：y= 2x+1 这是可分离变量的微分方程，解这个微分方程只要方程两边积分：79y=x2+x+C.又如 y=2xy2
4、这也是可分离变量的微分方程，但这个微分方程就不能两边直接积分，这是因为 含有未知函数 y。但若把上面的微分方程变形为： 两边积dy xdy21分得： Cx21一般地，若 y=h(x)g(y)把方程变形为： ，若 y=(x)是方程的解，dxhyg)()(1则有： 两边对 x 积分，左边利用凑微分法：dhg)(1。xdy即可分离变量的微分方程求解方法是：把变量分离两边再积分。例：求解微分方程： (y+1)2y+x3=0例：求解微分方程： y=e y2x例：求解微分方程：x (1+y2)dxy(1+x2)dy=080微积分教案章节次数 第 42 讲：第十章 10.2 一阶微分方程（二）教学目的要求1
5、. 掌握齐次方程和一阶线性微分方程的解法。2. 了解伯努利方程的解法。主要内容一阶齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利方程重点难点一阶线性微分方程的常数变易法求解线性非齐次方程；齐次方程和一阶线性微分方程的解法。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：527 页 练习 9-2：2、3、(2)(3)(4) ，4备注伯努利方程为选学内容；本次课两种方程以线性方程为重点，求解时掌握方法更为重要。8110.2 一阶微分方程（二）教学目的与要求：掌握齐次方程和一阶线性微分方程的解法。了解伯努利方程的解法。教学重点（难点）：齐次方程和一阶线性微分方程的解法。一阶微分方程的一般形式为 F(x,
6、y,y)=0，二、齐次（含可化为齐次的）微分方程若一阶微分方程 y=f(x,y)可化为 ，即右端 ，则称该方程为齐)(x )(,(xyf次微分方程。齐次微分方程的解法：是通过变量替换化为可分离变量的微分方程。令： ，即 y=xu，则 y=u+xu代入方程得：u+xu= (u)uxy即为可分离变量的微分方程。例：求解微分方程：(xyy 2)dx(x22xy)dy=0例：求解微分方程：xy=y(ln yln x)例：求解微分方程： 0coscs( dy例：求解微分方程： yxd142三、一阶线性微分方程形如：y+P (x)y=Q(x)的微分方程称一阶线性微分方程，其中 P(x)，Q(x) 是 x
7、的已知函数。若 Q(x)0，则方程 y+P(x)y=0 称为一阶线性齐次微分方程，否则称之为一阶线性非齐次微分方程。为求一阶线性微分方程的解，先求 y+P(x)y=0 的解，这是可分离变量的微分方程，解得 。dxPCey)(再令 为非齐次方程的解，其中 C(x)为待定函数，代入 y+P(x)y=Q(x)x)(得到 C(x)的微分方程： ，dxPeQ)(解得 ，exdxP)(82故 。CdxeQeyPdxP)()(例 1 求解微分方程：ycos x+ysin x=1例 2 求特解： 2ln0)1()(1xydy例 3 求特解：0)sico(1x四、伯努利方程形如：y+P( x)y=Q(x)y n
8、 (n0,1)的微分方程称为贝努利方程。贝努利方程的解法：方程两边同除 y n 得： yny+P(x)y1n=Q(x)，即 (y1n)+ P(x)y1n = Q(x)，(y1n)+(1n) P(x)y1n =(1n) Q(x)，这是以 y1n 为函数的一阶线性微分方程。例 4 解微分方程： 2483微积分教案章节次数 第 43 讲：第十章 10.3 一阶微分方程在经济学中的综合应用教学目的要求会用一阶微分方程解决一些经济问题。主要内容分析商品的市场价格与需求量之间的关系分析产量、收入、成本及利润之间的函数关系重点难点经济应用中方程的建立教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：4
9、10 页 练习 10-3：1、2、3、备注8410.3 一阶微分方程在经济学中的综合应用教学目的与要求：会用一阶微分方程解决一些经济问题。教学重点（难点）：经济应用中方程的建立一、分析商品的市场价格与需求量(供应量) 之间的函数关系例 1 某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性为 .若该商品的最大需求量为 1200(即 p=0ln3时，x=1200)(p 的单位为元，x 的单位为公斤)试求需求量 x 与价格 p 的函数关系，并求当价格为 1 元时市场上对该商品的需求量.解 ln3pd公lx公分离变量解此微分方程 ln3dxp两边积分得 lCln3pxe0,12120p公 3px当价格为 1 元
10、时，市场对该产品的需求量为 12034()x公二、分析产量、收入、成本及利润之间的函数关系例 2 在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养 1000 条.在时刻 t 的鱼数 y 是时间 t 的函数 y=y(t)，其变化率与鱼数 y 和 1000-y 的乘积成正比.现已知池塘内放养鱼 100 条，3 个月后池塘内有鱼 250 条，求 t 月后池塘内鱼数 y(t)的公式.问 6 个月后池塘中有鱼多少？解 03(1),1,250ttdkyt公解此微分方程 0ktyce85将 带入得031,250tty302510kce 1ln3,90Ck公即 t 月后鱼数与时间的函数关系为 31ty3109tty公当放养 6 个月后鱼塘中鱼数为 （条）210359y86微积分教案章节次数 第 44 讲：第十章 10.4 可降阶的二阶微分方程教学目的要求会用降阶法解特殊型高阶微分方程。主要内容y=f(x) 型微分方程y=f(x,y) 型微分方程y=f(y,y )型微分方程重点难点特殊型高阶微分方程的解法教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：415 页 习题 10 -4：1（1） （3） （5） ，2备注
