1、考点跟踪训练 49 方程、函数与几何相结合型综合问题一、选择题1(2010南充)如图，小球从点 A 运动到点 B，速度 v(米/秒)和时间 t(秒)的函数关系式是 v2t.如果小球运动到点 B 时的速度为 6 米/秒，小球从点 A 到点 B 的时间是( )A1 秒 B2 秒C3 秒 D4 秒答案 C解析 当 v6 时，2t6，t3.2(2010鄂尔多斯)某移动通讯公司提供了 A、B 两种方案的通讯费用 y(元) 与通话时间 x(分)之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是 ( )A若通话时间少于 120 分，则 A 方案比 B 方案便宜 20 元B若通话时间超过 200 分，则 B 方案比 A
2、 方案便宜C若通讯费用为 60 元，则 B 方案比 A 方案的通话时间多D若两种方案通讯费用相差 10 元，则通话时间是 145 分或 185 分答案 D解析 A、B、C 正确，可排除，错误的是 D.3(2010宿迁)如图，在矩形 ABCD 中， AB4，BC 6 ，当直角三角板 MPN 的直角顶点 P 在 BC 边上移动时，直角边 MP 始终经过点 A，设直角三角板的另一直角边 PN 与CD 相交于点 Q.BPx，CQy，那么 y 与 x 之间的函数图象大致是 ( )答案 D解析 因为 BPx，CQy ，则 AP24 2x 2，PQ2(6 x) 2y 2，AQ2(4y) 26 2.在RtAP
3、Q 中，有 AP2PQ 2AQ 2，即(4 2x 2) (4y) 26 2，化简，得6 x2 y2y x2 x (x3) 2 ，根据函数关系式，可知抛物线的顶点坐标为 ，选 D.14 32 14 94 (3，94)4如图，直线 y2x 4 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、 B 两点，C 为 OB 上一点，且12，则 SABC ( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 直线 y2x4 与 x 轴交于点 A、B 两点，A(2,0) ，B(0,4)，OA2，OB 4.又12，AOCBOA，OACOBA， ，OCOA OAOBOC 1，BCOBOC3，S ABC 233.OA2OB 125(2011
4、烟台)如图，AB 为半圆的直径，点 P 为 AB 上一动点，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀速运动到点 B，运动时间为 t，分别以 AP 与 PB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积 S 与时间 t 之间的函数图象大致为 ( )答案 D解析 设 P 点运动速度为 v(常量)，ABa(常量)，则 AP vt，PBavt.则阴影部分面积S 2 2 212(a2) 12(vt2) 12(a vt2 ) t2 ，v24 avt4由函数关系式可知，抛物线开口向下，选 D.二、填空题6已知平面上四点 A(0,0)，B(10,0)，C(10,6)，D(0,6)，直线 ymx3m2 将四边形分成面积相等
5、的两部分，则 m 的值为_答案 12解析 直线 ymx 3m2 将四边形 ABCD 分成面积相等的两部分，直线必经过矩形的中心对称点 O.根据矩形中心对称，可知 O(5,3)，将它代入 ymx3m2 中，得：35m3m2，即 m .127阅读材料：设一元二次方程 ax2bxc 0 的两根为 x1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1x 2 ， x1x2 .根据该材料填空：ba ca已知 x1，x 2 是方程 x26x30 的两实数根，则 的值为 _x2x1 x1x2答案 10解析 由题意，得 x1x 26，x 1x23，所以 x2x1 x1x2 x12 x22x1x2 x1 x22
6、2x1x2x1x2 10. 62 233 36 638如图为二次函数 yax 2bx c 的图象，在下列说法中：ac0；方程 ax2bx c0 的根是 x11, x 23； abc0；当 x1 时，y 随 x 的增大而增大正确的说法有_(把正确的答案的序号都填在横线上) 答案 解析 当1x3 时，y0；当 x1 时， yabc0，所以说法错误9利用图象解一元二次方程 x2x30 时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线 yx 2 和直线 yx3，两图象交点的横坐标就是该方程的解(1)填空：利用图象解一元二次方程 x2x30，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线 y_和直线
7、 yx ，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数 y 的图象(如图所示) ，利用图象求方程的近似解为：6x_(结果保留两个有效数字 )答案 (1)x 23；(2) x11.4，x 24.410如图， 水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同 )注入下面四种底面积相同的容器中， (1) 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 和时间 t 的函数关系图象， 用直线段连接起来； (2) 当容器中的水恰好达到一半高度时， 请在函数关系图的 t 轴上标出此时 t 值对应点 T 的位置答案 解析 图象(1)是均匀变化的，为 B；图象(2)是先慢后快， 为 A；图象(3)是先快后慢，为D；图象(4)是先快
8、后慢，最后再变快，为 C.三、解答题11(2011芜湖)如图，已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直径点 C 为O 上一点，且 AC 平分PAE，过 C 作 CDPA，垂足为 D.(1)求证：CD 为 O 的切线；(2)若 DCDA6，O 的直径为 10，求 AB 的长度解 (1)证明：连接 OC，点 C 在O 上，OAOC， OCAOAC.CDPA ，CDA90，CADDCA90.AC 平分PAE，DACCAO.DCODCAACODCACAODCADAC90. 又点 C 在O 上，OC 为 O 的半径，CD 为O 的切线(2)解：过 O 作 OFAB，垂足为 F，OCDCD
9、AOFD90，四边形 OCDF 为矩形，OCFD，OFCD.DCDA6，设 ADx，则 OFCD6x.O 的直径为 10，DF OC5，AF5x.在 Rt AOF 中，由勾股定理得AF2OF 2OA 2.即(5x )2(6x )225，化简得：x 211x 180，解得 x2 或 x9.由 ADDF，知 0x5，故 x2.AD2, AF523.OFAB，由垂径定理知， F 为 AB 的中点，AB2AF6.12(2011淮安)如图，在 RtABC 中，C 90，AC8，BC 6，点 P 在 AB 上，AP 2.点 E、F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点
10、A、B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立即以原速度沿 AB 向点 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E也随之停止在点 E、F 运动过程中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与ABC 在线段AB 的同侧，设 E、F 运动的时间为 t 秒( t0)，正方形 EFGH 与ABC 重叠部分面积为 S.(1)当 t1 时，正方形 EFGH 的边长是_；当 t3 时，正方形 EFGH 的边长是_；(2)当 0t2 时，求 S 与 t 的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中，当 t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？解 (1)2；4.(2)当 0t 时( 如图)，S 与 t 的函数
11、关系式是：611SS 矩形 EFGH(2 t)24t 2；当 t 时(如图)，S 与 t 的函数关系式是：611 65SS 矩形 EFGHS HMN 4t 2 2t (2t) 2 t2 t ；12 43 34 2524 112 32当 t2 时(如图)，S 与 t 的函数关系式是：65SS ARF S AQE (2t) 2 (2t ) 212 34 12 343t.(3)由(2)知：若 0t ，当 t 时 S 最大，其最大 值 S ；611 611 144121若 t ，当 t 时 S 最大，其最大值 S ；611 65 65 185若 t2，当 t2 时 S 最大，其最大值 S6.65综上所
12、述，当 t2 时 S 最大，最大面积是 6.13(2011襄阳)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AB 在 x 轴上，AB10，以 AB 为直径的O与 y 轴正半轴交于点 C，连接 BC、AC ，CD 是 O的切线，ADCD 于点D，tan CAD ，抛物线 yax 2bxc 过 A、B、C 三点12(1)求证：CADCAB；(2)求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点 P，使四边形 PBCA 是直角梯形若存在，直接写出点 P的坐标( 不写求解过程)；若不存在，请说明理由解 (1)证明：连接 OC .CD 是O的切线，OC CD
13、.ADCD，OCAD，OCACAD.OCOA，OCACAB.CADCAB.(2)AB 是O的直径，ACB90.OCAB ，CABOCB，CAOBCO， ，OCOA OBOC即 OC2OAOB.tanCAOtan CAD ，12OA2OC.又AB10，OC 22OC (102OC)OC0，OC4，OA8，OB2.A(8,0) ，B(2,0)，C(0,4)抛物线 yax 2bx c 过 A、B、C 三点，由题意得Error!解之得Error!y x2 x4.14 32设直线 DC 交 x 轴于点 F，易证AOCADC，ADAO 8.OCAD，FOCFAD， .O FAF O CAD ，5 BF10 BF 58BF ，F( ，0)103 163设直线 DC 的解析式为 ykxm，则Error! 即Error!y x4.34由 y x2 x4 (x3) 2 ，14 32 14 254得顶点 E 的坐标为 E(3， )254将 E(3， )横坐标代入直线 DC 的解析式 y x4 中，右边 (3)4 .254 34 34 254抛物线的顶点 E 在直线 CD 上(3)存在P 1(10，6)，P 2(10， 36)
