1、1第 6 章 一元一次方程61 从实际问题到方程教学目的1通过对多个实际问题的分析，使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。2使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。3会判断一个数是不是某个方程的解。重点、难点1重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。2难点：弄清题意，找出“相等关系” 。教学过程一、复习提问小学里已经学过列方程解简单的应用题，让我们回顾一下，如何列方程解应用题?例如：一本笔记本 12 元。小红有 6 元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本呢?解：设小红能买到工本笔记本，那么根据题意，得1.2x6因为 1.256，所以小红能买到 5 本笔记本。二、新授：我
2、们再来看下面一个例子： 问题 1：某校初中一年级 328 名师生乘车外出春游，已有 2 辆校车可以乘坐 64 人，还需租用 44座的客车多少辆?问：你能解决这个问题吗?有哪些方法?(让学生思考后，回答，教师再作讲评)算术法：(32864)44264446(辆)列方程解应用题：设需要租用 x 辆客车，那么这些客车共可乘 44x 人，加上乘坐校车的 64 人，就是全体师生 328 人，可得。44x+64328 （1）解这个方程，就能得到所求的结果。问：你会解这个方程吗?试试看?(学生可能利用逆运算求解，教师加以肯定，同时指出本章里我们将要学习解方程的另一种方法。)问题 2：在课外活动中，张老师发现
3、同学们的年龄大多是 13 岁，就问同学：“我今年 45 岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”小敏同学很快说出了答案。 “三年” 。他是这样算的：1 年后，老师 46 岁，同学们的年龄是 14 岁，不是老师的三分之一。2 年后，老师 47 岁，同学们的年龄是 15 岁，也不是老师的三分之一。3 年后，老师 48 岁，同学们的年龄是 16 岁，恰好是老师的三分之一。 你能否用方程的方法来解呢？通过分析，列出方程：13x （45x） （2）31问：你会解这个方程吗?你能否从小敏同学的解法中得到启发？这个方程不像例 l 中的方程 (1)那样容易求出它的解，小敏同学的方法启发了我们，可以用尝试，
4、检验的方法找出方程(2)的解。也就是只要将 x1，2，3 ，4，代人方程(2) 的两边，看哪个数能使两边的值相等，这个数就是这个方程的解。把 x3 代人方程(2)，左边13+316，右边(45+3)4816，因为左边右边，所以 x3 就是这个方程的解。2这种通过试验的方法得出方程的解，这也是一种基本的数学思想方法。也可以据此检验一下一个数是不是方程的解。问：若把例 2 中的“三分之一”改为“二分之一” ，那么答案是多少?同学们动手试一试，大家发现了什么问题?同样，用检验的方法也很难得到方程的解，因为这里 x 的值很大。另外，有的方程的解不一定是整数，该从何试起?如何试验根本无法人手，又该怎么办
5、?这正是我们本章要解决的问题。三、巩固练习1教科书第 3 页练习 1、2。2补充练习：检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解。(1)x3(x+2) 6+x (x3，x4)(2)2y(y1)3 (y 1，y 2)(3)5(x1)(x2)0 (x0，x1，x2)四、小结。本节课我们主要学习了怎样列方程解应用题的方法，解决一些实际问题。谈谈你的学习体会。五、作业。教科书第 3 页，习题 6.1 第 1、3 题。 6.2 解一元一次方程1方程的简单变形教学目的通过天平实验，让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。重点、难点1重点：方程的两种变形。
6、2难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。教学过程一、引入上一节课我们学习了列方程解简单的应用题，列出的方程有的我们不会解，我们知道解方程就是把方程变形成 xa 形式，本节课，我们将学习如何将方程变形。二、新授让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡。如果把天平看成一个方程，课本第 4 页上的图，你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗?让同学们观察图 6.2.1 的左边的天
7、平；天平的左盘内有一个大砝码和 2 个小砝码，右盘上有 5 个小砝码，天平平衡，表示左右两盘的质量相等。如果我们用 x 表示大砝码的质量，1 表示小砝码的质量，那么可用方程 x+25 表示天平两盘内物体的质量关系。问：图 6.2.1 右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?它所表示的方程如何由方程x+25 变形得到的?学生回答后，教师归纳：方程两边都减去同一个数，方程的解不变。问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变?如果把方程两边都加上(或减去) 同一个整3式呢?让同学们看图 6.2.2。左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为 3x2x+2，右边的天平内的砝码是怎样由左边天
8、平变化而来的?把天平两边都拿去 2 个大砝码，相当于把方程 3x2x+2 两边都减去 2x，得到的方程的解变化了吗?如果把方程两边都加上 2x 呢?由图 6.2.1 和 6.2.2 可归结为；方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。让学生观察(3)，由学生自己得出方程的第二个变形。即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变：通过对方程进行适当的变形可以求得方程的解。例 1解下列方程(1)x57 (2)4x3x4解：(1) 两边都加上 5，得 x7+5 即 x12(2) 两边都减去 3x，得 x3x43x 即 x4请同学们分别将 x7+5 与原方程 x57；x3x43
9、 与原方程 4x3x4 比较，你发现了这些方程的变形。有什么共同特点? 这就是说把方程两边都加上(或减去) 同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。注意：“移项 是指将方程的某一项从等号的左边移到右边或从右边移到左边，移项时要先变号后移项。例 2解下列方程(1)5x2 (2) x 231这里的变形通常称为“将未知数的系数化为 1”。以上两个例题都是对方程进行适当的变形，得到 xa 的形式。练习：课本第 6 页练习 1、2、3。练习中的第 3 题，即第 2 页中的方程先让学生讨论、交流。鼓励学生采用不同的方法，要他们说出每一步变形的根
10、据，由他们自己得出采用哪种方法简便，体会方程的不同解法中所经历的转化思想，让学生自己体验成功的感觉。三、巩固练习教科书第 7 页，练习四、小结本节课我们通过天平实验，得出方程的两种变形：1把方程两边都加上或减去同一个数或整式方程的解不变。2.把方程两边都乘以或除以(不等零) 的同一个数，方程的解不变。第 种变形又叫移项，移项别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。五、作业教科书第 78 页习题 6.2.1 第 1、2、3。2、解一元一次方程第一课时教学目的41了解一元一次方程的概念。2掌握含有括号的一元一次方程的解法。重点、难点 1重点；解含有括号的一元一次方程的解法
11、。2难点；括号前面是负号时，去括号时忘记变号。教学过程一、复习提问1解下列方程：(1)5x28 (2)5+2x4x2去括号法则是什么?“移项”要注意什么?二、新授一元一次方程的概念前面我们遇到的一些方程，例如 44x+64328 3+x(45+x) y52y+l 问：大家观察这些方程，它们有什么共同特征?(提示：观察未知数的个数和未知数的次数。)只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 l，这样的方程叫做一元一次方程。例 1判断下列哪些是一元一次方程x3x2 x3l5x23x+10 2x+yl3y5下面我们再一起来解几个一元一次方程。例 2解方程 (1) 2(x 1)4(
12、2) 3(x 2)+1x(2x1)方程(1)该怎样解?由学生独立探索解法，并互相交流此方程既可以先去括号求解，也可以看作关于(x1)的一元一次方程进行求解。第(2)题可由学生自己完成后讲评，讲评时，强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项，若括号前面是“”号，注意去掉括号，要改变括号内的每一项的符号。补充例题：解方程 3x3(x+1)(1+4) l方程中有多重括号，你会解这个方程吗?说明：方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。三、巩固练习教科书第 9 页，练习，l、2、3。四、小结本节课我们学习了一元一次方
13、程的概念，并学习了含有括号的一元一次方程的解法。用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号。五、作业教科书第 12 页习题 62，2 第 l 题。第二课时教学目的：使学生掌握去分母解方程的方法，并从中体会到转化的思想。对于求解较复杂的方程，要注意培养学生自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。5重点、难点 1、 重点：掌握去分母解方程的方法。 2、难点：求各分母的最小公倍数，去分母时，有时要添括号。教学过程一、复习提问1去括号和添括号法则。2求几个数的最小公倍数的方法。二、新授例 1：解方程 123x分析：如何解这个方程呢?此方程可改写成16)()(3所以可以去括号
14、解这个方程，先让学生自己解。同学们，想一想还有其他方法吗?能否把方程变形成没有分母的一元一次方程，这样，我们就可以用已学过的方法解它了。解法二；把方程两边都乘以 6，去分母。比较两种解法，可知解法二简便。想一想，解一元一次方程有哪些步骤?先让学生自己总结，然后互相交流，得出结论。解一元一次方程，一般要通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为 1 等步骤，把一个一元一次方程“转化”成 xa 的形式。解题时，要灵活运用这些步骤。补充例 2：解方程 51237问：如果先去分母，方程两边应同乘以一个什么数?应乘以各分母的最小公倍数，5、2、3 的最小公倍数。三、巩固练习教科书第 10 页
15、，练习 1、2。(练习第 1 题是辨析题，引导学生进行分析、讨论，帮助学生在实践中自我认识和纠正解题中的错误)四、小结1解一元一次方程有哪些步骤?2同学们要灵活运用这些解法步骤，掌握移项要变号，去分母时，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上。五、作业教科书第 12 页习题 6.2.2 第 2 题。第三课时教学目的： 理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列一元一次方程解简单应用题。重点、难点 1、 重点：弄清应用题题意列出方程。2、 难点：弄清应用题题意列出方程
16、。6教学过程一、复习1、 什么叫一元一次方程？2、 解一元一次方程的理论根据是什么？二、新授。例 1、如图 6.2.4（课本第 10 页）天平的两个盘内分别盛有 51 克，45 克食盐，问应该从盘 A 内拿出多少盐放到月盘内，才能两盘所盛的盐的质量相等?先让学生思考，引导学生结合填表，体会解决实际问题，重在学会探索：已知量和未知量的关系，主要的等量关系，建立方程，转化为数学问题。分析：设应从 A 盘内拿出盐 x，可列表帮助分析。等量关系；A 盘现有盐 B 盘现有盐完成后，可让学生反思，检验所求出的解是否合理。(盘 A 现有盐为 5l348 ，盘 B 现有盐为 45+348。)培养学生自觉反思求
17、解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。例 2. 学校团委组织 65 名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬 6 块，其他年级同学每人搬 8块，总共搬了 400 块，问初一同学有多少人参加了搬砖?引导学生弄清题意，疏理已知量和未知量：1题目中有哪些已知量?(1)参加搬砖的初一同学和其他年级同学共 65 名。(2)初一同学每人搬 6 块，其他年级同学每人搬 8 块。(3)初一和其他年级同学一共搬了 400 块。2求什么?初一同学有多少人参加搬砖?3等量关系是什么?初一同学搬砖的块数十其他年级同学的搬砖数400如果设初一同学有工人参加搬砖，那么由已知量(1)可得，其他年级同学有(65 x)人参
18、加搬砖；再由已知量(2)和等量关系可列出方程6x+8(65x)400也可以按照教科书上的列表法分析三、巩固练习教科书第 11 页练习 1、2、3第 l 题：可引导学生画线图分析等量关系是：AC 十 CB400若设小刚在冲刺阶段花了 x 秒，即 t1x 秒，则 t2(65x)秒，再由等量关系就可列出方程：6(65x)+8x=400四、小结本节课我们学习了用一元一次方程解答实际问题，列方程解应用题的关键在于抓住能表示问题含意的一个主要等量关系，对于这个等量关系中涉及的量，哪些是已知的，哪些是未知的，用字母表示适当的未知数(设元)，再将其余未知量用这个字母的代数式表示，最后根据等量关系，得到方程，解
19、这个方程求得未知数的值，并检验是否合理。最后写出答案。五、作业 教科书第 12 页习题 6.2.2 第 3、4、5、6 题。63 实践与探索7第一课时教学目的让学生通过独立思考，积极探索，从而发现；围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”同时根据计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变化，且长方形的长与宽越接近时，面积越大。通过问题 3 的教学，让学生初步体会数形结合思想的作用。重点、难点1重点：通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。2难点：找出“等量关系”列出方程。教学过程一、复习提问1列一元一次方程解应用题的步骤是什
20、么?2长方形的周长公式、面积公式。二、新授问题 1用一根长 60 厘米的铁丝围成一个长方形。(1)使长方形的宽是长的专，求这个长方形的长和宽。(2)使长方形的宽比长少 4 厘米，求这个长方形的面积。(3)比较(1)、(2) 所得两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗?让学生独立探索解法，并互相交流。第(1)小题一般能由学生独立或合作完成，教师也可提示：与几何图形有关的实际问题，可画出图形，在图上标注相关量的代数式，借助直观形象有助于分析和发现数量关系。分析：由题意知，长方形的周长始终不变，长与宽的和为 60230(厘米) ，解决这个问题时，要抓住这个等量关系。第(2)小题的设元，可让
21、学生尝试、讨论，对学生所得到的结论都应给予鼓励，在讨论交流的基础上，使学生知道，不是每道应用题都是直接设元，要认真分析题意，找出能表示整个题意的等量关系，再根据这个等量关系，确定如何设未知数。(3)当长方形的长为 18 厘米，宽为 12 厘米时长方形的面积1812216(平方厘米)当长方形的长为 17 厘米，宽为 13 厘米时 长方形的面积221(平方厘米 )(1)中的长方形面积比(2)中的长方形面积小。问：(1)、(2) 中的长方形的长、宽是怎样变化的?你发现了什么?如果把(2)中的宽比长少“4 厘米”改为 3 厘米、2 厘米、1 厘米、0.5 厘米长方形的面积有什么变化?猜想宽比长少多少时
22、，长方形的面积最大呢?并加以验证。 通过计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变化，并且长和宽的差越小，长方形的面积越大，当长和宽相等，即成正方形时面积最大。实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理。三、巩固练习教科书第 14 页练习 1、2。第 l 题，组织学生讨论，寻找本题的 “等量关系” 。用一块橡皮泥捏出的各种形状的物体，它的体积是不变的。因此等量关系是：圆柱的体积长方体的体积。第 2 题，先让学生根据生活经验，开展讨论，解这道题的关键是什么?题中的等量关系是什么?通过思考，使学生明确要解决“能否完全装下”这个问
23、题，实质是比较这两个容器的容积大小，因此只要分别计算这两个容器的容积，结果发现装不下，接着研究第 2 个问题， “那么瓶内水面还有多8高”呢?如果设瓶内水面还有 x 厘米高，那么这里的等量关系是什么?等量关系是：玻璃杯中的水的体积十瓶内剩下的水的体积原来整瓶水的体积。从而列出方程四、小结本节课同学们认真思考，积极探索，通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会到运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，有些等量关系是隐藏的，不明显，同学们要联系实际，积极探索，找出等量关系。五、作业教科书第 15 页，习题 6.3.1 第 1、2、3。第二课时教学目的通过分析储蓄中的数量关系，以及商
24、品利润等有关知识，经历运用方程解决实际问题的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。重点、难点1重点：探索这些实际问题中的等量关系，由此等量关系列出方程。2难点：找出能表示整个题意的等量关系。教学过程一、复习1储蓄中的利息、本金、利率、本利和等含义，它们之间的数量关系 利息本金年利率年数本利和本金利息年数本金2商品利润等有关知识。利润售价成本 商品利润率二、新授在本章 6.l 练习中讨论过的教育储蓄，是我国目前暂不征收利息税的储种，国家对其他储蓄所产生的利息征收 20的个人所得税，即利息税。今天我们来探索一般的储蓄问题。问题 2、 小明爸爸前年存了年利率为 2.43的二年期定期
25、储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值 48.6 元的计算器，问小明爸爸前年存了多少元?先让学生思考，试着列出方程，对有困难的学生，教师可引导他们进行分析，找出等量关系。利息利息税48.6可设小明爸爸前年存了 x 元，那么二年后共得利息为2.43X2，利息税为 2.43X 220根据等量关系，得 2.43x22.43x22048.6问，扣除利息的 20，那么实际得到的利息是多少?你能否列出较简单的方程?扣除利息的 20，实际得到利息的 80，因此可得2.43x28048.6解方程，得 x=1250例 1一家商店将某种服装按成本价提高 40后标价，又以 8 折 (即按标价的
26、 80)优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，那么这种服装每件的成本是多少元?大家想一想这 15 元的利润是怎么来的?标价的 80(即售价)成本15 若设这种服装每件的成本是 x 元，那么每件服装的标价为：(1+40)x每件服装的实际售价为：(1+40)x80每件服装的利润为：(1+40)x80x9由等量关系，列出方程：(1+40)x80x15解方程，得 x125答：每件服装的成本是 125 元。三、巩固练习教科书第 15 页，练习 1、2。四、小结本节课我们利用一元一次方程解决有关储蓄、商品利润等实际问题，当运用方程解决实际问题时，首先要弄清题意，从实际问题中抽象出数学问题，然后分析数学问题中
27、的等量关系，并由此列出方程；求出所列方程的解；检验解的合理性。应用一元一次方程解决实际问题的关键是：根据题意首先寻找“等量关系” 。五、作业教科书第 16 页，习题 6.3.1，第 3、4、5 题。第三课时教学目的1使学生理解用一元一次方程解工程问题的本质规律；通过对“工 程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力。2使学生在自主探索与合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知 识、技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力。重点、难点重点：工程中的工作量、工作的效率和工作时间的关系。难点：把全部工作量看作“1” 。教学过程 一、复习提问1一件工作，如果甲单独做
28、2 小时完成，那么甲独做 I 小时完成全部工作量的多少?2一件工作，如果甲单独做 a 小时完成，那么甲独做 1 小时，完成全部工作量的多少? 3工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系?二、新授让学生阅读教科书第 16 页中的问题 3。分析：1这是一个关于工程问题的实际问题，在这个问题中，已经知道了什么?小刘提出什么问题?已知：制作一块广告牌，师傅单独完成需 4 天，徒弟单独做要 6 天。小刘提出的问题是：两人合作需要几天完成?2怎样用列方程解决这个问题?本题中的等量关系是什么?等量关系是：师傅做的工作量+ 徒弟做的工作量1若设两人合作需要 x 天完成，那么甲、乙分别做了几天?甲、乙的工作效
29、率是多少?本题中工作总量没有告诉，我们把它看成“1” ，根据等量关系可得方程。（略）3你还能提出什么问题?试试看，并解答这些问题。让学生充分思考，大胆提出问题，互相交流，对于合理的问题，让大家共同解答，对于不合理的问题，让大家探讨为什么不合理?应改为怎样提?4李老师把两位同学的问题，合起来后，已知条件增加了什么?求什么?“徒弟先做 1 天” ，也就是说徒弟比师傅多做 1 天105要解决本题提出的问题，应先求什么？先要求出师傅与徒弟各完成的工作量是多少?两人的工效已知，因此要先求他们各自所做的天数，因此，设师傅做了 x 天，则徒弟做(x+1)天，根据等量关系，列方程（略）解方程得 x2师傅完成的
30、工作量为（略） ，徒弟完成的工作量为（略）所以他们两人完成的工作量相同，因此每人各得 225 元。三、巩固练习一件工作，甲独做需 30 小时完成，由甲、乙合做需 24 小时完成，现由甲独做 10 小时；请你提出问题，并加以解答。例如 (1)剩下的乙独做要几小时完成?(2)剩下的由甲、乙合作，还需多少小时完成?(3)乙又独做 5 小时，然后甲、乙合做，还需多少小时完成 ?四、小结1.本节课主要分析了工作问题中工作量、工作效率和工作时间之间的关系，即 工作量工作效率工作时间工作效率工作量工作时间 工作时间工作量工作效率2.解题时要全面审题，寻找全部工作，单独完成工作量和合作完成工作量的一个等量关系
31、列方程。五、作业教科书习题 6.3.2 第 1、2、3 题。小结与复习(一)教学目的了解一元一次方程的概念，根据方程的特征，灵活运用一元一次方程的解法求一元一次方程的解，进一步培养学生快速准确的计算能力，进一步渗透“转化”的思想方法。重点、难点1重点：一元一次方程的解法。2难点：灵活运用一元一次方程的解法。教学过程一、复习提问定义：只含有一个未知数，且含未知数的项的次数 1 的整式方程。 一元一次方程 解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 l，把一个一元一次方程“转化”成 x=a“的形式。二、练习1下列各式哪些是一元一次方程。（略）2解下列方程。(1)(x 一 3)2 一(x 一 3)(2) (x 一 3)=1x学生认真审题，注意方程的结构特点。选用简便方法。第(1)小题，可以先去括号，也可以先去分母，还可以把 x 一 3 看成一个整体，解关于 x 一 3 的方程。方法：去括号，得 x3=2x+ 3
