1、中小数理化 http:/ 二次函数解析式的几种形式：一般式： yaxbc2（a、b、c 为常数，a0）顶点式： hk()（a、h、k 为常数，a0） ，其中（h，k）为顶点坐标。交点式： yx)12，其中 x12， 是抛物线与 x轴交点的横坐标，即一元二次方程axbc20的两个根，且 a0， （也叫两根式） 。2. 二次函数 yaxbc2的图象二次函数 的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果 a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。任意抛物线 yaxhk()2可以由抛物线 yax2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：左加右减，
2、上加下减，具体平移方法如下表所示。在画 yaxbc2的图象时，可以先配方成 yaxhk()2的形式，然后将 yax2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将 yaxbc2配成yxhk()2的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与 y轴的交点（0，c） ，及此点关于对称轴对称的点（2h，c） ；如果图象与 x轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0） ，（x 2，0）就行了；如果图象与 x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点， （这两点不是与 y轴交点及其对称点） ，一般画图象找 5个点。3. 二次函数的性质中小数理化 http:
3、/ yaxbc2a、b、c 为常数，a0yaxhk()2（a、h、k 为常数，a0）a0 a0 a0 a0图象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性 (2)对称轴是 xba2，顶点是（ c42，）(2)对称轴是 xba，顶点是（ c42，）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）(2)对称轴是 xh，顶点是（h，k）质(3)当 xba2时，y随 x的增大而减小；当 时， y随x的增大而增大(3)当 xba2时，y随 x的增大而增大；当 时， y随x的增大而减小(3)当 x时，y随 x的增大而
4、减小；当xh 时，y 随x的增大而增大。(3)当 xh 时，y 随 x的增大而增大；当 xh 时，y 随 x的增大而减小(4)抛物线有最低点，当ba2时， y有最小值，ycba最 小 值 42(4)抛物线有最高点，当ba2时， y有最大值， cba最 大 值 42(4)抛物线有最低点，当xh 时，y 有最小值 k最 小 值 (4)抛物线有最高点，当 xh 时，y有最大值 yk最 大 值 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法配方法：将解析式 yxbc2化为 yxhk()2的形式，顶点坐标为（h，k） ，对称轴为直线 xh，若 a0，y 有最小值，当 xh 时， 最 小 值 ；若 a0，y 有
5、最大值，当 xh 时，yk最 大 值。公式法：直接利用顶点坐标公式（中小数理化 http:/ ） ，求其顶点；对称轴是直线 xba2，若yxbayc024， 有 最 小 值 ， 当 时 ， ；最 小 值若 0，y 有最大值，当xbac24时 ， 最 大 值5. 抛物线与 x轴交点情况：对于抛物线 yabxca20()当 b240时，抛物线与 x轴有两个交点，反之也成立。当 时，抛物线与 x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。当 时，抛物线与 x轴无交点，反之也成立。典型例题例 1. （1）抛物线 yx2132()是由抛物线 yx2怎样平移得到的？（2）若抛物线 yx2向左平移 2个单位，
6、再向下平移 4个单位，求所得抛物线的解析式。分析：由抛物线平移时，形状和开口方向不变。 （1）抛物线 yx2的顶点是（0，0） ，抛物线yx132()的顶点是（1，3） ，抛物线 yx232()是由 向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到的。 （2）抛物线 yx2的顶点是（0，0） ，把它向左平移 2个单位，再向下平移 4个单位后，顶点是（2，4） ，平移后的抛物线解析式为 yx()42。例 2. 二次函数 yaxbc2的图象如图所示，对称轴为 x1，则下列结论中正确的是（ ）A. ac0B. 0C. b24D. 2ab分析：由图可知： acc40， ，A、C 项错，又知 b21， b0，B
7、 项错由 aba21， ，故选 D中小数理化 http:/ 3. 已知抛物线 yaxbc2如图所示，直线 x1是其对称轴（1）确定 a，b，c， 24的符号；（2）求证： 0（3）当 x取何值时， y，当 x取何值时， y0。分析：（1）由抛物线的开口向下，得 a由抛物线与 y轴的交点在 x轴上方，得 c由 bab200， ， 得由抛物线与 x轴有两个不同的交点 bc24（2）由抛物线的顶点在 x轴上方，对称轴为 x1当 xyabc10时 ，（3）由图象可知，当 31时， y由 或 时 ，例 4. 已知二次函数 ymx()21，其中 m为常数，且满足 12m，试判断此抛物线的开口方向，与 x轴
8、有无交点，与 y轴的交点在 x轴上方还是在 x轴下方。分析： 1 m20，抛物线开口向下又 ，抛物线与 y轴的交点在 x轴上方4()281402()抛物线与 x轴有两个不同的交点例 5. 求抛物线 yx23的顶点坐标写出对称轴与坐标轴交点坐标，当 x取何值时，y 随 x的增大而增大，当 x取何值时，y 随 x的增大而减小？解： 112132()2()x抛物线的顶点坐标是（1，2） ，对称轴是直线 x1中小数理化 http:/ xy032， ， 抛物线与 y轴交点（0，32）令 x1，的解为 x121，抛物线与 x轴交于点（3，0） ， （1，0）当 时，y 随 x的增大而增大，当 时，y 随
9、x的增大而减小。例 6. 下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数 ac2()与一次函数 yaxc的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是（ ）分析：由 yaxcyaxc2()与 常数项均为 c，所以两个图象与 y轴交点应是一个点（0，c） ，A、B 不对当 yaxcxca012 2时 ， 的 解 为 ，()抛物线与 x轴的交点为（1，0） ， （ca，0）当 y时， acx的 解 为直线与 x轴的交点为（ a，0）抛物线与直线另一交点在 x轴上，应选 C。中小数理化 http:/ 7. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m，拱顶距离水面 4m。（1）在如图所示的直角坐标系中，求
10、出该抛物线的解析式。（2）在正常水位的基础上，当水位上升 h(m)时，桥下水面的宽度为 d(m)，试求出用 d表示 h的函数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为 2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？分析：（1）拱桥是一个轴对称图形，对称轴为图中 y轴，因此可知抛物线上一些特殊点坐标，用待定系数法可求解析式。（2）当水位上升时，抛物线与水面交点在变化，设为（dh24， ）代入抛物线解析式可得 d与 h关系式；（3）根据逆向思维可求水面宽度为 18m，即 d18 时，水位上升多少米？解：（1）设抛物线的解析式为 yax
11、2，且过点（10，4） 401252a，故 yx152（2）设水位上升 h m时，水面与抛物线交于点（dh24， ）则 hd4152 d0（3）当 d18 时， 1804076h， .762.当水深超过 2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。例 8. 如图，半圆的直径 AC2，点 B在半圆上，CB 不与 C、A 重合，F 在 AC上，且 AEBC，EFAC于 F，设 BCx，EFy，求 y与 x的函数关系式和自变量的取值范围，并在直角坐标系中画出它的图象。中小数理化 http:/ 得到比例式求出 y与 x的函数关系式。解：AC 是直径，B90又 EFAC，BAFE，AAAEFACBAECF
12、Bxy， 即 2 y12当 B为 A的中点时，E 与 B重合，此时 C2，自变量 x的取值范围是 02x，它的图象如图所示例 9. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000千克，购进价格为每千克 30元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克 70元，也不得低于 30元，市场调查发现：单价定为 70元时，日均销售 60千克；单价每降低 1元，日均多售出 2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用 500元（天数不足一天时，按整天计算） ，设销售单价为 x元，日均获利为 y元。（1）求 y与 x的二次函数关系式，并注明 x的取值范围。（2）将（1）中所求出的二次函数配方成 abac()24
13、2的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？中小数理化 http:/ x元，则每千克降低了（70x）元，日均多售出 2（70x）千克，日均销售量为602（70x）千克，每千克获利（x30）元。依题意得： y()()3062750372x)（2）由（1）有 yx2651902()顶点坐标为（65，1950） ，其图象如图所示，经观察可知，当单价为 65元时，日均获利最多是 1950元。（3）当日均获利最多时：单价为 65元，日均销售量为602750()kg那么获总利为 1971950元，当销售单价最高时：单价为 70元，日均销售 60
14、kg，将这批中小数理化 http:/ ()7030175021元，而 2590时且 2159265元。销售单价最高时获总利最多，且多获利 26500元。巩固试题1. 抛物线 yx215的开口方向，顶点坐标、对称轴各是什么，最值为多少？指出 x值取何值时，函数 y随 x的增大而减小？2. 把抛物线 bc2的图象向右平移 3个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式是235，则 b_，c_。3. 已知函数 yx43162()（1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。（2）求出图象与 x轴的交点坐标；（3）当 x取何值时，y 随 x的增大而增大；x 取何值时，y 随 x的增大而减小；（4）
15、当 x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最大（小）值；（5）函数图象可由 42的图象经过怎样的平移得到？4. 二次函数 yabxc2的图象如图所示，下列结论： abc0； 0； ab； a2； bc240。其中正确结论的个数是（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 55. 下列命题中，错误的是（ ）A. 抛物线 yx21不与 x轴相交B. 函数 23的图象关于直线 38对称C. 抛物线 yxyx11222与 ()形状相同，位置不同中小数理化 http:/ 抛物线 yx23经过原点6. 已知函数 ab的图象经过第一、二、三象限，那么 yaxb21的图象大致为（ ）7. 某商场以每台 250
16、0元进口一批彩电，如每台售价定为 2700元，可卖出 400台，以每 100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则至少卖出 50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？8. 某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5m，若行车道总宽度 AB为 6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到 0.1m） 。参考答案1. 开口向上，顶点坐标（3，7） ，对称轴 x3，有最小值 y7，当 x3 时，y 随 x的增大而减小。 2. b3，c73. （1）开口向上，对称轴是直线 x3，顶点坐标是（3，16）（2）与 x轴交于（1，0） ， （5，0）（3）当 x3 时，y 随 x的增大而增大；当 x3 时，y 随 x的增大而减小。（4）当 x3 时，y 有最小值， y最 小 值 16（5）函数图象可由 42的图象先向右平移 3个单位，再向下平移 16个单位得到的4. D 5. B 6. A7. 设提高 x个单位价格时，总获利为 y元，则yx()()270150 ()08整理，得 x312当 x3 时，即定价为 3000元时，可获最大利润 125000元。8. 以矩形的下底所在直线为 x轴，矩形下底中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线解析式为
