1、中考数学专题 10 几何图形的归纳,猜想,证明问题【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。第一部分 真题精讲【例 1】如图， +1 个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，设 的面积为 ，n 21BDC1S的面积为 ， 的面积为 ，则 = ； =_ 32BDC2S1nBDCnS2 n（用含 的式子表
2、示） n D4D3D2D1 C5C4C3C2C1B5B4B3B2B1A 【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是 ,2BAC这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先 所代表的三角形的底3BAC 2S边 是三角形 的底边,而这个三角形和 是相似的.所以边长的比例就2D2AD3ACB是 与 的比值.于是 .接下来通过总结,我们发现所求的三角形有32123SA一个最大的共性就是高相等,为 （连接上面所有的 B 点，将阴影部分放在反过来的等边3三角形中看） 。那么既然是求面积，高相等，
3、剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的 B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出 自然是所在边上的 n+1 等分点.例如nD就是 的一个三等分点.于是 (n+1-1 是什么意思?为什么要减 1?)2D2BC12nC1 1233nnSA【例 2】在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形 的四个顶点坐标分别是 ， ， ，ABCD(80)(4)(80)，则菱形 能覆盖的单位格点正方形的个数是_个；若菱形 的(04)， nABCD四个顶点坐标分别为 ， ， ， （ 为正整数） ，则菱形(20)n()n(20)()n能覆盖的单位格点正
4、方形的个数为_（用含有 的式子表示） nABCD-8-448ODCBAyx【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是 48（笑） 。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被 X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以 4 即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n), 自然可以写出直线解析式为,斜率 意味着什么? 看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些 RT 三角形一12yxn12共有 2n/2=n 个 ,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是 ?而且这些直角三角形都是全12
5、等的,面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的AOB 的面积自然就是 ,所12n有 n 个空白小三角形的面积之和为 ,相减之后自然就是所有格点正方形的面积12n,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是 . 2 24n【例 3】如图， ，过 上到点 的距离分别为 的点作 的垂线45AOBAO135791.， ， ， ， ， OA与 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 234S， ， ， ， 则第一个黑色梯形的面积 ；观察图中的规律，第 ( 为 正 整 数 )个 黑 色 梯 形 的 面1S n积 nSBA.1311975310S4S3S2S1【思路分析】本题方法也比较多样。所有
6、阴影部分都是一个直角梯形，而因为，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到 0 点的距离,而高则是固定的 2。4AOB第一个梯形上底是 1，下底是 3，所以 .第二个梯形面积1324S,第三个是 ,至此 ,我们发现本题中梯形面积数值上21572S902其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上 4。于是第 n 个梯形的上底就是 1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底 1 加上(n-1) 个 4.)下底自然就是 4n-1,于是 就nS是 8n-4. 【例 4】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点请你观察图中正方形A1B1C1D1，A 2B2C2D2，A
7、3B3C3D3每个正方形四条边上的整点的个数按此规律推算出正方形 A10B10C10D10 四条边上的整点共有 个 yxO D1D2D3C1C2C3B1B2B3A3A2A1123-1-2-3-3-2-1321【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于来说,每条边的长度是 2n,那么自然整点个数就是 2n+1，所以四条边上整点一共nABCD有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是 就是 80 个.1010ABCD【例 5】如图，ABC 中， ACB=90，AC=BC=1 ，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下
8、去，直到所画直角三角形的斜边与ABC 的 BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_【思路分析】本题依 然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点” “垂线” “等腰直角” 。这就意味着每个三角形的锐角都是45 度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是 360 度，包涵了 8 个 45。于是绕到第八次就可以和 BC 重叠了，此时边长为 ABC 的 ，故而得解。81【例 6】如图，以等腰三角形 的斜边为直角边向外作第 个等腰直角三角形 ，再以等AOB21AB腰直角三角形 的斜边为直角边向外作第 个等腰直角三角形 ，如此作下1 31去，若 ，则第 个等腰直角三角形的
9、面积 _（n 为正整数）.OAnnS B2B1A1BOA【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得，分子就是 1,2,4,8,16 这样的数列。于是1234.SS， ，2nS【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律
10、，如上面例 6 就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。第二部分 发散思考【思考 1】如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ， ， ，1B(0,)2(,3)B(0,6)，以 为对角线作第一个正方形 ，以4B(0,1)12B12ABC为对角线作第二个正方形 ，以 为对角线作第23 23AC34三个正方形 ，如果所作正方形的对角线 都在34AC1ny 轴上，且 的长度依次增加 1 个单位，顶点 都在第一象1nB A限内（n1，且 n 为整数） 那么 的
11、纵坐标为 ；用 n1A的代数式表示 的纵坐标： nA【思考 2】如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点 处开始跳动，第一P次跳到点 关于 x 轴的对称点 处，接着跳到点 关于 y 轴P11的对称点 处，第三次再跳到点 关于原点的对称点处， ，22如此循环下去当跳动第 2009 次时，棋子落点处的坐标是 【思考 3】对于大于或等于 2 的自然数 n 的平方进行如下“分裂” ，分裂成 n 个连续奇数的和，则自然数 72 的分裂数中最大的数是 ，自然数 n 的分裂数中最大的数是 .2【思考 4】一个质点在第一象限及 轴、 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到 ，然后xy (01)，接着按图中箭头所示
12、方向运动,即 ，且每秒移动一个单(0)1()10， ， ， ， 位，那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是_131350 1 2 3 xy123【思考 5】如图，将边长为 的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的),(321n正方形的中心依次为 A1, A2, A3, .若摆放前 6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 ；若摆放前 n（n 为大于 1 的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 .第三部分 思考题解析【思考 1 答案】2；2(1)n【思考 2 答案】 （3，2）【思考 3 答案】13；2n-1【思考 4 答案】 （5，0） 【思考 5 答案】10， )(124nA4A2 A3A1
