全国初中数学竞赛辅导(初1)第03讲求代数式的值.doc

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1、第三讲 求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算,求出代数式的值,是一个由一般到特殊的过程具体求解代数式值的问题时,对于较简单的问题,代入直接计算并不困难,但对于较复杂的代数式,往往是先化简,然后再求值下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧例 1 求下列代数式的值:分析 上面两题均可直接代入求值,但会很麻烦,容易出错我们可以利用已经学过的有关概念、法则,如合并同类项,添、去括号等,先将代数式化简,然后再求值,这样会大大提高运算的速度和结果的准确性=0-4a 3b2-a2b-5=-41 3(- 2)2- 12(-2)-5=-16+2-5=-19(2)原式=3x 2y-xyz+(2xy

2、z-x2z)+4x2?3x2y-(xyz-5x2z)=3x 2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x 2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x 2z=2(-1)2(-3)-2(- 1)2(-3)=12+6=18说明 本例中(1)的化简是添括号,将同类项合并后,再代入求值;(2)是先去括号,然后再添括号,合并化简后,再代入求值去、添括号时,一定要注意各项符号的变化例 2 已知 a-b=-1,求 a3+3ab-b3的值分析 由已知条件 a-b=-1,我们无法求出 a,b 的确定值,因此本题不能像例 1

3、 那样,代入 a,b 的值求代数式的值下面给出本题的五种解法解法 1 由 a-b=-1 得 a=b-1,代入所求代数式化简a 3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b 3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1说明 这是用代入消元法消去 a 化简求值的解法 2 因为 a-b=-1,所以原式=(a 3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1(a 2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a 2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1) 2=-1说明 这种解法是利用了乘法公式,将原式化简求值的解法 3 因为 a-b=-1,所以原式=a 3

4、-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a 3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1) 3=-1说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b,并将 3ab 化为-3ab(-1)=-3ab(a-b),从而凑成了(a-b)3解法 4 因为 a-b=-1,所以(a-b)3=(-1)3=1,即 a 3+3ab2-3a2b-b3=-1,a3-b3-3ab(a-b)=-1,所以 a 3-b3-3ab(-1)=-1,即 a 3-b3+3ab=-1说明 这种解法是由 a-b=-1,演绎推理出所求代数式的值解法 5a 3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab

5、=(a-b) 3+3ab(a-b)+3ab=(-1) 3+3ab(-1)+3ab=-1说明 这种解法是添项,凑出(a-b) 3,然后化简求值通过这个例题可以看出,求代数式的值的方法是很灵活的,需要认真思考,才能找到简便的算法在本例的各种解法中,用到了几个常用的乘法公式,现总结如下:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ;a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)解 由已知,xy=2(x+y),代入所求代数式中,消去 xy,然后化简

6、所以解 因为 a=3b,所以c=5a=5(3b)=15b将 a,c 代入所求代数式,化简得解 因为(x-5) 2,m都是非负数,所以由(1)有由(2)得 y+1=3,所以 y=2下面先化简所求代数式,然后再代入求值=x 2y+5m2x+10xy2=5 22+0+10522=250例 6 如果 4a-3b=7,并且 3a+2b=19,求 14a-2b 的值分析 此题可以用方程组求出 a,b 的值,再分别代入 14a-2b 求值下面介绍一种不必求出 a,b 的值的解法解 14a-2b=2(7a- b)=2(4a+3a)+(-3b+2b)=2(4a-3b)+(3a+2b)=2(7+19)=52x+x

7、-1+x- 2+x-3+x- 4+x-5的值 分析 所求代数式中六个绝对值的分界点,分别为:0,1,2,据绝对值的意义去掉绝对值的符号,将有 3 个 x 和 3 个-x,这样将抵消掉 x,使求值变得容易原式=x+(x-1)+(x- 2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1- 2+3+4+5=9说明 实际上,本题只要 x 的值在 2 与 3 之间,那么这个代数式的值就是 9,即它与 x 具体的取值无关例 8 若 x:y:z=3:4:7,且 2x-y+z=18,那么 x+2y-z 的值是多少?分析 x:y:z=3:4:7 可以写成的形式,对于等比,我们通常可以设它们的比值为常数 k,这样可以

8、给问题的解决带来便利x=3k,y=4k,z=7k因为2x-y+z=18,所以23k-4k+7k=18,所以 k=2,所以 x=6,y=8,z=14,所以x+2y-z=6+16-14=8例 9 已知 x=y=11,求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值 分析 本题是可直接代入求值的下面采用换元法,先将式子改写得较简洁,然后再求值解 设 x+y=m,xy=n原式=(n-1) 2+(m-2)(m-2n)=(n-1) 2+m2-2m-2mn+4n=n 2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1) 2-2m(n+1)+m2=(n+1-m) 2=(1111+1-22) 2=(121+1-22) 2=100 2=10000说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法,通过换元,可以使代数式的特征更加突出,从而简化了题目的表述形式练习三1求下列代数式的值:(1)a 4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4,其中 a=-2,b=1;的值 3已知 a=3.5,b=-0.8,求代数式6- 5b- 3a-2b-8b-1 的值 4已知(a+1) 2-(3a2+4ab+4b2+2)=0,求 a,b 的值5已知

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