1、 广州市民间补习天皇李老师 初二年级春季数学竞赛讲义 第 1 页 共 91 页目 录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外在本次培训中，内容的编排大多大于 120 分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。注：有(*) 标注的为选做内容。本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲 如何做几何证明题第二讲 平行四边形（一）第三讲 平行四边形（
2、二）第四讲 梯形第五讲 中位线及其应用第六讲 一元二次方程的解法第七讲 一元二次方程的判别式第八讲 一元二次方程的根与系数的关系第九讲 一元二次方程的应用第十讲 专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲 专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲 专题复习三：相似三角形第十三讲 结业考试（未装订在内，另发）第十四讲 试卷讲评广州市民间补习天皇李老师 初二年级春季数学竞赛讲义 第 2 页 共 91 页第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题
3、常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果） ，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于
4、将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。【例 1】已知：如图所示， 中， 。ABCACBDAECF90， ， ，求证：DEDF FE DC BA广州市民间补习天皇李老师 初二年级春季数学竞赛讲义 第 3 页 共 91 页【巩固】如图所
5、示，已知 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使 AEBD ，ABC连结 CE、DE。求证：ECED【例 2】已知：如图所示，ABCD，ADBC，AECF。求证：EF【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于 90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。【例 3】如图所示，设 BP、CQ 是 的内角平分线， AH、AK 分别为 A 到 BP、CQ 的垂线。ABC求证：KHBCACEDFBAB
6、 DCEABQ PHCK广州市民间补习天皇李老师 初二年级春季数学竞赛讲义 第 4 页 共 91 页【例 4】已知：如图所示，ABAC， 。 ， ，AEBFDC90求证：FDED【专题三】证明线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。 （截长法）【例 5】如图，四边形 ABCD 中，ADBC，点 E 是 AB 上一个动点，若B60，ABBC，且DEC60；求证：BCADAE【巩固】已知：如图，在 中， ，BAC、BCA 的角平分线 AD、CE 相交于 O。ABC60求证：ACAECDAB CDEFEDCBAAOEBDC广州市民间补习天皇李老师 初二年级
7、春季数学竞赛讲义 第 5 页 共 91 页（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。 （补短法）【例 6】 已知：如图 7 所示，正方形 ABCD 中，F 在 DC 上，E 在 BC 上， 。EAF45求证：EFBE DF【专题四】证明几何不等式：【例 7】已知：如图所示，在 中，AD 平分BAC， 。ABCABC求证： BD【拓展】 中， 于 D，求证：ABCABC90， ABC14FEDCBAACB DB CDA广州市民间补习天皇李老师 初二年级春季数学竞赛讲义 第 6 页 共 91 页第二讲：平行四边形（一）【知识梳理】1、平行四
8、边形：平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：（1）平行四边形对角相等；（2）平行四边形对边相等；（3）平行四边形对角线互相平分。除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。2、特殊平行四边形：一、矩形（1）有一角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。（4）矩形判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形（5）矩形判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形 二、菱形（1）把一组邻
9、边相等的平行四边形叫做菱形.（2）定理 1:菱形的四条边都相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以 2（5）菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形（6）菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。三、正方形（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）性质：四个角都是直角，四条边相等对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（3）判定：一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形【例题精讲】广州市民间补习天皇李老师 初二年级春季数学竞赛讲义 第 7 页 共 91 页【例 1】填空题
10、：【巩固】1、下列说法中错误的是（ ）A.四个角相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( )A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形3、下面结论中，正确的是（ ）A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4、如图，在 中，点 D、E 、F 分别在边 、 、 上，且 ，B ACECA下列四种说法：DF四边形 是平行四边形；如果 ，那么四
11、边形 是矩形；90A如果 平分 ，那么四边形 是菱形；C如果 且 ，那么四边形 是菱形.BAEDF其中，正确的有 .（只填写序号）【例 2】如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AD，BC 的中点.求证：四边形 BFDE 是平行四边形.在下列特征中，（1） 四条边都相等（2） 对角线互相平分（3） 对角线相等（4） 对角线互相垂直（5） 四个角都是直角（6） 每一条对角线平分一组对角（7） 对边相等且平行（8） 邻角互补平行四边形具有的是： 矩形具有的是： 菱形具有的是： 正方形具有的是： 广州市民间补习天皇李老师 初二年级春季数学竞赛讲义 第 8 页 共 91 页【巩固】已知
12、，如图 9，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AFCE，DF BE，DFBE四边形 ABCD 是平行四边形吗？请说明理由【例 3】如图，梯形 ABCD 中，ABCD，AC 平分BAD，CEAD 交 AB 于点 E求证：四边形 AECD 是菱形【例 4】如图，在等边ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，以 AD 为边作等边ADE（1）求CAE 的度数；（2）取 AB 边的中点 F，连结 CF、CE ，试证明四边形 AFCE 是矩形【巩固】如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，DE AC，CEBDA E DCFB FEDCBAEFDAB CABCDE广州市民间补习天皇李老
13、师 初二年级春季数学竞赛讲义 第 9 页 共 91 页（1）试判断四边形 OCED 的形状，并说明理由；（2）若 AB6，BC8，求四边形 OCED 的面积【例 5】如图所示，在ABC 中，分别以 AB、AC 、BC 为边在 BC 的同侧作等边ABD、等边ACE、等边BCF.（1）求证：四边形 DAEF 是平行四边形； （2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）当ABC 满足_条件时，四边形 DAEF 是矩形；当ABC 满足_条件时，四边形 DAEF 是菱形；当ABC 满足_条件时，以 D、A、E、F 为顶点的四边形不存在. 第三讲：平行四边形（二）CBADFEDCBAO E广州市民间补
14、习天皇李老师 初二年级春季数学竞赛讲义 第 10 页 共 91 页【知识梳理】由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。【例题精讲】【例 1】四边形四条边的长分别为 ，且满足 ，则这qpnm、 pqmnqpnm222个四边形是（ ）A.平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形【例 2】如图，四边形 ABCD 是正方形， 点 G 是 BC 上任意一点，DEAG 于点 E，BFAG 于点 F. (1) 求证：DE BF EF(2) 当点 G 为 BC 边中点时， 试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系， 并说明理由 (3) 若点 G 为 CB 延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时 DE、BF 、EF之间的数量关系（不需要证明） 【巩固】如图 1，在边长为 5 的正方形 中，点 、 分别是 、 边上的点，且ABCDEFBCD， .AEF2B
