1、第九讲 一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法方程 ax2+bx+c=0(a0)称为一元二次方程一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法对于方程 ax2+bx+c=0(a0)，=b 2-4ac 称为该方程的根的判别式当0 时，方程有两个不相等的实数根，即当=0 时，方程有两个相等的实数根，即当0 时，方程无实数根分析 可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解因为所以例 2 解关于 x 的方程：x 2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0解 用十字
2、相乘法分解因式得x-p(p- q)x-q(p+q)=0，所以 x1=p(p-q)，x 2=q(p+q)例 3 已知方程(2000x) 2-20011999x-1=0 的较大根为 a，方程x2+1998x-1999=0 的较小根为 ，求 - 的值解 由方程(2000x) 2-20011999x-1=0 得(20002x+1)(x-1)=0，(x+1999)(x-1)=0，故 x1=-1999，x 2=1，所以 =-1999所以- =1-(-1999)=2000例 4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+
3、1，所以 x=-2，这样就丢掉了 x=1 这个根故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根本题正确的解法如下解 (3x-1)(x- 1)-(4x+1)(x-1)=0，(x-1)(3x- 1)-(4x+1)=0，(x-1)(x+2)=0，所以 x 1=1，x 2=-2例 5 解方程：x 2-3x-4=0分析 本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义解法 1 显然 x0当 x0 时，x 2-3x-4=0，所以 x1=4，x 2=-1(舍去)当 x0 时，x 2+3x-4=0，所以 x3=-4，x 4=1(舍去)所以原方程的根为 x1=4，x 2=-4解法 2
4、 由于 x2=x 2，所以x 2-3x- 4=0，所以 (x-4)(x+1)=0，所以 x=4，x=-1(舍去)所以 x 1=4，x 2=-4例 6 已知二次方程3x 2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根为 2，求另一个根，并确定 a 的值解 由方程根的定义知，当 x=2 时方程成立，所以32 2-(2a-5)2-3a-1=0，故 a=3原方程为3x 2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，例 7 解关于 x 的方程：ax 2+c=0(a0)分析 含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论当 c=0 时，x 1=x2=0；当 ac0(即 a，c 同号时)，方程无实数根例
5、8 解关于 x 的方程：(m-1)x 2+(2m-1)x+m-3=0分析 讨论 m，由于二次项系数含有 m，所以首先要分 m-1=0 与 m-10 两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当 m-10 时，再分0，=0，0 三种情况讨论解 分类讨论(1)当 m=1 时，原方程变为一元一次方程x-2=0，所以 x=2(2)当 m1 时，原方程为一元二次方程=(2m-1) 2-4(m-1)(m-3)=12m-11例 9 解关于 x 的方程：a 2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x解 整理方程得(a 2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0(1)当 a2-a0，即 a0，1
6、 时，原方程为一元二次方程，因式分解后为ax-(a+1)(a- 1)x-a=0，(2)当 a2-a=0 时，原方程为一元一次方程，当 a=0 时，x=0；当 a=1时，x=2例 10 求 k 的值，使得两个一元二次方程x 2+kx-1=0，x 2+x+(k-2)=0有相同的根，并求两个方程的根解 不妨设 a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a 2+ka-1=0， a 2+a+(k-2)=0 -有ka-1- a-(k-2)=0，即 (k-1)(a- 1)=0，所以 k=1，或 a=1(1)当 k=1 时，两个方程都变为 x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根没有相异的根；(2)当 a
7、=1 时，代入或都有 k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x 2+x-2=0解这两个方程，x 2-1=0 的根为 x1=1，x 2=-1；x 2+x-2=0 的根为x1=1，x 2=-2x=1 为两个方程的相同的根例 11 若 k 为正整数，且关于 x 的方程(k 2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根，求 k 的值解 原方程变形、因式分解为(k+1)(k-1)x 2-6(3k-1)x+72=0，(k+1)x-12(k- 1)x-6=0，即4，7所以 k=2，3 使得 x1，x 2同时为正整数，但当 k=3 时，x 1=x2=3，与题目不符，所以，只有 k=2 为所求
8、例 12 关于 x 的一元二次方程 x2-5x=m2-1 有实根 a 和 ，且+6，确定 m 的取值范围解 不妨设方程的根 ，由求根公式得+=+=56，符合要求，所以 m21例 13 设 a，b，c 为ABC 的三边，且二次三项式 x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：ABC 一定是直角三角形证 因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0 与 x2+2cx-b2=0 必有公共根，设公共根为 x0 ，则两式相加得若 x0=0，代入式得 b=0，这与 b 为ABC 的边不符，所以公共根x0=-(a c)把 x0=-(ac)代入式得(a+c)2-2
9、a(a+c)+bg2=0，整理得a2=b2+c2所以ABC 为直角三角形例 14 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数解 设小球摆成正三角形时，每边有 x 个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球此时正三角形共有球此时正方形共有(x-2) 2个球，所以即 x 2-9x+8=0，x 1=1，x 2=8因为 x-21，所以 x1=1 不符合题意，舍去所以 x=8，此时共有球(x-2)2=36 个练 习 九1解方程：(2)20x 2+253x+800=0；(3)x 2+2x-1- 4=02解下列关于 x 的方程：(1)abx 2-(a4+b4)x+a3b3=0；(2)(2x 2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)3若对任何实数 a，关于 x 的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数 b 的取值范围4若方程 x2+ax+b=0 和 x2+bx+a=0 有一个公共根，求(a+b) 2000 的值5若 a，b，c 为ABC 的三边，且关于 x 的方程4x 2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0 有两个相等的实数根，试证ABC 是等边三角形
