1、 阳光家教网 高三数学学习资料第 1 页 共 12 页2010 届高三数学专题复习函数一、本章知识结构：二、考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念.2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程3.了 解 反 函 数 的 概 念 及 互 为 反 函 数 的 函 数 图 像 间 的 关 系 .4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
2、7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。三、经典例题剖析考点一：函数的性质与图像函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫函数的三要素函数的表示法函数的性质反函数函数的应用初等函数基本初等函数：幂函数 ； 二次函数指数函数； 对数函数对数函数指数函数映射 函数阳光家教网 高三数学学习资料第 2 页 共 12 页复习函数的性质，可以从“数 ”和“形” 两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化具体要
3、求是：1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力函数的图像是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。1掌握描绘函数图像的两种基本方法描点法和图像变换法2会利用函数图像，进一步研究
4、函数的性质，解决方程、不等式中的问题3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力例 1、设集合 A=x|x1，B=x|log 2x0，则 AB=( ) Ax| x1 Bx|x0 Cx|x1【解析】:由集合 B 得 x1 , AB=x| x1，故选（A） 。点评本题主要考查对数函数图像的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。例 2、 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用 S
5、1、S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）A B C D阳光家教网 高三数学学习资料第 3 页 共 12 页【解析】：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。点评函数图像是近年高考的热点的试题，考查函数图像的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。例 3、设 ，又记1xf则 （ ）11, ,12,kkfxf 208fxA ； B ； C ； D ；x 1x【解析】:本题考查周期函数的运算。 ，112,fxff，据此， ，32341,ffxfxf41421,nnxffx，因 为 型，故选 .434
6、,nnff 208C点评本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。例 4、函数 ，若 ,则 的值为（ ）3()sin1()fxxR()2fa()faA.3 B.0 C.-1 D.-2【解析】： 为奇函数，又3()1if()f()1f故 即 .a()0fa点评本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。例 5、已知集合 ，集合 ，若 ，求实axyP),( bxyQ),( QP数 a 和 b 之间的大小关系。【解析】：利用数形结合，分别讨论当 a0，a0
7、和 a=0 三种情况下，a 与 b 之间的关系。（1） 当 a0 时，ba 0；（2） 当 a=0 时，ba=0；（3） 当 a0 时，b-a0。综上所述， 。阳光家教网 高三数学学习资料第 4 页 共 12 页点评在作含有绝对值的函数图像时，可利用奇偶性、对称性等。此外，在解集合的题目时，一定要看清楚集合中的元素到底表示什么含义，比如此题中集合的元素是点。考点二：二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨
8、论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.例 6、设二次函数 ，方程 的两个根 满足fxabxc20fx0x12,。当 时，证明： 。ax10210
9、1, 1)(f【解析】：在已知方程 两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函fx数 的表达式，从而得到函数 的表达式. xf)(f证明：由题意可知 .)(21xaxf当 ，且 时，x01,21，0)(2xa 当 时， 。1,xf(又 ，)1)()( 2112 axxxf当 时，a021 ,0,0且 。)(xf综上可知，所给问题获证. 点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式阳光家教网 高三数学学习资料第 5 页 共 12 页。.21xay例 7、设二次函数 ，方程 的两根 和 满2()fax()0fx1x2足 120x（I）求实数 的取值范围；（第 1 问 采用解法
10、 1 中的方法较好）a（II）试比较 与 的大小并说明理由 （第 2 问 采用解法 3 中的方法较好）()(0)ff6【解析】法 1：（）令 ，2()gxxa则由题意可得 012()ag或或013232a或或032a故所求实数 的取值范围是 a(0)，（II） ，令 2(0)1)1ffgaA 2()ha当 时， 单调增加，h当 时，32a 20()32)()(172)h，即 167A 106ffA法 2：（I）同解法 1（II） ，由（I ）知 ，2(0)()(1)ffga032a又 于是4270a 4或，21(3)(2)(1)616即 ，故 ff法 3：（I）方程 ，由韦达定理得()0x2(
11、)0xa阳光家教网 高三数学学习资料第 6 页 共 12 页， ，于是12xa12x12122100()0xxx， ， ，013232aa， 或 032a故所求实数 的取值范围是 ()，（II）依题意可设 ，则由 ，得12)gxx120x122(0)1(0()()()ff x，故 226xx016ff点评本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力考点三：指数函数与对数函数指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图像与性质并能进行一定
12、的综合运用.例 8、已知函数 的图像如图所示，则 满足的关系是()log(21)(01)xafba， ab，（ ）A B10ab10C D ab【解析】：由图易得 取特殊点1,1;01log0,axyb.选 A.logllog,aaab点评：本小题主要考查正确利用对数函数的图像来比较大小。例 9、设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 （ 1()lafx2a， 12a）A B C D224【解析】：设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值分别为1a()logafx,2aO y x阳光家教网 高三数学学习资料第 7 页 共 12 页，它们的差为 ， ， 4，选 D。log2,l1aa
13、121log2a例 10、若 ，则（ ）3()lnnxexbcx， ， ， ，A B C D bcc bca【解析】：由 ，令 且取 知 0l11 tl21t考点四：反函数反函数在高考试卷中一般为选择题或填空题，难度不大。通常是求反函数或考察互为反函数的两个函数的性质应用和图像关系。主要利用方法为：1、 反函数的概念及求解步骤：由方程 y=(x)中解出 x=(y)；即用 y 的代数式表示 x.。改写字母 x 和 y，得出 y=-1(x)；求出或写出反函数的定义域， （亦即 y=(x)的值域） 。 即反解互换求定义域2、 互为反函数的两个函数的图像之间的关系，3、 互为反函数的两个函数性质之间的
14、关系：注意：在定义域内严格单调的函数必有反函数，但存在反函数的函数在定义域内不一定严格单调，如 y= 。1x例 11、函数 的反函数的定义域为（ ）()302)xf (0， (19， (01)， 9)，【解析】：函数 的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为 ，()xf (19， 选 B。点评：本题考查互为反函数的两个函数性质之间的关系，即：反函数的定义域为原函数的值域。例 12、设函数 存在反函数 ,且函数 的图像过点(1,2),则函数()yfx1()yfx()yxf的图像一定过点 .1()yfx【解析】由函数 的图像过点(1,2)得: 即函数 过点 则其反()yfx(1),f()yf
15、x1,)函数过点 所以函数 的图像一定过点1,1()yfx1,2.点评：本题考查互为反函数的两个函数的图像之间的关系以及图像的平移。考点五：抽象函数抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，阳光家教网 高三数学学习资料第 8 页 共 12 页因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可
16、以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题，（一） 函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等) 反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知 4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等.（二 ）特殊化方法1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将 x 换成x 等2、在求函数值时，可用特殊值代入3、研究抽象函数的具体模型，
17、用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法.总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.例 13、 定义在 上的函数 满足 （ ） ，R()fx()()2fyfxyxyR，则 等于（ ）(1)2f()fA2 B3 C 6 D9解：令 ，令 ；0()xyf1(2)16xyff令 得,2)8()(2)86f f方法 2：可先求 ，然后求 ，利用 可得到 。)(f()(ff考点六：函数的综合应用函数的综合运用主要是指运用函数的知识
18、、思想和方法综合解决问题函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想阳光家教网 高三数学学习资料第 9 页 共 12 页的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键例 14、某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为 x（x 10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48
19、x（单位：元） 。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= ）建 筑 总 面 积购 地 总 费 用【解析】：设楼房每平方米的平均综合费为 元，依题意得y*2160108(56048)564(10,)yxxxNx，22当且仅当 时，等号成立，x因此，当 时， 取得最小值， 元.15ymin0y答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为 15 层。点评：这是一题应用题，利用函数与基本不等式的知识来解决问题。还可利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法，上海考生暂不作要求。例 15、某商品每件
20、成本 10 元，售价为 30 元，每星期卖出 120 件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 （单位：元， ）成正比.x03x 已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件（I）将一个星期的商品销售利润表示成 的函数；x（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力【解析】：（）设商品降价 元，则多卖的商品数为 kx，若记商品在一个星期的获利为 ，x ()fx则依题意有 ，)120)(30()kxf 30x又由已知条件，24=kx，于是有 12，所以 ， 。241
21、)() 2xf 30,x（）根据（） ，我们有 ， 。27)5(0xf 30,x 当 x=5 时， 270)(max所以定价为 30-5=25 元能使一个星期的商品销售利润最大点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数最值的知识解决实际问题的能力阳光家教网 高三数学学习资料第 10 页 共 12 页考点七、函数的零点例 16、函数 的零点所在的区间是 ）xf1lg)(A B （ 1，10） C D1,010, ),10(解：因为 f（1）010， f（10）1 0，即 f（1）f（10）0，所以函数 f（x）在区间（1,10 ）之间有零点。点评：如果函数 f（x）在区间 a，
22、b上连续，且 f（a）f（b）0，则函数 f（x）在区间（a，b）上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容。例 17、已知 a 是实数，函数 ，如果函数 在区间-1，1上有零点，2()3fxx()yfx求实数 a 的取值范围。【解析】 （1）当 a=0 时，函数为 f (x)=2x -3，其零点 x= 不在区间-1，1上。2（2）当 a0 时，函数 f (x)为二次函数，在区间-1 ，1分为两种情况：函数在区间1，1上只有一个零点，此时或 120)3(84a解得 1a5 或 a= 273函数在区间1，1上有两个零点，此时或208410af 208410af解得 a 5 或 a 273综上所述，如果函数在区间1，1 上有零点，那么实数 a 的取值范围为(-, 1, +)四、方法总结与 2010 年高考预测0)1()(84af
