1、第四十二讲 函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题 1一次函数的最大值与最小值一次函数 y=kxb 在其定义域(全体实数) 内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量 x 的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了例 1 设 a 是大于零的常数，且 a1， 求 y 的最大值与最小值大值 a例 2 已知 x，y，z 是非负实数，且满足条件xyz=30，3x+y-z=50求 u=5x 4y2
2、z 的最大值和最小值分析 题设条件给出两个方程，三个未知数 x，y，z，当然，x，y，z 的具体数值是不能求出的但是，我们固定其中一个，不妨固定 x，那么 y，z 都可以用 x 来表示，于是 u便是 x 的函数了解 从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10所以u=5x4y+2z5x4(40-2x)2(x-10)=-x+140又 y，z 均为非负实数，所以解得 10x20由于函数 u=-x140 是随着 x 的增加而减小的，所以当 x=10 时，u 有最大值 130；当 x=20 时，u 有最小值 120 2二次函数的最大值与最小值例 3 已知 x1，x 2 是方程x2-(k-2)x(k 2
3、+3k+5)=0解 由于二次方程有实根，所以=-(k-2) 2-4(k2+3k+5)0，3k216k160，例 4 已知函数有最大值-3，求实数 a 的值解 因为的范围内分三种情况讨论-a24a-1-3例 5 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE(如图 312) ，其中AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积解 设矩形 PNDM 的边 DN=x，NP=y，于是矩形 PNDM 的面积S=xy，2X 4 易知 CN=4-x，EM=4-y ，且有二次函数 S=f(x)的图像开口向下，对称轴为 x=5，故当 x5 时，函数值是随 x 的增加而增加，
4、所以，对满足 2x4 的 S 来说，当 x=4 时有最大值例 6 设 p0 ，x=p 时，二次函数 f(x)有最大值 5，二次函数 g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x 2+16x+13求 g(x)的解析式和 p 的值解 由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)g(p)=p 216p 13，所以 p 216p+13=30，p=1(p=-17 舍去) 由于 f(x)在 x=1 时有最大值 5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a 0，所以g(x)=x 2+16x+13-f(x)=(1-a)x 2+2(a8)x8-a由于 g(x)的最小值是-2，于是解得 a=-2
5、，从而g(x)=3x212x103分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于 x 的二次方程，然后用判别式0，得出 y 的取值范围，进而定出 y 的最大值和最小值解 去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=00，即=2(y+1) 2-4(2y-1)(y3) 0，解得 -4y1时，取最小值-4，当 x=-2 时，y 取最大值 1说明 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的 x 值解 将原函数去分母，并整理得yx2-ax(y-b)0 因 x 是实数，故=(-a) 2-4y(y-b)0，由题设知，
6、y 的最大值为 4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)0，即 y 2-3y-40 由，得所以 a=4，b=3 4其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界解 先估计 y 的下界又当 x=1 时，y=1，所以，y 的最小值为 1说明 在求最小(大)值，估计了下(上) 界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了例如，本题我们也可以这样估计：但无论 x 取什么值时，y 取不到-3，即-3 不能作为 y 的最小值例 10 设 x，y 是实数，求 u=x2xy+y 2-x-2y 的最小值分析 先将 u 看作是 x 的二次函数( 把 y 看作常数)，进行配方后，再把余下的关于 y 的代数式写成 y 的二次函数，再配方后，便可估计出下界来
