1、- 1 -关节八审题与解法探寻的策略任何一个解题过程都可分为两大环节，第一个环节是“解法的思考与形成”第二个环节是“解法的实施”。越是思维含量大与能力要求高的题目，越重在第一个环节。审题与解法的探寻是构成第一个环节的两个步骤或说两个侧面，它们各有侧重但又密不可分，我们只是为了更好地进行分析和说明问题，才把二者分开来论述。一、审题的策略1、研究背景绝大多数的数学题目，在已给的条件中都蕴含了结论的成立或不成立，即使是探究型的题目，要探究出的结论也必以条件为发生的根据。而题目所给的背景，就是最重要的条件，所以研究“背景”是获得解法的前提和启动器。例 1 如图，已知 。ABC（1）请你在 BC 边上分
2、别取两点 D，E，（BC 的中点除外）连结 AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形。（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明 AEDCAB【观察与思考】研究背景对于（1），通过画草图，如图（1），其中除了 外，还有五个三角形，它们由顶点 A 引的高都相等，易知只有在“ ”的条件下，才能确保图中“只存在两对面积相等的三角形”。DECB对于（2），要证明 ，由“要证线段的不等应借于三角形中三边AA的关系”这一基本认识，结合（1）中的 ，立刻想到将 平移至 （1）ECBAEC，再进行推导。F解：（1）略；（2）证明：如图（1），分别过点 D，B 作
3、CA，EA 的平行线，两线交于 F 点，DF 与 AB 交于 G 点。FAECDBAC,在 和 中，又有 ，E在 中， ，AGA在 中， FB，BF0,0GD。 （1）即 AEDCAB CAB CD EAB CD EFG,- 2 -【说明】对于（2）的如上的证法，是以对（1）的基础上背景图形（1）特点的深入认识和对“用三角形三边的关系证线段的不等关系”这一基本模式的深刻掌握，才自然而顺利地形成的。例 2 一手机经销商计划购进某品牌的 A 型、B 型、C 型三款手机共 60 部，每款手机至少要购进 8 部，且恰好用完预计的购机款 61000 元，设购进 A 型手机 部，B 型手机 部，三款手机的
4、进价和预售价如下表：xy（1）用含 ， 的式子表示购进 C 型手机的部数；xy（2）求出 与 之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购进这批手机过程中需另外支出各种费用共 1500 元。求出预估利润 （元）与 （部）的函数关系式；（注：预估利润 =预售总额购机款各种费用）。Px P求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部？【观察与思考】梳理本题的数量关系背景：背景一：三款手机的进价和预售价（如题中的表所示）背景二：购进 A 型、B 型、C 型三款手机共 60 部，即 ；60(）Cyx型 手 机 部 数背景三：购进 60 部手机恰好用 610
5、00 元，即 ；110290型 手 机 部 数对以上三方面的背景进一步研究，可知：、对于问题（1），由背景二即可明确解答。、对于问题（2），显然单由背景二不能解决，若将背景二和背景三相结合，则两个交量（ 和 ），在两个xy关系中（背景二和背景三所确定的两个等量关系），便相依存地联系在了一起，这正是我们在函数部分指出的建立函数关系的第三条途径，通过等式导出函数关系式。、对于问题（3），有了问题（1）、（2）的解决，再根据背景三，可由“直接列式法”写出 与 的函数关Px系式进而解决最大利润问题。解：（1） ；yx60（2）由题意和（1）得： ，610)60(1290yxyx从中可导出： 52y（3
6、）由题意，得 ，5)(31yxyxP整理得 0x购进 C 型手机部数为： ，根据题意列不等式组得106解得 3429x的范围为 ，且 为整数，x3429x手机型号 A 型 B 型 C 型进价（单位：元/部） 900 1200 1100预售价（单位：元/部） 1200 1600 1300，8,501- 3 -是 的一次函数， 随 的增大而增大。Px,05kPx当 取最大值 34 时，P 有最大值，最大值为 17500 元。此时购进 A 型手机 34 部，B 型手机 18 部，C 型手机 8 部。【说明】由本题可以看出，只有全面而深入地研究背景，把握每一背景的作用和互相结合的意义，才有助于正确而快
7、速地获得问题的解决方法。从背景的本质特征，背景的构成层次与相互关系诸方面将其研究透彻，是审题的根本任务，也是解法获得的基础。2、研究“过程有的题目的条件或背景的一部分表现为一种活动过程，而在题目的呈现中，这样的“过程”只是被描述出，或部分呈现出，其全部的意义和性质，大都隐含在“过程”之中，在此情况下，深入而全面地研究“过程”，便是解法获得的关键。例 3 如图，边长为 1 的等边三角形 位于坐标系中的的位置，AB 在 轴上，点 A 与原点 O 重合，现将ABP0 x在 轴上向右滑动地连续翻转，第 次翻转后 变换到的位置记为 ，则 的坐标为 。ABP0xi0iP208【观察与思考】 对于 的连续翻
8、转过程做如下的研究：0研究：在图上画出更多的后续过程，如图（1）研究：找出点 的坐标在翻转过程中的变化规律，由（1）可以看出：i（ ）当 为整数，下同时， 的坐标为 ）im(3iP23,1(m（ ）当 或 2）时， 的坐标为 ；i1ri )0,而 的坐标为 即（ ）。08,693208693(,9解：应填（ ）（1）【说明】题目所给的图示，不足以形成对规律的观察和归纳，因此从以上两个角度深化对“过程”的研究，促成了规律的得到和解法的形成。例 4 如图（1）和（2），在等腰梯形 ABCD 中，AB/DC， 。等腰直角三角cmCDAB4,10,45OxyA B 1P203OxyA B 1P20 6
9、P 43578- 4 -形 的斜边 A 点与 N 点重合，MN 和 AB 在一条直线上，设等腰梯形 ABCD 不动， PMN,10cm等腰直角三角形 沿 AB 所在直线以 的速度向右移动，直到点 N 与点 B 重合为止。s/设当等腰直角三角形 移动 时，等腰直角三角形 与等腰梯形 ABCD 重叠部分的面积为 ，)(sxPM)(2cmy求 与 之间的函数关系式。yx（1） （2）【观察与思考】第一，研究背景图形：、等腰直角三角形 的数量与位置（略）PMN、等腰梯形 ABCD 的形状、数量和位置（略）、两个图形的初始位置关系（略）第二，研究运动的全过程：、从图形上感知运动的全过程：（1）（2） （
10、3）（4） （5）、在观察的基础上总结规律：可以看到重叠部分形状的变化，在 和 相交时均为等腰直角三角形；在 和 相交时，均为等腰梯PNADPNCD形，因此，重叠部分面积的计算应分相应的两段进行，而两段分界的时间就是 过点 D 的时刻。、确定出分界的时刻：在图（6）中，过 D 作 ，交 于点 ，作 交 MB 于点 。易知：当点 移动到 时，,/MBPAN/ N移动到 D，即 和 DC 交于点 D，而 ，可知 过点 D 的时刻为 。PN)(6 cmCBP)(6sxA BCDPM （N） ABCD（N）PMPM （N）A BCD PM NA BCD PM NA BCDN BCPM AD BN（B）
11、CPM （A）DA BCDPM （N） - 5 -（6）这样，在 时，重叠部分的图形为等腰直角三角形， 时，重叠部分的图形为等腰梯形，分60x 10x别计算面积即可。简解：当 （如 图（2）41)2(y当 时，（见图（4）， 为平行四边形，06x ,NBCxAxNBC10，6)1( xDC为等腰梯形 ABCD 的高），易知 ，DHANy(2 3DH93)(xx当 60当 1x【说明】当整个过程出现不同的制式或不同的对应规则时，必须分段处理，但为什么分段和如何分段正是建立在对“过程”深入而全面研究的基础上的。当一个题目和“过程”相关时，必须全面深入地去研究“过程”这是审题活动不可或缺的一部分。二
12、、关于解法的探寻解法的探寻是解题活动的中心，它是相关知识与思考策略正确使用及结合的产物，其表现形式丰富多彩，且常因人而异，我们只能择其要者和常用的方法提供给同学们参考。1、向基本模型和基本模式化归我们所学的数学知识，集中体现为一些基本模型，如“方程模型”、“函数模型”、“直角三角形模型”、“相似三角形模型”等，以及一些基本模式，如数、式的算法和公式 ，基本图形的基本性质和图形关系等。几乎所有的数学问题都要化归到这些基本模型或基本模式才能解决。因此，“将问题化归到基本模型或基本模式”就是最高超的数学能力，当然也是解法探寻最为重要的思考策略。例 1 在某次数字变换游戏中，我们把整数 称为“旧数”，
13、游戏的变换规则是：将旧数先平方，再10.,2,除以 100，所得到的数称为“新数”。（1）请把旧数 80 和 26 按照上述规则变换为新数；（2）经过上述变换后，我们发现许多旧数变小，有有断言：“按照上述变换规则，所有的新数都不等于它的旧数”。你认为这种说法对吗？若不对，请求出所有不符合这一说法的旧数；（3）请求出按照上述规则变换后减小了最多的旧数（要写出解答过程）y24193x- 6 -【观察与思考】对于 （1），按规定计算即可；对于（2），应化归到方程来解决；对于（3），为了建立旧数与所变新数之间的差和旧数之间的对应关系，当然要引入“函数”。解： 76.102,48（2）不对，设这个数为
14、，满足 即 。x,102xx102解得 。 不符合这一说法的旧数有 0 和 100。10,21x（3）设旧数为 ，变换后减少的最为 ，则y25)(10)(022 xxy时， 有最大值 25，即变换后减少最多的旧数是 50。5x当 y【说明】在这里，正是由于正确而及时地将问题化归到方程和函数，才使问题获得规范而迅速的解决。例 2 如图，在矩形 ABCD 中， 线段 ，在 EF 上取一点 M，分别以 EM，MF 为一边作矩形,2ADB10EFEMNH，矩形 MFGN，使矩形 MFGN矩形 。令 当 为何值时矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？C,xN最大值是多少？【观察与思考】在我们搞清楚题目背
15、景和要解决的问题之后 ，自然地就会形成如下的几点认识：第一， 在本题，矩形 EMNH 的边 EM 被另一边 MN 所决定，因而其面积也就被边 MN 所决定，也就是说，矩形 EMNH 的面积是其一边 “MN 的函数”，本题就是研究这个函数的“最值”问题的，因此，必须先把这个函数求出来。第二，由矩形 MFGN矩形 ，可知 ，这样，ABCD2ABMNF矩形 EMNH 中应有： ，因此，矩形 EMNH 的面积 S 关于 MN 的函数表达式容易建E10立起来。解决的方法就这样确立了出来。解：设 MN 的长为 ，则由矩形 MFGN矩形 ，得 ，即xABCD2ABNF。xMFENMF210,2 25)()1
16、0( xS当 MN 的长为 时，矩形 EMNH 的最大值为 。2525【说明】认识到这是函数，然后建立函数，再利用函数性质（这不就是函数“三个支点”吗？）正是恰当地运用了“函数模型”使本题解答自然流畅，简易明快。A BCDE FMN GH- 7 -例 3 如图，在梯形 中， 分别是 的中点，若 与 互余，则 与ABCDNM,/ BCAD,BCMN的关系是（ ）ADBCA、 B、MN2 AN2C、 D、)(【观察与思考】充分审题后知道应把互补的两角集中于一个三角形中，为此将 AB 平移至 DE 处，如图（1 ），则易知 中 ，MN 平移至 DF 处，则E90C， （1）21)(2121EBCAB
17、FN即 F 为 斜边 CE 的中点，当然有DRt。也即有 。2 ADMN解：应选 C。【说明】在这里，根据题目背景，认识到并实施化归到“直角三角形”是关键。例 4 现有一张矩形纸片 如图（1），其中 ，点 E 是 BC 的中点，实施操作：将纸ABCcmBC6,4片沿直线 AE 折叠，使点 B 落在梯形 内，记为点 。D（1）请用尺规，在图中作出 （保留作图痕迹）E（2）试求 两点之间的距离。 （1）,【观察与思考】点 易作出，要求线段 长度，立刻想到寻找 C相关的直角三角形。解：（1）可以从 关于 对称来作，也可以从 来作，作法略，如图（1）,BAEEAB（2） 。524,1,534BFA。9
18、0, CEB在 中， 。 （1）CRt518)24(6 两点之间的距离为 。B,cm【说明】为求 ，始终把寻找相关的直角三角形作为思考的指导。例 5 如图，在 中， ，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA，CB 分别相交于ABC6,8,10BA点 P，Q，则线段 PQ 的长度的最小值是（ ）A、 B、 C、 D、7.48.4524（1）（1）A DCBMNA DCBMN FEA DB CEA DB CECFABCQP ABCD- 8 -【观察与思考】过直角顶点 C 且与斜边 AB 相切的圆有无数多个，最小的就是以斜边上的高为直径的圆，即 PQ的最小值应等于斜边上的高，因此，本题归于图（
19、1）这样的基本模式，即求斜边上的高 CD 的长。解：应选：B 。【说明】将图（1）和原问题化归到图（1）这样的基本模式，转化为求 CD 的长，就是本题获解的最佳通道。由以上几例可以看出：、化归到基本模型或基本模式，是解法探究的第一指导思想，是最重要的思考策略，是最大的“巧”！、化归意识的强烈，化归方法的有效落实，是以对“方程”、“函数”、“直角三角形”、“相似三角形”等这些模型，和一系列的模式的意义和作用，有深刻认识把握为基础的，达到“似非方程，却恰当地运用方程”，“似非函数，却恰当地运用函数”，“似无直角三角形，却恰当地造出并用直角三角形”，表面上不是某个模式，却恰当地归入并运用这一模式，达
20、到这样的程度，就标志着对知识的掌握上升到了本质和原理的水平。这正是每一个学习者应当追求的目标。2、把“特殊与一般的关系”用活，用足特殊与一般的关系是人们认识事物、解决问题最常用的思维方法。在我们探究数学问题的解法时，它同样发挥着至关重要的作用。（1）注意从背景中的“特殊点”切入我们知道，在平行四边形的背景下若附加“对角线互相垂直”，它就成了菱形，若附加更特殊的条件“对角线互相垂直且相等”。它就成了正方形，可知，越是特殊的条件，越体现着事物的特殊性，而越是特殊的东西范围越小，相对的就越好解决。例 6 已知：如图，在梯形 中， ，点 分别在边 上，ABCDDCAB,/ GFE, CDBA,。GCF
21、AE（1）求证：四边形 是平行四边形；AE（2）当 时，求证：四边形 是矩形。2EFG【观察与思考】在四边形 是等腰梯形的大背景下，对于（1），B就要从“ ”这个附加的特殊条件切入，去推得F ,/FAE且 。GAE对于（2），就要从更特殊的附加条件“ ”切入，而为了应用“2 倍角”这个关系，想到作BFGC于 H（如图（1），目的是将 平分，构造出等角和直角三角形。C证明：（1） 在梯形 中， 。BDAD,。 （1）FGF, AB CDF GEAB CDFGEH- 9 -即 又,/,GFABC,/EGFA四边形 是平行四边形。E（2）过点 G 作 ，垂足为 H，（如图（1）。EFBCF21, 9
22、0,90,90EFGGH平行四边形 是矩形。AE【说明】由本例可以看出，最特殊的条件，常常正好是解法探寻的入口处。（2）善于借特殊窥测一般，解决一般例 7 如图，在 中， 分别是 的中点， 为 上的点，连结 ，若ABC,NMACB,ED,BCEMDN,则图中阴影部分的面积为 。5,10,3cmDEcmAB 2cm（1）（1）【观察与思考】在本题， 的三边是确定的，点 的位置是确定的，而 在 上且 ，ABCNM, ED,BCcm5但 两点的位置不确定，它们在满足上述条件下是可以在 上移动的，这个移动不影响阴影部分面积的大小。ED, BC现考虑将原图换成图（1）那样的特殊情况，即 E 为 的中点，
23、D 重合于点 B，此时立刻看出 ，OBMES即 。ABCBNSS21阴 影解：应填 30 。例 8 现有若干张边长不相等但都大于 4 的正方形纸片，从中任选一张，如图（1），从距离正方形的四个顶cm点 2 处，沿 角画线，将正方形纸片分成 5 部分，则中间阴影部分的面积是 ；若在上述正cm45 2cm方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？ 。（1） （1）ACMNDEB BCAMN（D）E）O）cm2c2cm2c24545 cm2c2- 10 -【观察与思考】若将阴影部分的正方形沿原正方形纸片的对角线平移，使两顶点到正方形纸片两邻边上，如图（1），立刻看到阴
24、影正方形的边长为 ，所有有：cm2解：阴影部分正方形面积为 ；所得阴影正方形是定值：都等于 。28c 28cm（3）正向思考与逆向思考的转化例 12 如图，在 中，分别以 为边在 BC 的同侧作等边三角形 ，等边三角形 ，等边ABCBCA, ABDACE三角形 。F（1）求证：四边形 DAEF 是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）当 满足 条件时，四边形 DAEF 是矩形；ABC当 满足 条件时，四边形 DAEF 是菱形；当 满足 条件时，以 D，A ，E， F 为顶点的四边形不存在。【观察与思考】对于（1），通过证明 可推得CBC解：（1） 和 都是等边三角形ABD
25、F60F又 ，,CDFAE同理 AE四边形 ADFE 是平行四边形【观察与思考】对于（2），应逆过来思考，即从结论出发寻找条件。若 ，则需90DAE15029036BC若 则需 ，但又不等于 BC。,A因当 时，DAEF 在一条直线上，已不构成四边形 这正是（3）的情况。B解：（2） ； ； ，且 ；150B60ACACB【说明】象本题中对（2）的思考，就是运用了“逆向”的形式，当由结论探寻其成立的条件时，常常用这种方法。不过在运用逆向思考得到结果后，还需正过来进行验证。以上列举的事实可以看到：获得问题解法的主要思考策略是：、化归到基本模型或基本模式；、用活，用足特殊与一般的关系；、从等价、数与形、正向逆向三个角度考虑将问题转化。DBAEFC
