1、第 2 章 导数与微分 21 导数概念 习题解11用定义求函数 在 处的导数。yx1【解法一】利用导数定义式 求解：000()()=limxfxff0(1)lixf 201lix。20lix0li()x【解法二】利用导数定义式 求解：00()()=limhffxf。01()lihf20(1lih20lih0lim()2h【解法三】利用导数定义式 求解：00()()=lixfxf。1()limxff21lix1()limx1li()2x2已知一物体的运动方程为 （ ） ，求该物体在 （ ）时的瞬时速度。38st2ts【解】该物体在 （ ）时的瞬时速度为：2t2()()limtss332()(8)
2、litt32limt（ ） 。2()4)litt2li(4)tt412/ms3求在抛物线 上点 处的切线方程与法线方程。yx1【解】由于 ，知在抛物线 上点 处的切线斜率为 ， 2yx1112xxy抛物线 上在点 处切点的纵坐标为 ，2yx1211()3xxy于是，得所求的切线方程为 ，亦即 ；32()yx0法线方程为 ，亦即 。27xy（课本后的答案中，法线斜率错为 ）2第 2 章 导数与微分 21 导数概念 习题解24设 存在，试利用导数定义求下列极限：0()fx ；0()limxfx【解】利用导数定义式 ，000()(=limhfxff令 ，得 ，hx)()xx 00()(limxfxf
3、亦即 。000()li (xfff ；0()()limhfh【解】由于给出极限式中，既有 ，也有 ，但导数定义式0()fx0()fxh中只有一个 ，仿上题的解法，也只能通过变量代00()()=lihfxf换出现一个 。于是，考虑对两个式子进行合并的方法，使得 和0f 0()fxh在同一个式子中出现：0()fx利用导数定义式 ， -000()()=limhfxff以 替换 ，得 ，h ) xh00()(limhfxf亦即 -000()(li (hfxff得： ，000000()()(limlim()()hhfxfffxffx整理得 。0=2xh 。0()(2)lixff【解】利用导数定义式 ,
4、-000()(lixfxff以 替换 ，得 ,202)=mx亦即 -0 0(2()li (xfffx得：,000000()()(limli ()2()x xfffxffxfx第 2 章 导数与微分 21 导数概念 习题解3整理得 ，000()()lim3()xfxfxf即得 。0 225用导数的定义求 在点 处的导数。, ()ln1)0xfx【解】由于 是函数的分段点，而分段点两侧的函数表达式不同，故须应用左、右导0数进行分析：利用导数定义式 ，且 ，00()()=limxfxf0()=ln1)ln1xf得 ，0()lixf 0lix0lix，0()=lixff0n(1)lix10limn()
5、xxle由于 ，()ff知 在点 处的导数为 。, ln(1)0xxf(0)1f6试讨论函数 在 处的连续性与可导性。2si, (), fxxx【解】由于 ，0()()limxff201sinlx01limsnx知该函数在 处可导，而函数可导必连续，从而知该函数在 处连续可导。7试讨论 在 ， ， 处的连续性与可导性。21, 01(), 2xxf 1x2【解】在 处，有 ，0x()1f由于 ；0()=limxff01lix， () (2)02limx0lix第 2 章 导数与微分 21 导数概念 习题解4成立 ，可知该函数在 处不可导。(0)ff0x再由于 ； ； ，limx0li1xlim()xfli(21)x(0)1f成立 ，可知该函数在 处连续。0()f()f综上知，该函数在 处连续但不可导。在 处，有 ，1x1()2)3xf由于 ；1()=limxff()lix12()limx1li2x，1()lixff213lix1lix1li()x成立 ，可知该函数在 处可导。()ff而由于函数可导必连续。即知，该函数在 处连续可导。1x在 处：2x由于 ； ；lim()f2li()4x2lim()xf2lix有 ，可知该函数在 处不连续。2x2f而函数不连续必不可导，从而知该函数在 处不连续且不可导。
