1、学科网-学海泛舟系列资料 版权所有学科网2010 高考总复习之五微元法解题方法简介微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。选题精讲例 1：如图 31 所示，一个身高为 h 的人在灯以悟空速度 v 沿水
2、平直线行走。设灯距地面高为 H ，求证人影的顶端 C 点是做匀速直线运动。解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。设某一时间人经过 AB 处，再经过一微小过程t（ t 0），则人由 AB 到达 AB ，人影顶端 C 点到达 C 点，由于 SAA= vt 则人影顶端的移动速度：vC = = = vCt0SlimAt0HShlith可见 vc 与所取时间 t的长短无关，所以人影的顶端 C 点做匀速直线运动。例 2：如图 32 所示，一个半径为 R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其 A 端固定在球面的顶点， B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为 。试求铁
3、链 A 端受的拉力 T 。解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况。在铁链上任取长为 L的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图 32甲所示。由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：T + T = Gcos + T ，T = Gcos = gLcos由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 T ，所以整个铁链对 A 端的拉力是各段上 T的和，即：T = T = gLcos = gLcos观察 L
4、cos的意义，见图 32乙，由于 很小，所以 CDOC ，OCE = 学科网-学海泛舟系列资料 版权所有学科网Lcos表示 L在竖直方向上的投影 R ，所以 Lcos = R ，可得铁链 A 端受的拉力：T = gLcos = gR例 3：某行星围绕太阳 C 沿圆弧轨道运行，它的近日点 A 离太阳的距离为 a ，行星经过近日点 A 时的速度为 vA ，行星的远日点 B 离开太阳的距离为 b ，如图 33 所示，求它经过远日点 B 时的速度 vB 的大小。解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解。也可根据开普勒第二定律，用微元法求解。设行星在近日点 A 时又向前运动了极短的时间 t ，由于时
5、间极短可以认为行星在 t时间内做匀速圆周运动，线速度为vA ，半径为 a ，可以得到行星在 t时间内扫过的面积：Sa = vAt a12同理，设行星在经过远日点 B 时也运动了相同的极短时间 t ，则也有：Sb = vBt b由开普勒第二定律可知：S a = Sb 。即得：v B = vAab（此题也可用对称法求解。）例 4：如图 34 所示，长为 L 的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为 m ，船的质量为 M ，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，系统所受合外力为零，可知系统动量守恒。设人在走动过程中的 t时间内为匀速运动，则可计算出船的位移。设 v1 、v 2 分别是人和船在任何一时刻的速率，则有：mv 1 = Mv2 两边同时乘以一个极短的时间 t ， 有：mv 1t = Mv2t 由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，所以人和船位移大小分别为 s1 = v1t ，s 2 = v2t由此将式化为：ms 1 = Ms2 把所有的元位移分别相加有：ms 1 = Ms2 即：ms 1 = Ms2 此式即为质心不变原理。其中 s1 、s 2 分别为全过程中人和船对地位移的大小，又因为：L = s1 + s2 由、两式得船的位移：s 2 = LmM
