1、1湖南省衡阳市八中 2013 届高三第三次教学质量检测文科数学试题一、选择题：（本大题共 9小题，每小题 5分，共 45分只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 M x|x3 ， N x|log2x1 ，则 M N（ ）A B x|0 x3 C x|1 x3 D x|2 x32tan780 0的值为（ ） 3 3以下说法错误的是( ) A.命题“若 则 x=1”的逆否命题为“若 1,则 ”.20x x230xB. “ ”是“ ”的充分不必要条件.132C.若 为假命题,则 均为假命题.pqpq、D.若命题 p: R,使得 则 R,则 .x210xpx210x4.给定下列四个命题：若一个平面内的
2、两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（ ）A和 B和 C和 D和 5若对任意的 ，函数 满足 f(x+1)=-f(x),且 f(2013)=-2013,则 f(-1)=( )Rx)(xfA.1 B.-1 C.2013 D.-20136.函数 的值域是( )y22log)1(log（A） （B） （C） （D）,0,),1),1,(7函数 xfln的图象大致是（ ）28如图，在三棱柱 中，侧棱垂直
3、于底面，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长为 3，则1ABCAA1与平面 所成的角为（ ）1A. B. C. D. 64329定义在 上的函数 的图像关于 对称，且当 时，R(1)yfx(1,0),0x()0fxf（其中 是 的导函数） ，若()fxf.3.3logl3afbf 331logl9c，则 的大小关系是( ),abcA. B. C. D. bcac二、填空题：（本大题共 6小题，每小题 分，共 30分.把答案填在答题卡中相应的横线上）510.复数 在复平面上对应的点的坐标是_1i11.曲线 在点 处的切线方程为_. 3yx1,312一个几何体的三视图及其尺寸（单位： cm）如图所
4、示，则该几何体的侧面积为 .213.向量 、 满足| |1， | |2，且 与 的夹角为 ， a b a b a b 3则| +2 | a b14.已知函数 14)(xaf是偶函数，则常数 a 的值为 15.已知函数 ，0,4)(,2)( xgxf（1） ；)(fg（2）若方程 的实数根的个数有 4 个，则 的取值范围是 0ax a三、解答题：（本大题共 小题，共 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）67516、如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形，SD 垂直于底面 ABCD，SB= ，3（1）求证：BCSC；（2）设棱 SA 的中点为 M，求异面直线 DM 与 S
5、B 所成角的大小.主主主主主主主主主主主主主主主885 5558ABC11A BCDSM317、已知 中，内角 的对边分别为 ，且 ， ABC , cba,52osA103cosB（）求 的值；cos（）设 ，求 的面积10aAB18.在棱长为 2 的正方体 1DC中， E是棱 1的中点， F是侧面 DA1的中心(1)求三棱锥 EFDA1的体积；(2)求 与底面 B所成的角的正切值19、某产品原来的成本为 1000 元/件，售价为 1200 元/ 件，年 销售量为1 万件。由于市场饱和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查，若投入 x万元，每件产品的成本将降低 43x元，在售价
6、不变的情况下，年销售量将减少 x2万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为 )(xf（单位：万元） （纯利润=每件的利润年销售量-投入的成本）求 )(xf的函数解析式；求 的最大值，以及 )(xf取得最大值时 x的值20、设 f(x)2 x3 ax2 bx1 的导数为 f( x)，若函数 y f( x)的图像关于直线 x 对称，且 f(1)120.(1)求实数 a， b的值；(2)求函数 f(x)的极值21、设 f(x)lnx，g( x)f(x) f(x) (1)求 g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系；1x(3)求 a 的取值范围，
7、使得 g(a)g(x)0 成立1aA BCDA1 B1C1FED14参考答案一、选择题：（本大题共 9小题，每小题 5分，共 45分只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 M x|x3 ， N x|log2x1 ，则 M N（ D ）A B x|0 x3 C x|1 x3 D x|2 x32tan780 0的值为（ C ） 3 3以下说法错误的是( C ) A.命题“若 则 x=1”的逆否命题为“若 1,则 ”.20x x230xB. “ ”是“ ”的充分不必要条件.132C.若 为假命题,则 均为假命题.pqpq、D.若命题 p: R,使得 则 R,则 .x210xpx210x4.给定下列四
8、个命题：若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（ D ）A和 B和 C和 D和 5若对任意的 ，函数 满足 f(x+1)=-f(x),且 f(2013)=-2013,则 f(-1)=( D )Rx)(xfA.1 B.-1 C.2013 D.-20136.函数 的值域是( C )y22log)1(log（A） （B） （C） （D）,0,),1),1,(7函数 xfln的图象大致是（
9、A ）8如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，底面是边长为1ABC 2 的正三角形，侧棱长为 3，则 AA1与平面 所成的角为（ A ）1 ABC115A. B. C. D. 6432【解析】利用等积法求 B 到平面 的距离 。 ,求出 ，1CAd11CABBAV23d6,1sin9定义在 上的函数 的图像关于 对称，且当 时， （其中R()yfx(,0)0x()0fxf是 的导函数） ，若 ，则 的()fxf0.3.3logl3,afbf33logl9c,abc大小关系是( B )A. B. C. D. abcbcab二、填空题：（本大题共 6小题，每小题 分，共 30分.把答案填在答题卡中相
10、应的横线上）510.复数 在复平面上对应的点的坐标是 1i(1,)11.曲线 在点 处的切线方程为_.3yx1,3210xy12一个几何体的三视图及其尺寸（单位： cm）如图所示，则该几何体的侧面积为 80 .213.向量 、 满足| |1， | |2，且 与 的夹角为 ， a b a b a b 3则| +2 | a b 214.已知函数 14)(xaf是偶函数，则常数 a 的值为 21.15.已知函数 ，0,4)(,2)( xgxf（1） -2 ；)(fg（2）若方程 的实数根的个数有 4 个，则 的取值范围是0ax a51,)4三、解答题：（本大题共 小题，共 分，解答应写出文字说明、证
11、明过程或演算步骤 ）67516、如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形，SD 垂直于底面 ABCD，SB= ，3（1）求证：BCSC；（2）设棱 SA 的中点为 M，求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小.（1）证：底面 ABCD 是正方形，BCDC.SD底面 ABCD，SDBC.又 DCSD= D，BC平面 SDC.BCSC.（2）：如下图，取 AB 的中点 P，连结 MP、DP .在ABS 中，由中位线定理得 PMBS .DM 与 SB 所成的角即为DMP.又主主主主主主主主主主主主主主主885 5558A BCDSMA B C D P MS6PM2= ，DP 2= ，D
12、M 2= .DP 2=PM2+DM2.DMP=90.4354异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90.17、已知 中，内角 的对边分别为 ，且 ， ABC , cba,52osA103cosB（）求 的值；cos（）设 ，求 的面积10aAB解：（） 为 的内角，且， ，C,52cosA103cosB 521cossin2A4分013i22B 6分Acos BAsincos10532（）由（I）知， 7分451C ，由正弦定理 得 10分10aBbAasin510sinAa 12分ABCS 25102sinb18.在棱长为 2 的正方体 1DC中，E是棱 1D的中点， F是侧面 A的中心(1
13、)求三棱锥 A的体积；(2)求 F与底面 1CB所成的角的正切值解:（1） 311 FDAEAV （2）取 1的中点 G，所求的角的大小等于 GEF的大小，在 GEFRt中, 2tan，所以EF与底面 1CBA所成的角的正切值是 219、某产品原来的成本为 1000 元/件，售价为 1200 元/ 件，年销售量为 1 万件。由于市场饱和顾客要求提高，A BCDA1 B1C1FED17公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查，若投入 x万元，每件产品的成本将降低 43x元，在售价不变的情况下，年销售量将减少 x2万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为 )(xf（单位：
14、万元） （纯利润=每件的利润年销售量-投入的成本）求 的函数解析式；求 )(f的最大值，以及 )(xf取得最大值时 x的值解：依题意，产品升级后，每件的成本为 4310元，利润为 4320x元2 分年销售量为 x21万件3 分纯利润为 xf)21(430() 405.98x（万元）7 分 .5.98xf 5.1810 分，等号当且仅当 40x11 分，即 40x（万元）12 分。20、设 f(x)2 x3 ax2 bx1 的导数为 f( x)，若函数 y f( x)的图像关于直线 x 对称，且12f(1)0.(1)求实数 a， b的值；(2)求函数 f(x)的极值解:(1) f(x)2 x3
15、ax2 bx1， f( x)6 x22 ax b,由题意知 ， a3.2a26 12又 f(1)0，61 22 a b0，66 b0， b12. a3， b12.(2)由(1)知 a3， b12. f( x)6 x26 x126( x2 x2)6( x2)( x1)令 f( x)0，得 x12， x21.f( x)、 f(x)随 x变化如下表x (，2) 2 (2,1) 1 (1，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 当 x2 时， f(x)取得极大值 f(2)21，在 x1 处取得极小值 f(1)6.21、设 f(x)ln x， g(x) f(x) f( x)(1)求 g(x)的单
16、调区间和最小值；(2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系；1x(3)求 a的取值范围，使得 g(a) g(x)0成立8解： f(x)ln x， f( x) ， g(x)ln x . g( x) ，令 g( x)0 得 x1，1x 1x x 1x2当 x(0,1)时， g( x)0.(1，)是 g(x)的单调增区间因此当 x1 时 g(x)取极小值，且 x1 是唯一极值点，从而是最小值点所以 g(x)最小值为 g(1)1.(2)g( )ln x x， 令 h(x) g(x) g( )2ln x x ， h( x) ，1x 1x 1x x 1 2x2当 x1 时， h(1)0，即 g(x) g( )，1x当 x(0,1)(1，)时 h( x)h(1)0，即 g(x)g( )1x当 x(1，)时， h(x)g( )，当 x1 时， g(x) g( )，当 x(1，)时， g(x)0成立等价于 g(a)1 ，即 lna1，解得 0ae.1a 1a所以 a的取值范围是(0， e)
