1、初三（下）相似三角形总结第 1 页 共 7 页一、如何证明三角形相似例 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则AGD 。例 2、已知ABC 中，AB=AC，A=36 ，BD 是角平分线，求证：ABC BCD例 3：已知，如图，D 为ABC 内一点连结 ED、AD，以 BC 为边在ABC 外作CBE=ABD，BCE=BAD求证：DBEABC例 4、矩形 ABCD 中，BC=3AB，E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例 5
2、、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证：DF AC=BC FE例 6：已知：如图，在ABC 中，BAC=90 0，M 是 BC 的中点，DMBC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D。求证：（1）MA 2=MD ME；（2）DEA2例 7：如图ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交 AD 于 E，交 AB 于 F，求证：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例 8：已知：如图 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且 。求证：AEF=FBD31ADB例 9、在平行四
3、边形 ABCD 内，AR、BR、CP、DP 各为四角的平分线， 求证：SQAB，RP BC例 10、已知 A、C、E 和 B、 F、D 分别是O 的两边上的点，且 ABED，BCFE，求证：AFCDAB CDEFGAB CDEM12B G 初三（下）相似三角形总结第 2 页 共 7 页例 11、直角三角形 ABC 中，ACB=90，BCDE 是正方形，AE 交 BC 于 F，FGAC 交 AB 于 G，求证：FC=FG例 12、Rt ABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的高 AD 于 O，过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F，求证：AE=BF（答案）例 1 分析：关键在找
4、“角相等” ，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角G 外,由 BCAD 可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（对顶角） ，由 ABDG 可得4=G ，所以EGC EAB。例 2 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：A=36，ABC 是等腰三角形，ABC= C=72又 BD 平分ABC，则DBC=36 在ABC 和BCD 中，C 为公共角，A=DBC=36ABCBCD例 3 分析： 由已知条件ABD=CBE，DBC 公用。所以D
5、BE=ABC，要证的DBE 和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到CBEABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在CBE 和ABD 中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD = 即： =BCAEDABDBE 和ABC 中，CBE=ABD, DBC 公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE=ABC 且 = DBEABC例 4 分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形 E(2)如图：其中1
6、= 2，则 ADEABC 称为“相交线型 ”的相似三角形。 EE1242(3)如图：1=2，B= D，则ADEABC，称为 “旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF 与ECA解：设 AB=a，则 BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得 AE= ， 在EAF 与ECA 中，AEF 为公共角，且 所以EAFa2 2AECFECA例 5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及 DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过 D 点作 DKAB，交 BC 于 K，DKAB，DF ：FE=BK：BE又AD=BE，
7、DF ：FE=BK ：AD，而 BK：AD=BC ：AC即 DF：FE= BC ：AC ，DF AC=BC FE例 6 证明：（1）BAC=90 0，M 是 BC 的中点，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=90 0-B，1=D， 初三（下）相似三角形总结第 3 页 共 7 页2=2，MAEMDA， ，MA 2=MD ME，MAED（2）MAEMDA， ， MDEAD2评注：命题 1 如图，如果1=2，那么ABDACB，AB 2=AD AC。命题 2 如图，如果 AB2=AD AC，那么ABDACB，1=2。例 7 分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构
8、造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作 DGBA 交 CF 于 G，得AEFDEG， 。与结论DGAFE相比较，显然问题转化为证 。BFAED21FBDG21证明：过 D 点作 DGAB 交 FC 于 G 则AEFDEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似） （1）ED 为 BC 的中点，且 DGBFG 为 FC 的中点则 DG 为CBF 的中位线， （2）将（2）代入（1）得：BFDGFBAE21例 8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，
9、可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明：作 FGBD，垂足为 G。设 AB=AD=3k 则 BE=AF=k，AE=DF=2k，BD= k23ADB=45 0，FGD=90 0DFG=45 0DG=FG= BG= DF2k221BGFAE又A=FGB=90 0AEFGBF AEF=FBD例 9 分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明 SQAB，只需证明AR
10、：AS=BR ：DS 。证明：在ADS 和ARB 中。 DAR=RAB= DAB，DCP=PCB= ABCADS ABR 2121DSBRA但ADS CBQ，DS=BQ，则 ，SQAB，同理可证，RP BCBQRAS例 10 分析：要证明 AFCD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明 AFCD ，只要证明 即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。ODFC证明：ABED，BCFE ， 两式相乘可得：EBFODFCA例 11 分析：要证明 FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可
11、用比例线段来证明。要证明 FC=FG，首先要找出与 FC、FG 相关的比例线段，图中与 FC、FG 相关的比例式较多，则应选择与 FC、FG 都有联系的比作为过渡，最终必须得到 （“？”代表相同的线段或相等的线段） ，便?GC可完成。初三（下）相似三角形总结第 4 页 共 7 页证明： FGAC BE，ABEAGF 则有 而 FCDE AEDAFCAEFBG则有 又BE=DE （正方形的边长相等） ，即 GF=CF。AEFDCGCAFBDE DFGBE例 12 证明：CO 平分C，2=3，故 RtCAERtCDO， CO又 OFBC， 又 Rt ABDRt CAD， ，即 AE=BF 。OA一
12、、选择题1 （2009 年滨州）如图所示，给出下列条件： ； ； ； BACDACBAD2DB其中单独能够判定 的个数为（ ） A1 B2 C3 D4【关键词】三角形相似的判定.【答案】C2.（2009 年上海市)如图，已知 ，那么下列结论正确的是（ ）ABCDEF A B C DDFEBCAEF【关键词】平行线分线段成比例【答案】A3.(2009 成都)已知ABCDEF，且 AB：DE=1：2，则ABC 的面积与DEF 的面积之比为(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1【关键词】【答案】B4. (2009 年安顺)如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线
13、，则下面四个结论：（1）DE=1， （2）CDECAB， （3）CDE 的面积与 CAB 的面积之比为 1：4.其中正确的有：A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形【答案】D 5.（2009 重庆綦江）若ABCDEF, ABC 与DEF 的相似比为 2，则ABC 与DEF 的周长比为（ ）初三（下）相似三角形总结第 5 页 共 7 页A14 B12 C21 D 2【关键词】【答案】B6.（2009 年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ）A只有 1 个
14、B可以有 2 个 C有 2 个以上但有限 D有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B7.2009 年宁波市）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M 、N 分别是边 AB、AD 的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）AAOM 和AON 都是等边三角形B四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形C四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形D四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形DBCANMO【关键词】位似【答案】C8.（2009 年江苏省）如图，在 方格纸中，将图中的三角形甲平移到图5中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，
15、那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）A先向下平移 3 格，再向右平移 1 格B先向下平移 2 格，再向右平移 1 格C先向下平移 2 格，再向右平移 2 格D先向下平移 3 格，再向右平移 2 格【关键词】平移【答案】D9.(2009 年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为A12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm【关键词】黄金比【答案】A10. （2009 年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点 B 时，要使眼睛 O、准星 A、目标B 在同一条直线上，如图
16、 4 所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A，若 OA=0.2 米，OB=40 米，AA=0.0015 米，则小明射击到的点 B偏离目标点 B 的长度 BB为 （ ）初三（下）相似三角形总结第 6 页 共 7 页 A3 米 B0.3 米 C0.03 米 D0.2 米【关键词】相似三角形【答案】B11.（2009 恩施市）如图，在 中， 是 上一点， 于 ，且ABC 906BD， ， ACEAB，则 的长为（ ）21CDE，A2 B C D 43243【关键词】解直角三角形、相似【答案】B12.（2009 年甘肃白银）如图 3，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗
17、杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相距 22m，则旗杆的高为（ ）A12m B10m C8m D7m【关键词】相似三角形判定和性质【答案】A13.（2009 年孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板 AOB 绕 O 点顺时针旋转 90得AOB已知AOB =30，B=9 0，AB=1，则 B点的坐标为A 3()2B 3()2 C 13()2 D 1(,)2【关键词】旋转【答案】A14.（2009 年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感如图，某女士身高165cm，下半身长 x 与身
18、高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为A4cm B6cm C8cm D10cm初三（下）相似三角形总结第 7 页 共 7 页【关键词】黄金比【答案】C 15. （2009 年新疆）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）ABC【关键词】相似三角形的判定【答案】A16.（2009 年天津市）在 和 中， ，如果 的周长是 16，面ABC DEF 2ABECDFA， ， ABC积是 12，那么 的周长、面积依次为（ ）EFA8，3 B8，6 C4，3 D，6【关键词】相似三角形的性质【答案】A17.(2009 年牡丹江市)如图， 中， 于 ， 一定能确定 B 为直角三角形的条件的个数是（ ） 1， BA， 290， 345BCA ， CDBA1 B2 C3 D4A.
