1、联想“模型函数”破解抽象函数题抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数.由于此类试题既能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐.因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开.然而抽象来源于具体，抽象函数一般是由具体的函数抽象而得到的.如抽象函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)，可联想到 f(x)=kx(k0)，有 f(x1)=kx1 ，f(x 2)=kx2，f(x 1+x2)=k(x1+x2)=kx1+kx2=f(x1)+f(x2)，则 y=kx 就可以作为抽象函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)
2、的一个“模型函数”.分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某个“模型函数” ，并由“模型函数”的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质而使问题获解，是我们解决抽象函数问题的一般方法.有鉴于此，本文试图归纳一些中学阶段学过的常见“模型函数” ，通过联想“模型函数”来破解抽象函数题.一、中学阶段学过的常见“模型函数”抽象函数 模型函数f(x+y)=f(x)+f(y) y=kx（k 为常数）f(x+y)=f(x)+f(y)-a y=kx+a（k,a 为常数）f(x+y)=f(x)f(y) y=ax（a0 且 a1）f(xy)=f(x
3、)+f(y) y= (a0 且 a1)logf(xy)=f(x) f(y) y=xn（n 为常数）注：记忆方法：如和的函数等于函数的积对应的模型函数为指数函数，而积的函数等于函数的和对应的模型函数为对数函数等.二、联想“模型函数”破解抽象函数题例析【例 1】已知函数 f(x)对于任意实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)，且当 x0 时，f(x) 0，f(-1)=-2，求函数 f(x)在区间-2，1上的值域.联想：由 f(x+y)=f(x)+f(y)联想“模型函数”y=kx（k 为常数）为奇函数，k0 时为减函数，k0 时为增函数，从而猜测：f(x)为奇函数且 f(x)为 R 上
4、的单调增函数，且f(x)在2,1上有 f(x)4,2.解析：设 x1x 2且 x1，x 2R， 则 x2-x10， f(x 2x 1)0，f(x 2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)0，f(x 2)f(x 1),f(x)为 R 上的单调增函数.令 x=y=0,则 f(0)=0,令 y=-x，则 f(-x)=-f(x)，f(x)为 R 上的奇函数.f(-1)=-f(1)=-2 ， f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4，-4f(x)2(x-2,1)，故 f(x)在-2,1上的值域为-4，2注意：由 f(x+y)=f
5、(x)+f(y)断定 f(x)=kx（k 为常数）是错误的，犯了用特殊代替一般的错误（解客观题还是可以）.我们只能借助 f(x)=kx（k 为常数）来猜测 f(x)的性质，为解题指明方向，至于 f(x)的性质的得出，我们还是要由相关定义来严格证明，决不能含含糊糊.【例 2】函数 对任意 、 R，都有 ，并且当 时，)(xfab1)()(bfabf 0x.（1）求证： 是 R 上的增函数；)(xf )(f（2）若 ，解不等式 .54323m联想：由 联想“模型函数”y=kx+1（k 为常数） ，由条件1)()(bfabf易知 k0，从而猜测：f(x)为 R 上的单调增函数，解析：（1）证明：设
6、、 R ，且 ，则 ，1x22x01x ，)(2xf.1 )()(12ff )()(1fff 01)2xf即 ， 是 R 上的增函数.（2） ， .)4(f 2f532不等式 即为 ，3)32m)(fm 是 R 上的增函数，于是 ，解之得 .xf 41m【例 3】已知函数 f(x)对于一切实数 x、y 满足 f(0)0，f(x+y)=f(x)f(y)，且当 x0时，f(x)1， （1）当 x0 时，求 f(x)的取值范围；（2）判断 f(x)在 R 上的单调性联想：由 f(x+y)=f(x)f(y)联想“模型函数”y=a x（a0,a1） ，当 a1 时为单调增函数，且 x0 时，y1，x0
7、时，0y1；0a1 时为单调减函数，且 x0 时，y1，x0 时，0y1，从而猜测： f(x)为减函数，且当 x0 时，0f(x)1.解析：（1）因为对于一切 x、yR，f(x+y)=f(x)f(y)且 f(0)0，令 x=y=0，则 f(0)=1，现设 x0，则-x0，f(-x) 1，又 f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1， f(-x)= 1，0f(x)1)(xf（2）设 x1、x 2R ，且 x1x 2，则 x1-x20，f(x 1-x2) 1，则 1)()()( 2xffff f(x 1)f(x 2)， f(x)在 R 上为单调减函数【例 4】设函数 定义在 R 上，对任意实
8、数 ， ，恒有xymn，且当 时， .(nfmnf0)(xf（1）求证： ，且当 时， ；)01（2）求证： 在 R 上递减；（3）设集合 ，)()|,(2fyfxfyA，aafyxB,1|),(若 ，求 的取值范围.（1）证明：在 中，令 ， ，得 ，)()(nfmn10n)0(1)(ff ， .1)0f0f设 ，则 ，令 ， ，代入条件式有 ，xxxx而 ， .(f 1)()ff（2）证明：设 ，则 ， .2101)(2xf令 ， ，则 代入条件式，xmxn12x得 ，即 ， ，)()(1212xfxf1)(02xf )(12xff 在 R 上单调递减.)（3）解：由 ，)()(fyff)
9、(2fyf又由（2）知 为 R 上的递减， 点集 表示圆 的内部.x2A2yx由 得 点集 表示直线 .12(yaf 0aB0a ，直线 与圆 相离或相切.BA12x于是 .23【例 5】已知函数 f(x)定义域为(0,+)且单调递增，满足 f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y),（1）证明 f(1)=0；（2）求 f(16)；（3）若 f(x)+f(x-3)1，求 x 的范围；（4）试证 f(xn)=nf(x)（nN）.联想：由 f(xy)=f(x)+f(y)联想“模型函数”y= （a0，a0）, 从而猜测：xlogf(x)有 f(1)=0，f(16)=2，解析：（1）令 x=1，y=
10、4，则 f(4)=f(14)=f(1)+f(4)，f(1)=0；（2）f(16)=f(44)=f(4)+f(4)=2，（3）f(x)+f(x-3)=fx(x-3)1=f(4)，f(x)在（0，+）上单调递增 x(x-3)4 -1x4x-30 x3 ，即 3x4， x（3，4x0（4）f(xy)=f(x)+f(y)，f(x n)=f(xxx)=nf(x)（nN）n 个 x【例 6】已知函数 f(x)对于一切正实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)f(y)且 x1 时，f(x)1，f(2)= .（1）求证：f(x)0；（2）求证：f(x -1)=f(x)-1；9（3）求证：f(x)在（0，+）上
11、为单调减函数；（4）若 f(m)=9，试求 m 的值.联想：由 f(xy)=f(x)f(y)联想“模型函数”y=x a，从而猜测：f(x)0，在（0，+）上为单调减函数，解析：（1）对任意 x0，f(x)=f( )=f( )20，x假设存在 y0，使 f(y)=0，则对任意 x0，有 f(x)=f( y)=f( )f(y)=0，yx这与已知矛盾，故对任意 x0，均有 f(x)0；（2）f(x)=f(x1)=f(x)f(1)，f(x)0, f(1)=1，f(x)f( )=f( x)=f(1)=1， f(x -1)=f(x)-1；x1（3）设 x1、x 2(0,+)，且 x1x 2，则 1，f(
12、)1，2xf(x 2)=f( x1)=f( )f(x1)f(x 1)， 即 f(x2)f(x 1)，2f(x)在（0，+）上为单调减函数.（4）f(2)= ，f(m)=9 f(2)f(m)=1，f(2m)=1=f(1)，91而 f(x)在(0，+)是单调减函数，2m=1，即 m= .21【练习】1函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是_.yfx()(， 1yfxlog()2分析：因为 相当于 中的 x，所以 ，log2f) 1解得 或 .22已知 的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足 ，求证：f() ffy()()是偶函数. fx分析：在 中，令 ，得yfxy()1f110令 ，得1ff
13、f()()0于是 ,故 是偶函数.f x x3 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为 5，那么 在区间37， fx()上是( )7，A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为5C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为4已知 的定义域为 ，且 对一切正实数 x，y 都成立，若fx()Rfxyfy()()，则 _.f82分析：在条件 中，令 ，得yf)4，f()()44f()2又令 ，得 ，x(2f()15已知 是定义在 R 上的函数，且满足： ，xxf()，求 的值.(1)209f(0)f分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 是周期函数，显然 ，于是f()，fxfx()()1fx
14、ffxff)()()()()41211所以 ,故 是以 8 为周期的周期函数，从而ffxf()()8f209251(2096已知函数 是定义域为 R 的偶函数， 时， 是增函数，若 ，f xfx()x10，且 ，则 的大小关系是_.x|1ff)，分析： 且 ，x20， |12121又 时， 是增函数，x0fx()fxf()(21是偶函数， ,故f()f)11fx)27已知函数 对一切实数 x 都满足 ，并且 有三个实根，f(0则这三个实根之和是_.分析：由 知直线 是函数 图象的对称轴.fxf()()1f()又 有三个实根，由对称性知 必是方程的一个根，其余两根 关01 x23，于直线 对称，
15、所以 ，故 .x232x1238已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1, 且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2008)=_.解:由 g(x)=f(x)+1-x,得 f(x)=g(x)+x-1.所以 g(x+5)+(x+5)-1g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1 g(x)+(x-1)+1即 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x).所以 g(x)g(x+5) g(x+4)g(x+3)g(x+2) g(x+1),故 g(x)=g(x+1)又 g(1)=1,故 g(2008)=1.9.
16、若函数 是偶函数，则 的图象关于直线_对称.yfx()2yfx()分析： 的图象 的图象，而 是偶函数，f右 移 个 单 位左 移 个 单 位2f2yfx()2对称轴是 ，故 的对称轴是 .x0yfx()x10已知函数 定义在实数集上，且对任意 均有R,，又对任意的 x0,都有 f(x)0,yfxyfkx都有 f(x)0,都有 f(x)0 时，f(x)0，f(x 2-x1)f(x2)， f(x)在(-,+)上是减函数， f(x)在-2008,2008上有最大值和最小值f(x)min=f(2008)=f(2006)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=1004f(2)= -1004，f(x)max=f(-2008)= -f(2008)=1004
