1、1万有引力定律专题万有引力定律与牛顿三定律，并称经典力学四大定律，可见万有引力定律的重要性。万有引力定律定律已成为高考和各地模拟试卷命题的热点。此部分内容在考纲中列为级要求。有关题目立意越来越新，但解题涉及的知识，难度不大，规律性较强。特别是随着我国载人飞船升空和对空间研究的深入，高考对这部分内容的考查将会越来越强。一、对万有定律的理解1万有引力定律发现的思路、方法开普勒解决了行星绕太阳在椭圆轨道上运行的规律，但没能揭示出行星按此规律运动的原因英国物理学家牛顿(公元 16421727)对该问题进行了艰苦的探索，取得了重大突破首先，牛顿论证了行星的运行必定受到一种指向太阳的引力其次，牛顿进一步论
2、证了行星沿椭圆轨道运行时受到太阳的引力，与它们的距离的二次方成反比为了在中学阶段较简便地说明推理过程，课本中是将椭圆轨道简化为圆形轨道论证的 第三，牛顿从物体间作用的相互性出发，大胆假设并实验验证了行星受太阳的引力亦跟太阳的质量成正比因此得出：太阳对行星的行力跟两者质量之积成正比最后，牛顿做了著名的“月一地”检验，将引力合理推广到宇宙中任何两物体，使万有引力规律赋予普遍性2万有引力定律的检验牛顿通过对月球运动的验证，得出万有引力定律，开始时还只能是一个假设，在其后的一百多年问，由于不断被实践所证实，才真正成为一种理论其中，最有效的实验验证有以下四方面地球形状的预测牛顿根据引力理论计算后断定，地
3、球的赤道部分应该隆起，形状像个橘子而笛卡尔根据旋涡假设作出的预言，地球应该是两极伸长的扁球体，像个柠檬1735 年，法国科学院派出两个测量队分赴亦道地区的秘鲁(纬度 20)和高纬度处的拉普兰德(66)，分别测得两地 1纬度之长为：赤道处是 110600m，两极处是111900m后来，又测得法国附近纬度 1的长度和地球的扁率大地测量基本证实了牛顿的预言，从此，这场“橘子与柠檬”之争才得以平息哈雷彗星的预报英国天文学家哈雷通过对彗星轨道的对照后认为，1682 年出现的大彗星与 1607 年、1531 年出现的大彗星实际上是同一颗彗星，并根据万有引力算出这个彗星的轨道，其周期是 76 年哈雷预言，1
4、758 年这颗彗星将再次光临地球于是，预报彗星的回归又一次作为对牛顿引力理论的严峻考验后来，彗星按时回归，成为当时破天荒的奇观，牛顿理论又一次被得到证实海王星的发现万有引力常量的测定由此可见，一个新的学说决不是一蹴而就的，也只有通过反复的验证，才能被人们所普遍接受3万有引力定律的适用条件2例 1、如下图所示，在半径 R20cm、质量 M168kg 的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为要，并且跟铜球相切，在铜球外有一质量 m1kg、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距是d2m，试求它们之间的相互吸引力解： 完整的铜球跟小球 m 之间的
5、相互吸引力为 2dGF这个力 F 是铜球 M 的所有质点和小球 m 的所有质点之间引力的总合力，它应该等于被挖掉球穴后的剩余部分与半径为娄的铜球对小球 m 的吸引力 F=F 1+F2式中 F1是挖掉球穴后的剩余部分对 m 的吸引力，F 2是半径为 R2 的小铜球对 m 的吸引力。因为 ，22)(8RdG所以挖掉球穴后的剩余部分对小球的引力为 F1FF 22.4110 9 N例 2、深入地球内部时物体所受的引力假设地球为正球体，各处密度均匀计算它对球外物体的引力，可把整个质量集中于球心如果物体深入地球内部，如何计算它所受的引力?如右图所示，设一个质量为 m 的物体(可视为质点)在地层内离地心为
6、r 的 A 处为了计算地球对它的引力，把地球分成许多薄层设过 A 点的对顶锥面上两小块体积分别为V 1、V 2当V 1和V 2很小时，可以近似看成圆台已知圆台的体积公式)(312121RHV式中 R1和 R2分别是上、下两底面的半径当圆台很小很薄时，且 H a，H b 时，R 1R 2R那么HR 2 根据万有引力定律2211 sinsinGmmGF22 Hbb所以 ，即两小块体积的物体对 A 处质点的引力大小相等，且方向相反，它1们的合力为零当把地球分成许多薄层后，可以看到，位于 A 点以外的这一圈地层(右图中用斜线表示)对物体的引力互相平衡，相当于对 A 处物体不产生引力，对 A 处物体的引
7、力完全由半径为 r 的这部分球体产生引力大小为 mGrrmMGFr 2232443即与离地心的距离成正比当物体位于球心时，r=0，则 FrO它完全不受地球的引力所以，当一个质量为 m 的物体从球心(r0)逐渐移到球外时，它所受地球的引力 F 随r 的变化关系如右图所示即先随 r 的增大正比例地增大；后随 r 的增大，按平方反比规律减小；当 rR 0(地球半径)时，引力 200RMmG4注意领会卡文迪许实验设计的巧妙方法由万有引力定律表达式 可知， ，要测定引力常量 G，只需测21rF21Fr出两物体 m1、m 2间距离 r 及它们间万有引力 F 即可由于一般物体间的万有引力 F 非常小，很难用
8、实验的方法显示并测量出来，所以在万有引力定律发现后的百余年间，一直没有测出引力常量的准确数值卡文迪许巧妙的扭秤实验通过多次“放大”的办法解决了这一问题图是卡文迪许实验装置的俯视图首先，图中固定两个小球 m 的 r 形架，可使 m、m之间微小的万有引力产生较大的力矩，使金属丝产生一定角度的偏转臼，这是一次“放大”效应其次，为了使金属丝的微小形变加以“放大” ，卡文迪许用从 1 发出的光线射到平面镜M 上，在平面镜偏转 角时，反射光线偏转 2 角，可以得出光点在刻度尺上移动的弧长s2R，增大小平面镜 M 到刻度尺的距离 R，光点在刻度尺上移动的弧长 S 就相应增大，这又是一次“放大”效应由于多次巧
9、妙“放大” ，才使微小的万有引力显示并测量出来除“放大法”外，物理上观察实验效果的方法，还包括“转换法” 、 “对比法”等深刻认识卡文迪许实验的意义(1)卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性(2)第一次测出了引力常量，使万有定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值(3)标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代(4)表明：任何规律的发现总是经过理论上的推理和实验上的反复验证才能完成5物体在地面上所受的引力与重力的区别和联系地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因但重力又不完全等于引力这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀
10、速圆周运动，这就需要向心力这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是，式中的 r 是物体与地轴的距离， 是地球自转的角速2rmf度这个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力 F，它是引力 F 的一个分力如右图，引力 F 的另一个分力才是物体的重力 mg4在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度 相同，而圆周的半径 r 不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)纬度为 处的物体随地球自转所需的向心力(R 为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极cos2Rmf处 Rcos0，f0作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差
11、即 在两极，引力就是重力但由于地.2RMmGg球的角速度很小，仅为 105 rads 数量级，所以 mg 与 F 的差别并不很大在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力 这是一个很有.Rg2用的结论从图中还可以看出重力 mg 一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力 mg 才能向地心同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度 g 的数值，还随着物体离地面高度的增加而减小若不考虑地球自转，地球表面处有 ，可以得出地球表面处的重力加速度.2RMmGg.2RMGg在距地表高度为 h 的高空处，万有引力引起的重力加速度为 g，由牛顿第二定律可得：即2)(mg hRGg22)
12、()(如果在 h处，则 gg4在月球轨道处，由于 r60，所以重力加速度g g3600重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用例 3、某行星自转一周所需时间为地球上的 6h，在这行星上用弹簧秤测某物体的重量，在该行量赤道上称得物重是两极时测得读数的 90，已知万有引力恒量G6.6710 11 Nm2kg 2，若该行星能看做球体，则它的平均密度为多少?解析在两极，由万有引力定律得 .2RMmGg在赤道 RTmgRM224依题意 mg=O.9mg 由式和球体积公式联立解得 32/10.31.0mkgGT二、万有引力定律在天文学上的应用1 万有引力定律提供天体做圆周运动的向心力5人造地球卫
13、星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系由 得 r 越大，v 越小rvmMG22G由 得 r 越大， 越小223M由 得 r 越大，T 越大rTmrG224G24例 4、土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度 a 与该 l 层到土星中心的距离 R 之间的关系来判断： ( )A若 vR，则该层是土星的一部分； B若 v2R，则该层是土星的卫星群C若 vR，则该层是土星的一部分 D若 v2R，则该层是土星的卫星群求天体质量、密度由 即可求得rTmrMG22434R注意天体半径与卫星轨迹半径区别人造地球卫星的离心向心问题例 5、在地球大气层外有很多太空垃
14、圾绕地球做匀速圆周运动，每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度开始增加，从而使得部分垃圾进入大气层，开始做靠近地球的向心运动，产生这一结果的原因是 ( C )A由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心运动B由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心运动C由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动D地球引力提供了太空垃圾做圆周运动所需的向心力，故产生向心运动的结果与空气阻力无关例 6、宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站 ( A )A只能从较低轨道上加速B只能从较高轨道上加速C只能从同空间站同一高度轨道上加速D无论在什么轨道上，只要加速都行2 人造地球卫星宇宙速度第一宇宙速
15、度，是地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星在近地轨道上运smv/109.7316行时的速度由 得mgRvMG22 smgRGMv/109.73例 7、1990 年 3 月，紫金山天文台将 1965 年 9 月 20 日发现的第 2752 号小行星命名为吴健雄星，其直径为 32 km，如该小行星的密度和地球相同，则其第一宇宙速度为ms，已知地球半径=6400km，地球的第一宇宙速度为 8 kms （20ms）第二宇宙速度的计算如果人造卫星进入地面附近的轨道速度等于或大于 1l.2kms，就会脱离地球的引力，这个速度称为第二宇宙速度为了用初等数学方法计算第二宇宙速度，设想从地球表面至无穷远处的距离
16、分成无数小段 ab、bc、，等分点对应的半径为 r1、r 2，如下图所示由于每一小段 ab、bc、cd极小，这一小段上的引力可以认为不变因此把卫星从地表 a 送到 b 时，外力克服引力做功)1()()(1121 rRGMmrRrRMmGW同理，卫星从地表移到无穷远过程中，各小段上外力做的功分别为 )(212r33m )(1nnrGMW把卫星送至无穷远处所做的总功 RMmGWWn321为了挣脱地球的引力卫星必须具有的动能为 mv所以 skgRGMv/2.12第三宇宙速度的推算脱离太阳引力的速度称为第三宇宙速度因为地球绕太阳运行的速度为 v 地30km/s，根据推导第二宇宙速度得到的脱离引力束缚的速度等于在引力作用下环绕速度的 倍，即2 skmskv/4.2/302地7因为人造天体是在地球上，所以只要沿地球运动轨道的方向增加v12.4kms 即可，即需增加动能 所以人造天体需具有的总能量为2)(1vm2321vE得第三宇宙速度 skv/7.63
