1、 图1P 3P2P1PCBA图2 CBAP7P6P5P4P3P2P P1初中数学论文探索几何中平移旋转之奥妙内容摘要：在数学学习中培养探索能力，提高创新能力。关键词：平移 旋转 探究大千世界五彩缤纷，奥妙无穷，数学来自于生活，来自于大自然，与它们紧紧连在一起，所以说要探索大自然，可以从探索数学开始，培养我们的观察、操作、猜想、推理、归纳等能力。下面以几何中的平移、旋转为例来寻找数学的奥妙。例、如图 1，ABC 的周长为 2006cm，一只小猫位于上的中点。小猫首先从点 P 沿平行于 BC 的方向跑到 AC 边上的一点 P1，再由点 P1 沿平行于 AB 的方向跑到 BC 边上一点 P2， 再由
2、点 P2 沿平行于 AC 的方向跑到 AB 边上一点 P3，问点 P3 与点 P 是否是同一点 ?若是小猫跑了多少路程? 分析：本例我们应用三角形的中位线性质和它的逆定理很容易找到答案。即点 P3 与点 P 同一点，且 PP1+P1P2+P2P=1/2（BC+AB+AC ）=1003cm探索：若起初小猫在 AB 边上的任意一点位置上（不是中点） ，那么点 P3 点 P 是否同一点？若不是，能否让小猫继续由 P3 沿平行于 BC的方向跑到 AC 边上一点 P4。此后可按上述规律一直跑下去，问小猫能否返回点 P?如果能，那么小猫至少要跑多少路程? 分析：（如图 2）本题先通过画图，再观察发现 P3
3、与 P 不重合。若再继续画图，易猜想点 P6 能与点 P 重合，并运用已知中的众多平行线不难想到用平行四边形的性质和全等三角形的知识去证明我们的猜想。证明：点 P 不为 AB 的中点，则由小猫跑的规律可知，P1P2/AB，P 2P3/CA，P 3P4/BC，P 4P5/AB，P 5P6/CA，P 6P7/BC。P3P2B 可由AP 1P 通过平移得到，P 4CP5 可由P 3P2B 通过平移得到，AP7P6 可由 P4CP5 通过平移得到。AP1PP3P2BP4CP5AP7P6故 AP=AP6，AP 1=AP7即 P6 与 P 重合，P 7 与 P1 重合。小猫最多经过 6 次转向，就回到了点
4、 P，此时小猫跑的路程为PP1+P1P2+P2P3+P3P4+P4P5+P5P=BP2+AP3+AP1+CP2+BP3+CP1=AB+BC+CA=2006cm例 2如图（3）点 C 为线段 AB 上一点，ACM、CBN 是等边三角形，直线AN、CM 交于点 E，直线 CN、BM 交于点F，连结 EF。（1） AN 与 BM 是否相等？（2） 判断CEF 是什么特殊三角形？分析：本题是几何中的一个常见的范例，通过ACN MCB 易得 AN=BN.从而又可以证得NCEBCF 。得 CE=CF，即CEF 是等腰三角形。又ECF=180。 -ACM-BCN=60。 ，故 CEF 为等边三角形。探索：如
5、图 4，将CAN 绕点 C 按逆时针方向旋转 90。 ，其他条件不变。判断上面(1)(2)的结论是否仍然成立。分析：1、本题通过画图，然后与原图形进行对比，容易得CAN 与BCM 仍然全等，故得AN=BM 成立。2、在 BM 上截取 BE=NE易得BCE NCE，CE= CE 且 BCE NCE，又MCF=NCE（对顶角相等） ，从而得 BCE MCF。若 CF= CE，得CEF =CEF。而 CFECMF MCF， CEFBCE CBE ，得 CMF CBE。故得 CM=CB。从而知道，当等边ACM 与等边 CBN 边长相等时， CEF 为等腰三角形，反图3NMFEC BAFEE图4NMCB
6、AGHFE图5(B)DCAODCBA图6FE (B)DCAODCBA之CEF 不是等腰三角形。（另：本题如果ACM 绕点 C 旋转其他角度，是否有类似的结论，请读者尝试。 ）例 3、如图 5，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 O是正方形 ABCD的一个顶点。如果两个正方形的边长相等，那么正方形 ABCD绕 O 点无论怎么转动，两个正方形重叠部分的面积是否改变？分析：因为正方形 ABCD的位置是绕点 O 旋转而成的，所以我们先将正方形 ABCD旋转到特殊的位置。（如图 6）即 AB/AB 时，不难得到重叠部分的面积为正方形ABCD 的 1/4。再由图 5 与图 6 进行比较，猜想可得重
7、叠部分的面积可能也为正方形 ABCD 的 1/4。不难想到作辅助线OGAB，OHBC，垂足为 G、H。 （如图 5）易得OGEOHF。故可得重叠部分的面积也为正方形 ABCD 的 1/4。尝试：如图 7，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将一块半径是够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 上，并将纸板绕 O 点旋转。试说明：正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值。 （由读者自己完成）亲爱的读者，通过上面的例题的探究，我们能得到些什么启发呢？数学作为一种普通使用的技术。即是思维科学，也是实验科学，所以我们在发现探究的过程中完成对平移、旋转这一图形变化从直观到抽象，从感性认识到理论认识的转变，发展我们的直观想象能力和创新能力。这样能开阔思路，提高思维能力。从学习数学的角度中真正实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。参考文献：（1） 八年级上数学教学案例 （西泠印社出版社）（2） 中国华罗庚学校数学课本练习与验收 （吉林教育出版社）（3） 八年级数学素质目标检测 （西藏人民出版社）
