1、竞赛专题讲座 08几何变换【竞赛知识点拨】一、 平移变换1 定义 设 是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得 = ，则 T 叫做沿有向线段 的平移变换。记为 X X，图形 F F 。2 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。二、 轴对称变换1 定义 设 l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得 X 与 X关于直线 l 对称，则 S 叫做以 l 为对称轴的轴对称变换。记为X X，图形 F F 。
2、2 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、 旋转变换1 定义 设 是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把点 O 仍变到O（不动点），而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得 OX=OX，且XOX=，则 R 叫做绕中心 O，旋转角为 的旋转变换。记为 X X，图形 F F 。其中 0 时，为逆时针方向。2 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。四、 位似变换1 定义 设 O 是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到X，使得 =k ，则 H
3、 叫做以 O 为位似中心，k 为位似比的位似变换。记为 XX，图形 F F 。其中 k0 时，X在射线 OX 上，此时的位似变换叫做外位似；k2AD。【分析】设 P P，P P。则 RP=RP，PQ=PQ，AP=AP=AP。PQ+QR+RP= PQ+QR+RP。又A90，PAP+PAP=2A180，A 点在线段 PP上或在凸四边形PRQP的内部。PQ+QR+RPAP+AP=2AP2AD。PQ+QR+RP2AD。【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。【例
4、7】 以ABC 的边 AB、AC 为斜边分别向外作等腰直角三角形 APB、AQC，M 是 BC 的中点。求证：MP=MQ，MPMQ。【分析】延长 BP 到 E，使 PE=BP，延长 CQ 到 F， 使 QF=CQ，则BAE、CAF 都是等腰三角形。显然：E B，C F，EC=BF，ECBF。而 PM EC，MQ BF，MP=MQ，MPMQ。【例 8】 已知 O 是ABC 内一点，AOB=BOC=COA=120；P 是ABC 内任一点，求证：PA+PB+PCOA+OB+OC。（O 为费马点）【分析】将 C C，O O， P P，连结 OO、PP。则B OO、B PP都是正三角形。OO=OB，PP
5、 =PB。显然BOCBOC，BPCBPC。由于BOC=BOC=120=180-BOO，A、O、O、C四点共线。AP+PP+PCAC=AO+OO+OC，即 PA+PB+PCOA+OB+OC。【例 9】O 与ABC 的三边 BC、CA、AB 分别交于点A1、A 2、B 1、B 2、C 1、C 2，过上述六点分别作所在边的垂线a1、a 2、b 1、b 2、，设 a1、b 2、c 1三线相交于一点 D。求证：a 2、b 1、c 2三线也相交于一点。【分析】a 1、a 2关于圆心 O 成中心对称，a 1 a2。同理，b 1 b2，c 1 c2。a 1、b 2、c 1的公共点 D 在变换 R（O，180）
6、下的像 D也是像 a2、b 1、c 2的公共点，即a2、b 1、c 2三线也相交于一点。【例 10】AD 是ABC 的外接圆 O 的直径，过 D 作O 的切线交 BC 于 P，连结并延长 PO 分别交 AB、AC 于 M、N。求证：OM=ON。【分析】设 O O，N N，而 M B，M、O、N 三点共线，B、O、N三点共线，且 。取 BC 中点 G，连结 OG、OG、DG、DB。OGP=ODP=90，P、D、G、O 四点共圆。ODG=OPG，而由 MNBN有OPG=OBG，ODG=OBG，O、B、D、G 四点共圆。OGB=ODB。而ODB=ACB，OGB=ACB，OGAC，而 G 是 BC 的中点，O是 BN的中点，OB= O N，OM=ON。
