1、第 19 讲 三角函数基础复习一、选择题1.将函数 的图象按向量 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象sin(0)yx,06a所对应函数的解析式是A Bi()6sin()yxC Dsn23yx23解：将函数 的图象按向量 平移，i(0),06a平移后的图象所对应的解析式为 ，由图象知， ，所以 ，因此选sin()yx73()1262C。2.设 ，对于函数 ，下列结论正确的是0ai(0)safxA有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值 C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值解：令 ，则函数 的值域为函数 的值域，sin,(1txtin()sxf1,(0ayt又 ，所以 是一个减函减
2、，故选 B。0a,(0ayt3.函数 y=1+cosx的图象（A）关于 x轴对称 （B）关于 y轴对称（C）关于原点对称 （D）关于直线 x= 对称2解：函数 y=1+cos是偶函数，故选 B4.已知 ( , )，sin = ,则 tan( )等于2534A. B.7 C. D.771 71解：由 则 ， = ，选 A.(,)sin,3tatan()tan15.已知函数 f(x)=2sin x( 0)在区间 , 上的最小值是2，则 的最小值等于4A. B. C.2 D.3 3223解：函数 在区间 上的最小值是 ，则 x 的取值范围是 ，()sin(0)fx,32,34 或 ， 的最小值等于
3、，选 B.32 346.若 的内角 满足 ，则ABC2siAsincoAA. B C D1531535353解：由 sin2A2sinAcosA0，可知 A这锐角，所以 sinAcosA0，又 ，25(sinco)1sin3AA故选 A7.设点 P 是函数 的图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值 ，xfsin)( 4则 的最小正周期是)(xfA2 B . C. D. 24解析：设点 P 是函数 的图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小xfsin)(值 ， 最小正周期为 ，选 B.48.已知 ，函数 为奇函数，则 aRaRaf|
4、,si)(（A）0 （B）1 （C）1 （D）19为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点xy),63in2 Rxy,sin2（A）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）31（B）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）（C）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）6（D）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）解：先将 的图象向左平移 个单位长度，Rxy,sin26得到函数 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）()
5、6得到函数 的图像，选择 C。xy,3si10.函数 的最小正周期为（ ）4n21 24解：T ，故选 B211.已知函数 ,则 的值域是11()sinco)sinco2fxxx()f(A) (B) (C) (D) ,21,解析： cs(incos)11()sinco)sino22xxfxx即等价于 ，故选择答案 C。mi,12.函数 的最小正周期是（ ）si3y 224解： ，选 D 41T13.函数 的单调增区间为tan4fxA B,2kkZ ,1,kkZC D3,4 3,4解：函数 的单调增区间满足 ，tanfx 22kxk 单调增区间为 ，选 C.3,4kZ14.函数 ysin2xco
6、s2x 的最小正周期是（A）2 （B ）4 （C ） （D）4 2解析: 所以最小正周期为 ,故选 D1sinco2sinxT考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式 本题比较容易.15.若 f(sinx)3 cos2x，则 f(cosx)（A）3cos2 x （B）3sin2x （C）3cos2x （D ）3sin2 x解析: 22(sincos2(1sin)si所以 ,因此 故选 C2)f)co(co1)cos2f本题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般16.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A） （B） sin6yxsin26yx（C） （D）co
7、43co解析：从图象看出， T= ，所以函数的最小正周期为 ，函数应为 y= 向左平移了1264 sin2x个单位，即 = ，选 D. 6sin()yxsi()cs(2)cos()336xx17.已知函数 （ 、 为常数， ， ）在 处取得最小值，则函数bafo)ab0aR4是（ ）43(xfyA偶函数且它的图象关于点 对称 B偶函数且它的图象关于点 对称)0,( )0,23(C奇函数且它的图象关于点 对称 D奇函数且它的图象关于点 对称23解析：函数 、 为常数, ， 的周期为()sincofxabx(a0,)axR2()sin()fxabx2，若函数在 处取得最小值，不妨设 ，则函数 =4
8、3()sin4f34y，所以 是奇函数且它的图象关于点 对称，选 D.3sin()si34y(,0)18.函数 y= sin2x+4sin x,x 的值域是212R(A)- , (B)- , (C) (D) 21323121,2 21,2解析： ，故选择 C。14sincossinsiin xxxy19.若 ， , ，则 的值等于,(0)23co()21i()2co()（A） （B） （C） （D）313解：由 ，则 ， ，又 ,(0,)242 （ ， ） 24 （ ， ）， ，所以 ，3cos(1sin()6 6 解得 ，所以 ，故选 B co2二、填空题1.已知函数 在区间 上的最小值是
9、，则 的最小值是。()2sin(0)fx,342解：函数 在区间 上的最小值是 ，则 x 的取值范围是 ，, ,34 或 ， 的最小值等于 .32 34 22.若 是偶函数,则有序实数对( )可以是 .(注:只()sin()sin()0fxabxab,ab要填满足 的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).0解析ab0， 是偶函数，2()i)i()(sincos)(incos)42f xx只要 a+b=0 即可，可以取 a=1，b=1.3.若 是偶函数，则 a= .)sin(3)sin()(xxf解析： 是偶函数，取2(sincos)3(sincos)42xxa=3，可得 为偶函数。()2
10、cosfxx4. 40s7tan10i3cos20t解:0000cosi2sincco213ncs4i0000000 0cos2(13sin)2cos4i13)css2cosin4ics25.cos43cos77+sin43cos167的值为 解析：cos43cos77+sin43cos167= = cos437sin437cos1206.如果 ，且 是第四象限的角，那么 cos51 )2(解：已知 ；26()sin(1cs257.函数 的最小正周期是 _。sinyx解：函数 = sin2x，它的最小正周期是 。co8.已知 ，sin( )= sin 则 cos =_.,43,53,13244
11、解： ， ，,sin,sin()(,2)， ， ，3(,)424co()55co13则 =cosss()()sin()i()44= 516()39.已知 ， ，则 。2sintan解：由 ， cos ，所以 255tan三、解答题1.已知 310,tancot43（）求 的值；（）求 的值。t2 25sin8icos18解：()由 得 ，即 ，又10tancot32ta10t31tan3ta3或，所以 为所求。34（） =2 25si8icso8n-cos1+cos54i822= = = 。5cos8in1cos1628sincos8tan622522.已知 40,i5（）求 的值；（）求 的
12、值。2sncos5tan()4解：()由 ，得 ，所以 。40,i53cos2siincos2isinco2031（） ， 。tancs3t1tan()a73.已知函数 ，12i4()oxfx（）求 的定义域； （）设 是第四象限的角，且 ，求 的值.4tan3()f解：（1）依题意，有 cosx0，解得 xk ，2即 的定义域为x|xR，且 xk ，kZ()fx（2） 2sinx2cosx 2sin 2cos2sin()4()cof()f由 是第四象限的角，且 可得 sin ，cos , 2sin2costa3453()f 1454.已知函数 f(x)= cs2in1() 求 f(x)的定义
13、域； ()设 是第四象限的角，且 tan = ，求 f( )的值. 3解：() 由 cosx0 得 xk + （kZ),故 f(x)的定义域为|x|xk+ ,kZ.22()因为 tan= ,且 是第四象限的角,所以 sin= ,cos= ,3454故 f()= = = = .cosin1sinco31215495.已知函数 f(x)=sin2x+ xcosx+2cos2x,x R.3（I）求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间；（）函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到？解：（I） 1cosin1cos23133sin2cosin(2).6xx的最小正
14、周期()f.T由题意得 即 ,62kxkZ,.36kxkZ的单调增区间为()fx,.36kkZ（II）方法一： 先把 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图sin2yx12sin(2)6yx象，再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度，就得到 的图象。3sin()6yx方法二：把 图象上所有的点按向量 平移，就得到 的图siyx3(,)a 3si()2yx象。6.已知函数 .()in(),2fxR(I)求 的最小正周期；(II)求 的的最大值和最小值；(III)若 ，求 的值.fx 3()4fsin2解： )4sin(2cosin)si( xxxf（） 的最小正周期为 ;)( 12T（
15、） 的最大值为 和最小值 ；xf （）因为 ，即 ,即 43)( 167cosin243cosin1672sin7.已知 求 的值. ),0(,1)cos(2in3解析： 由已知条件得 .即 .1cos2in3 0sin2i3解得 .由 0 知 ，从而 .si2sin或 in32或8.已知函数 ， .求:2()sfxxxR(I) 函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合；(II) 函数 的单调增区间.【解析】(I ) 1cos23(1cos)(insin2cos2sin()2 4fxxxx当 ,即 时, 取得最大值 .24k8kZ(fx函数 的取得最大值的自变量 的集合为 .()fxx/,(
16、)8RkZ(II)解: 由题意得: 2sin()4224xk即: 因此函数 的单调增区间为 .38kxkZ(fx3,()k9.已知函数 f(x)=A (A0, 0,0 函数，且 y=f(x)的最大值为 2，其图象相邻两对称轴间2si()2的距离为 2，并过点（1，2）.（1）求 ;（2）计算 f(1)+f(2)+ +f(2 008).解：（I） sin()cos().2yxx的最大值为 2， .()yfx0A2,.A又 其图象相邻两对称轴间的距离为 2， ，1()2,.4.()cos()1cos(2fxxx过 点，y1,)2,kZ,kZ,4kZ又 .0,24（II）解法一： ， 1cos()1
17、sin.22yxx.(1)(3)04ff又 的周期为 4， ，yx85()(08)45208.ff10.已知函数 f(x)= sin(2x )+2sin2(x ) (xR)3 6 12()求函数 f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合.解:() f(x)= sin(2x )+1 cos2(x ) = 2 sin2(x ) cos2(x )+136 12 32 12 12 12=2sin2(x ) +1 = 2sin(2x ) +1 , T = =12 6 3 22()当 f(x)取最大值时， sin(2x )=1，有 2x =2k+ 3 3 2即 x=k+
18、(kZ) 所求 x 的集合为 xR|x= k+ ， (kZ)512 51211.求函数 2 的值域和最小正周期y)4cos(ssin解 ()3221sinsico3i()6xx 函数 的值域是 ,最小正周期是 ；2scos()3sin24yxx212.已知 是第一象限的角，且 ，求 的值。514cos解： =)42cos(in sinco12sin)(2cos)in( 2由已知可得 sin , 原式= .1321431513.已知 ， 求 和 的值5tancot24或cos2in()4解法一：由 得 则,sin5,ci,si2.i5因为 所以(,)4(),3cs1,sin2sin2.o2.in
19、44 .5210解法二：由 得5tact,ta,t解得 或 由已知 故舍去 得1.2(,)ta,tan2.因此， 那么5sin,cos.223cossi,5且 4i2故 sn()sin2.cos2.in43.521014.如图，函数 y=2sin(x),xR,(其中 0 )的图象与 y 轴交于点（0，1）. ()求 的值；()设 P 是图象上的最高点，M、N 是图象与 x 轴的交点，求 .的 夹 角与 PNM解：（I）因为函数图像过点 ，所以 即 因为 ，所以 .(0,1)2sin1,si.2026（II）由函数 及其图像，得2sin6yx5(0)(,)(,636所以 从而 ，1(,)(,2)
20、PNcos,|PPNN17故 .,M5arcos715 设函数 f(x)= cos2cos+sin rcos x+a(其中 0,a R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个高点的横坐3标为 .（）求 的值；（）如果 f(x)在区间 上的最小值为 ，求 a 的值.6 65,3331()cos2sin2 sin ,631 .2fxx解 ： （ I）依 题 意 得解 之 得3)257 , 0,3661sin()1,2 13 ), 23 .2xxf （ I)由 （ I） 知 f()=i(+又 当 时 ，故从 而 在 上 取 得 最 小 值因 此 ， 由 题 设 知 故16.已知函数 .,cos26sin2)( xxf（1）若 ，求函数 的值； （2）求函数 的值域.54i)(f )(xf解：（1） ， 53cos,2,snxx. xfcos1i23)( sin534（2） ， 6inxf， ， ，653x 16sin21x函数 的值域为 .)(xf2,1
