1、牡丹江师范学院期末考试试题库科目：数学模型与数学实验 年级：2006 学期：2008-2009-2 考核方式：开卷 命题教师：数学模型与数学实验课程组一、解答题：（每小题 30分）1 、已知如下点列，求其回归直线方程，并计算最小误差平方和x 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23y 42 43.5 45 45.5 45 47.5 49 53 50 55 55 60参考程序(t1.m)：x=0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23;n=length
2、(x)X=ones(n,1) x;Y=42 43.5 45 45.5 45 47.5 49 53 50 55 55 60;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X);b,bint,stats% 预测y=b(1)+b(2)*x%E误差平方和E=sum(Y-y).2)参考结果：回归直线： 28.49130.48yx误差平方和：17.4096是否重点：重点难易程度：中知识点所在章节：第十六章第一节2、合金强度 y与其中含碳量 x有密切关系，如下表x 0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.200.210.23y 42.041.545.045.
3、545.047.549.055.050.055.055.560.5根据此表建立 y(x)。并对结果作可信度进行检验、判断 x对 y影响是否显著、检查数据中有无异常点、由 x的取值对 y作出预测。解：参考程序(t2.m)：x=0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23;Y=42.0 41.5 45.0 45.0 45 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5;scatter(x,Y);n=length(x)X=ones(n,1) x;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X
4、);b,bint,stats%残差图rcoplot(r,rint)% 预测y=b(1)+b(2)*x%剔除异常点重新建模X(8,:)=;Y(8)=;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)结果和图：b =27.0269140.6194bint =22.3226 31.7313111.7842169.4546stats =0.9219 118.0670 0.0000结果分析：由 知， 接近 1，20.96,1.258,P=0.RF2R， ，故 对 的影响显著，回归模型可用。10.5(,)F5Pxy观察所得残差分布图
5、，看到第 8个数据的残差置信区间不含零点，此点视为异常点，剔除后重新计算。2 4 6 8 10 12-6-4-20246Residual Case Order PlotResidualsCase Number此时键入：X(8,:)=;Y(8)=;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)得：b =27.0992137.8085bint =23.8563 30.3421117.8534 157.7636stats =0.9644 244.0571 0.0000可以看到：置信区间缩小；R 2、F 变大，所以应采用修改后
6、的结果。所以，建立的回归预测方程为： 7.0913.85yx是否重点：重点难易程度：中知识点所在章节：第十六章第一节3、将 17至 29岁的运动员每两岁一组分为 7组，每组两人测量其旋转定向能力，以考察年龄(x)对这种运动能力(y)的影响。现得到一组数据如下表年龄 17 19 21 23 25 27 29第一人 2048 2513 2615 300 261 203 1935第二人 2435 2811 263 314 2692 257 213试建立关系 y(x)，并作必要的统计分析。解：方法 1程序（见 t3_1.m）：x=17:2:29;x=x,x;y=20.48,25.13,26.15 30
7、,26.1,20.3,19.35,24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3;scatter(x,y);figure(2)%确定一元多项式回归系数polytool(x,y,2)点击图 3-2中的 export,全部选中点击 ok,之后在命令窗口输入：beta,y1,residuals% beta回归系数，y1 预测值,residuals 残差结果与图：在 x-y平面上画散点图(图 2-1)，直观地知道 y与 x大致为二次函数关系。设模型为 213yax16 18 20 22 24 26 28 301820222426283032图 3-1 散点图18 20 22
8、 24 26 28101520253035图 3-2 交互图窗口中绿线为拟合曲线、红线为 y的置信区间、可通过移动鼠标的十字线或通过在窗口下方输入来设定 x值，窗口左边则输出与 x对应的 y值及 y的置信区间。通过左下方的 Export下拉菜单可输出回归系数等。beta =-0.2003 8.9782 -72.2150模型为： 20.38.972.150yx方法 2参考程序 (t3_2.m)：x=17:2:29;x=x,x;y=20.48,25.13,26.15 30,26.1,20.3,19.35,24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3;scatter(x
9、,y);p,S=polyfit(x,y,2)方法 2结果：p =-0.2003 8.9782 -72.2150S = R: 3x3 doubledf: 11normr: 7.2162模型为： 20.38.972.150yx方法 3程序（t3_3.m）x=17:2:29;x=x,x;y=20.48,25.13,26.15 30,26.1,20.3,19.35,24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3;scatter(x,y);X=ones(14,1),x,(x.2)b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,stats方法 3结果：b
10、=-72.21508.9782-0.2003stats =0.6980 12.7113 0.0014 4.7340与方法 1，2 的结果一样是否重点：重点难易程度：中知识点所在章节：第十六章第三节4、某厂生产的某产品的销售量与竞争对手的价格 x1和本厂的价格 x2有关。下表是该产品在 10个城市的销售记录。x1 120 140 190 130 155 175 125 145 180 150x2 100 110 90 150 210 150 250 270 300 250y(个) 102 100 120 77 46 93 26 69 65 85试建立关系 y(x1，x2)，对结果进行检验。若某城
11、市本厂产品售价 160（元） ，对手售价 170（元） ，预测此产品在该城市的销售量。解：参考程序（t4.m）：%建立二元线性回归x1=120,140,190,130,155,175,125,145,180,150;x2=100,110,90,150,210,150,250,270,300,250;y=102,100,120,77,46,93,26,69,65,85;x=ones(10,1),x1,x2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,%改进，建立二元多项式x(:,1)=;rstool(x,y)结果这是一个多元回归问题。若设回归模型是
12、线性的，即设用 regress(y,x,alpha)求回归系数。得012yxb =66.51760.4139-0.2698bint =-32.5060 165.5411-0.2018 1.0296-0.4611 -0.0785stats =0.6527 6.5786 0.0247p=0.0247,若显著水平取 0,01，则模型不能用； =0.6527较小; 的置2R01,信区间包含零点。因此结果不理想。于是设模型为二次函数。此题设模型为纯二次函数： 20121yxx对此例，在命令窗中键入x(:,1)=;rstool(x,y,purequadratic)得到交互式对话窗（图 4-1）：0 0 0
13、 0 0 0 0 0 0 图 4-1 交互式对话窗对于“本厂售价 160，对手售价 170，预测该市销售量”的问题，在下方窗口中分别输入 160和 170，就可在左方窗口中读到答案及其置信区间。下拉菜单 Export向工作窗输出数据具体操作为：弹出菜单，选 all，点击确定。此时可到工作窗中读取数据。可读数据包括：beta（回归系数） rmse（剩余标准差） residuals （残差） 。本题只要键入beta,rmse,residuals注：可在图左下方的下拉菜单中选择其它模型：interaction, full quadratic交叉二次回归模型 剩余标准差 19.1626完全二次回归模型
14、 剩余标准差 18.6064纯二次回归模型 剩余标准差为 16.6436由于纯二次回归模型的剩余标准差最小，采用其建模并预测。纯二次回归模型为： 22121-312.587.0.730.8.037yxx剩余标准差为 16.6436。当 ，得销售量 ，置信区间79.371-53.6392, 1260,x9.y79.371+53.6392,即25.7318,133.0102是否重点：重点难易程度：中知识点所在章节：第十六章第三节5、以家庭为单位，某种商品的月需求量与该商品价格之间的一组调查数据为价格（元）ix2 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7需求量（千克）iy5 3.5 3 2
15、.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2求回归直线，并进行残差分析解：参考程序（t5.m）x=2 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7;n=length(x);X=ones(n,1) x;Y=5 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X);b, r, statsrcoplot(r,rint)figure(2)z=b(1)+b(2)*xplot(x,Y,k+,x,z,r)结果与图：b =6.4383-0.7877stats =0.9739 298.5240 0.0000结果分析：由 知，
16、接近 1，20.973,28.540,P=.RF2R， ，故 对 的影响显著，回归模型可用。10.5(,)F5Pxy回归直线为： 6.48-.y残差分析：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.6-0.4-0.200.20.40.6Residual Case Order PlotResidualsCase Number图 5-1残差图由残差分析图 5-1看出，残差置信区间均包含零点，无异常点。故，模型较好的符合原始数据。由图 5-2也可以看出回归直线较好的拟合原始数据。2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 70.511.522.533.544.55图 5-2 拟合比
17、较图是否重点：重点难易程度：中知识点所在章节：第十六章第三节6、给出国家文教科学卫生事业费支出额 ED（亿元）和国家财政收入额 FI（亿元） ，作一元线性模型回归分析，并对所有结果作出分析评估。若 2003年预期的国家财政收入为 12050亿元，试求文教卫支出 2003年的点预测值和区间预测值（部分数据为模拟数据） 。年份 ED FI 年份 ED FI1991 708 3149 1998 1987 93201992 793 3483 1999 2021 98761993 958 4349 2000 2213 103561994 1278 5218 2001 2536 115891995 146
18、7 6242 2002 2960 130101996 1704 7408 2003 142681997 1904 8651 解：参考程序（t6.m）：x=3149 3483 4349 5218 6242 7408 8651 9320 9876 10356 11589 13010 14268 ;Y=708 793 958 1278 1467 1704 1904 1904 1987 2021 2213 2536 2960;n=length(x);X=ones(n,1) x;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X);b,bint,stats%残差图rcoplot(r,rint
19、)%预测y=b(1)+b(2)*x;%点预测x1=14268;y1=b(1)+b(2)*x1%区间预测deta=sqrt(sum(Y-y).2)/(n-2);y1-1.96*deta, y1+1.96*deta结果：b =212.81520.1839bint =54.6098 371.02060.1662 0.2017stats =1.0e+004 *0.0001 0.0522 0.0000 1.0136y1 =2.8372e+003由统计检验量 知，回归模型显著。21,5,0RFP一元线性回归模型为： 2.81+.39yx2003年的点预测值为 2837.2，预测区间 .6.,04是否重点：重点难易程度：中知识点所在章节：第十六章第三节7、为了研究某一化学反应过程中温度 对产品得率 的影响. 测得数据如下:xY8957406154%/ 10153201iyCx温 度温 度求 y与 x的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测 x=155度时产品得率的估值及预测区间（置信度 95%）.解：参考程序（t7.m）：x=100:10:190;Y=45 51 54 61 66 70 74 78 85 89;n=length(x);X=ones(n,1) x;
