1、为了环保，请双面打印！ 第 1 页电磁场与天线 A练习题参考答案第 12 章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场 的梯度为 ，则在 M（1，1，1）处zxyuA= ， 。A 2. 已知矢量场 ，则在 M（1，1，1）处 xzeyzyex 4)(2 A。3. 根据亥姆霍兹定理，当矢量场 的源分布在有限大空间时，若在无限大空间唯一地确定一个该矢量A场，则必须同时给定该场矢量的 及 。4. 一个矢量场至少有一种源，即不可能既是 无源 场，又是 无旋 场。5. 在矢量场空间取一有限大闭合曲面 S，若对该闭合曲面的通量 ，则表示该闭合曲面内Sd0A的 通量源的数目代数和为零
2、。6. 写出线性和各项同性介质中场量 、 、 、 、 所满足的方程（结构方程）： DEBHJ。7. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。8. 位于真空中的理想导体表面电场强度为 ，则理想导体表面面电荷密度 。0Es9. 设理想导体的表面 A 的电场强度为 、磁场强度为 ，则B（A） 、 皆与 A 垂直。 （B） 与 A 垂直， 与 A 平行。EB（C） 与 A 平行， 与 A 垂直。 （D ） 、 皆与 A 平行。 答案【B】 E10. 两种不同的理想介质的交界面上，（A） （B）1212 ,EH1212 ,nnH（C） （D ） 答案【C】tttt ttE11. 设自由真空区域电场强
3、度 ，其中 、 、 为常数。则空间位移电(V/m) si(0zeEy 0E流密度 （A/m 2）为：dJ（A） （B）)cos(0ztey )cos(0ztey（C） （D） 答案【C】E E2xz 09JHBED , , tqSdtJ0E为了环保，请双面打印！ 第 2 页电磁场与天线 A练习题参考答案12. 已知无限大空间的相对介电常数为 ，电场强度 ，其中 、 为常4r (V/m) 2cos0dxeEx0d数。则 处电荷体密度 为：dx（A） （B） （C） （D） 答案【D】04d0d02d013. 已知半径为 R0 球面内外为真空，电场强度分布为 )R( )sinco2( 030 re
4、rBREr求：（1）常数 B；（2）球面上的面电荷密度及总电量；（3）球面内外的体电荷密度。Sol. (1) 球面上由边界条件 得：ttE21 sinsi300R20B（2）由边界条件 得球面上：snD面电荷密度 cos6)()( 0210210 RErns总电量 006cosdindssQSRA（3）由 得：D2 0000 ()(si)()11sinR r rEE即空间电荷只分布在球面上。14. 已知半径为 R0、磁导率为 的球体，其内外磁场强度分布为 1023(cosin) ()sR reArHe其中 、 为待定常数，球外为真空。求（1）常数 、 ；（2）球面上的面电流密度 。A2 1 s
5、JSol. 球面上（r=R 0）： 为法向分量； 为法向分量 r（1）在 空间应用 。由于 ， 为常数，则 ，即0BH0H2 212cossin0iAr1A球面上由边界条件 得：n21即 rrH20103coR320R（2）球面上由边界条件 ， （即球内为 2、球外为 1）得012()nsrJenre为了环保，请双面打印！ 第 3 页电磁场与天线 A练习题参考答案 2 13 00(cosin)(2cosin)(2)sinsrr rJeeAR e第 3 章 静电场及其边值问题的解法1. 静电场中电位 与电场强度 的关系为 ；在两种不同的电介质（介电常数分别为E和 ）的分界面上，电位满足的边界条件
6、为 。122. 设无限大真空区域自由电荷体密度为 ，则静电场： ， = E E 。3. 电位 和电场强度 满足的泊松方程分别为 、 。E4. 已知静电场的电位分布 ，则空间电荷体密度 。1(,)sinih2xyxya5. 介电常数为 的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。6. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是连续的。7. 如图， 、 分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度， ，1E2 213，则 ， 。130 |21E8. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度 与电位沿其法向的方s向导数 的关系为 。n9. 试写出利用有限差分法求
7、解二维狄利克雷边值问题时的无源节点上的差分方程。答案：10. 如图，两块位于 x = 0 和 x = d 处无限大导体平板的电位分别为 0、U 0，其内部充满体密度的电荷（设内部介电常数为 ） 。 （1）利用直接0(1sin)d0积分法计算 0 2R0 各点的电场强度。若导体球不接地，其电位为 ，则结果又如何？USol. (1) 引入两个镜像电荷：，201qq201Rx，)(2R0（2） （略）120,4qxyzR， 2)(zy01/R，222)(x 220)(zyx（3）x 轴上 x2R0 各点的电场强度： 22220000/4()()()()qqqERxR e若导体的电位为 ，则除了像(1
8、)中那样引入两个镜像电荷外，在球心 O 处还必须放置一点电荷 ，U 0q使得 ，从而求得 ，则球外空间电位为：0qR004qU120(,)4qxyzRr， 2zy 2201)/(zyRx， ，02)/(R 22rxyzx 轴上 x2R0 各点的电场强度： 0222220000041/4()()()()x RUqqqERxxR e14. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷 q，求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。 Sol. （1） ，0q) ,(a，20，03 ,（2） （略）0312(,)4qxyzR其中： ，220)(zay 221
9、)(zyaxoqqx0R001x2第 13 题图yx045,Pa1q2q3)0,(a) ,(a),(第 14 题图为了环保，请双面打印！ 第 6 页电磁场与天线 A练习题参考答案，22)(zayxR 223)(zyaxR第 4 章 恒定电场与恒定磁场1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 0 ，净余电荷只能分布在该导电媒质的 表面 上。2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中， 0 ； 0 。JD3. 在电导率分别为 和 的导电媒质分界面上电流密度 的法向分量分别为 、 ，电场强度12 J1nJ2的法向分量分别为 、 ，则有 、 。EnE4. 在电导率为 的导电媒质中，功率损耗密度
10、pc 与电场强度大小 E 的关系为 。5. 恒定磁场的矢量磁位 与磁感应强度 的关系为 ； 所满足的泊松方程为 AB A。6. 已知平板电容器两极间距离为 、电位差为 。若中间充满的介质有漏电现象，则此时两极间的电dU流密度 的大小为 （设介质的电导率为 ） 。J 7. 对线性和各项同性磁介质（磁导率设为 ） ，恒定磁场（磁场强度大小为 H ）的磁能密度，V 空间磁能 Wm = 。mw8. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为： ，C 为常数，且 满足库仑规xyzeyxeA22 A范。求（1）常数 C ；（2）电流密度 ；（3）磁感应强度 。JB（直角坐标系中： ）()()()y yx xz zx
11、aaaeSol. (1) 库仑规范： 0A 402yzy(2) 由 ， 得：J2224xyeex2211yAexz (3) BA4()xyezex9. (P.136. 习题 4.2) 在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（ 和 ） ，其厚度1,2,分别为 和 。若在两极板上加上恒定的电压 。试求板间的电位 、电场强度 、电流密度1d2 0UE以及各分界面上的自由电荷密度。J12nn21 2EpcBJ221HdV21为了环保，请双面打印！ 第 7 页电磁场与天线 A练习题参考答案Sol. 用静电比拟法计算。用电介质（ 和 ）替代导电媒质，静电场场强分别设为 E1、E 221210EDU
12、dE)( 0 212120221 dxdUexx电位移： 120121dx )( )()( 0 )( 20212121 10 dxUdxEdx静电比拟： ，则导电媒质中的恒定电场：， DJ )( )(02021212 102 dxUdx)( )( 221201dxdexE1xx1UJx212010 dUxnxs 2)(21dxs212012121 )(111 dUxnddxxs 可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号 。只有理想电容器才有电容定210dxsxs义。10. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为 a 、2a ，电导率为 。如图建立圆柱坐标，若电位 （常量）
13、及 。求（1）导电媒质上电位分布 以及恒定电场的电02U0场强度 ；（2）该情况下导电媒质的直流电阻 R 。ESol. 由边界条件可知，导电媒质上电位 仅与坐标 有关，即 ()（1） 2021d0 (02ABoxa2（第 10 题 图）Py为了环保，请双面打印！ 第 8 页电磁场与天线 A练习题参考答案由 及 得：02U02()UE 011zee （2） （ ）0J2a22001d(d)(d)ln2aS aUaUIJ直流电阻： 0lnRI11. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为 a 、2a ，电导率为 。如图建立圆柱坐标，若电位 （常量）及 。求（1）导电媒质上电位分布以
14、及导电媒质上恒0aU20a定电场的电场强度 ；（2）该情况下导电媒质的直流电阻 R 。ESol. 由边界条件可知，导电媒质上电位 仅与坐标 有关，即 ()（1） 201d lnuAB 2a由 及 得：aU20a00()l()l2UE1lne)a（2） 0lJ(0d()2lS UIJa直流电阻： 0nRI第 5 章电磁波的辐射1. 复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为 ， 。2. 坡印亭矢量 的物理意义为 通过单位面积的电磁功率 ，瞬时表示式是 ，S时谐场中平均坡印亭矢量 。av3. 自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为 ，则时谐电磁场的电场强度复矢022tE量 满足的波动方程为 。E4
15、. 在无限大的无损耗的均匀媒质 中，正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为 ，, 02Hkoxa2（第 11 题 图）PyHjEjHSE*1ReS20E为了环保，请双面打印！ 第 9 页电磁场与天线 A练习题参考答案其中 。k5. 在时变电磁场中， 与位的关系为 ， 与位的关系为 。B E6. 已知某一理想介质 中时谐电磁场的角频率为 ，位移电流复矢量为004,5,，a、 、J 0 皆为常数。则电场强度复矢量 为jd0cosezxyJ （A） （B）jjzxj0cosej4zxJyea（C） （D ） 答案【B】j0sinejzxJyea j0injzx7. 电偶极子天线的功率分布与 的关系为
16、。(a) (b) (c) (d) 答案【A】2sinsin2coscos8. 自由空间的原点处的场源在 时刻发生变化，此变化将在 时刻影响到 处的位函数 和 。t rA（a） ; （b） ; (c) ; (d) 任意 答案【B】crtcrtt9. 在球坐标系中，电偶极子的辐射场（远区场）的空间分布与坐标的关系是 （a） （b） (c) (d) 答案【C】r2sin2sinrrsin2sinr10.无界真空中，电偶极子在远区场所辐射的电磁波的电场强度和磁场强度方向相互 垂直 ，相位差为 零 ，是 非均匀 球面波，且为 TEM 波。11.如图所示为对称天线的 E 面方向图，则下列方向应为场强辐射的
17、最大方向：(A) 。 (B) 。 (C) (D) 0306090答案【C】12.试由下列时谐场的场量求相应的复振幅矢量或瞬时值矢量：(1) 820cos()cs(310) ?xHtkzH e(2) 6(,)in zttz(3) ，角频率为331jxjxyzEje E306912508247.（第 11 题图）BA AEt为了环保，请双面打印！ 第 10 页电磁场与天线 A练习题参考答案Sol. （1） 8(310)Re20cos()xjtkzHe xjt 20cos()3xjkzee（2） 6(,)12ztt0(2)Rejz610jjte 0zj（3） 33()()2Re 10y zjtxt jtxEe 31cos()10cos()2y ztxet13.已知真空中某时谐电场瞬时值为 。试求电场和磁场复矢量表示式)cos(10in),( zktxtEy和功率流密度矢量的平均值。Sol. 所给瞬时值表示式写成下列形式： )i(Re),( tjzyetzx因此电场强度的复矢量表示为： ,sizjky由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为 00000011(,)() 1 sin()cos()zxyzxyzyxz jkzxzeHxzEjjEeejjkxxej功率流密度矢量的平均值 等于复坡印廷矢量的实部，即avS
