1、2019/6/6,1,第二章 概率分布,2019/6/6,2,引 言,由于存在个体差异，即使从同一总体中抽取的两份样本之间也会有所不同，因此需要对总体特征做出描述。随机变量的分布常见的有三种类型：,正态分布（normal distribution）二项分布（binominal distribution）Poisson 分布（ Poisson distribution）,离散型变量,连续型变量,2019/6/6,3,了解正态分布的密度函数二项分布的应用 Poisson分布的应用,掌握正态分布曲线的特征及应用二项分布的概念与特征Poisson分布的概念与特征,【教学目的】,2019/6/6,4,概
2、念频率密度图的绘制例：随机调查某医院1402例待分娩孕妇，测得她们的体重。体重在各组段的频数分布见表1第2列，并求得体重落在各组段的频率（表1的第3列）。现以体重测量值为横轴，以频率与组距的比值为纵轴作出直方图。由于该直方图的纵轴表示在每个组段内单位长所占有的频率，相当于频率密度，因此我们将此图称为频率密度图（见图1）。,一、正态分布,2019/6/6,5,表1 某医院1402例分娩孕妇体重频数分布,图1 体重频率密度图,2019/6/6,7,若将各直条顶端的中点顺次连接起来,得到一条折线。当样本量n越来越大时，组段越分越细，此时直方渐进直条，这条折线就越来越接近于一条光滑的曲线（见图1、2）
3、，我们把这条呈中间高，两边低，左右基本对称的“钟型”曲线称为正态分布曲线，近似于数学上的正态分布（高斯分布; Gauss）。,2019/6/6,8,图1 体重频率密度图,图2 概率密度曲线示意图,2019/6/6,9,正态分布的密度函数,式中，m为总体均数，s为总体标准差，p为圆周率，e为自然对数的底，仅x为变量。 当x确定后， f(x)为X相应的纵坐标高度，则X服从参数为和2的正态分布(normal distribution)，记作XN( m, s2)。,2019/6/6,10,一般地，若连续型随机变量，设其概率密度函数为 ，则X取值落在区间 内的累积概率为概率密度曲线下位于 的图形面积，等
4、于其概率密度函数 在 到x上的积分，记作 。,称 为正态分布 的概率密度函数。其值表示变量落在区间 的概率，对应于从-到x概率密度曲线下的阴影的面积（常称为左侧尾部面积），见图3。,2019/6/6,12,图3 正态分布的概率密度函数,2019/6/6,13,于是，利用概率密度函数 可以计算正态分布变量取值在任意区间（a,b）的概率为,P(aX5，且n(1-)5时，二项分布趋于正态分布。,图7 二项分布的概率分布示意图,2019/6/6,53,4. 二项分布的应用,4.1 应用条件各观察单位只具有相互对立的两种结果；已知发生某一结果的概率为p，其对立结果的概率则为1-p； n个观察单位的观察结
5、果相互独立。4.2 应用概率计算；,2019/6/6,54,例：据报道，有10%的人对某药有肠道反应。为考察此药的质量，现随机选5人服用此药，试求： (1)其中k个人(k=0,1,2,3,4,5)有反应的概率；(2)不多于2人有反应的概率；(3)有人有反应的概率。,例：设在人群中感染某种疾病的概率为20%，现有两种疫苗，用疫苗A注射了15人后无一感染，用疫苗B注射15人后有1人感染，设人群没有相互传染疾病的可能，问：应该如何评价这两种疫苗？解：假设疫苗A、B完全无效，那么注射后感染的概率仍为20%，则15人中染病人数XB(15，0.20)。X=0的概率为,X1的概率为,2019/6/6,56,
6、Poisson分布是一个重要的离散型概率分布。一般地，Poisson分布应用于观察例数n很大、而p发生的概率很小的情况。如，交通事故发生数，某些罕见疾病发生数，单位容积中的细菌计数、细胞计数，放射性物质在单位时间内放射的粒子数，单位空间的粉尘个数等等。此时，随机变量X（发生数等）所有可能的取值以及相应的概率分布即为Poisson分布。,三、Poisson分布,历史上， Poisson分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家Poisson引入 。,近年来， Poisson分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。,在实际生活中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布。,在生物
7、学、医学、工业统计、保险科学等问题中 , 泊松分布是常见的。如地震、火山爆发、特大洪水、交通事故次数等, 都服从泊松分布。,泊松分布的图形,图8 Poisson分布的示意图,2019/6/6,60,1. Poisson分布的概率函数：,此处m0，是某一常数，e是自然对数的底数，称X服从参数为m的Poisson分布，记为XP(m),可见，Poisson分布可作为二项分布的极限而得到。换言之，如果XB(n,p)，当p很小，而n很大时，可以认为X近似服从m=np的Poisson分布P(m)。,2019/6/6,61,Poisson分布属于离散型分布，是Poisson分布的总体参数，也是唯一的参数。方
8、差s2与均数相等，即m=s2。这是Poisson分布的一个非常重要而且非常独特的性质，经常用于判断某随机事件是否服从Poisson分布。设 且 ，并且X1与X2相互独立，则 服从总体均数为 的Poisson分布。当20时，poisson分布近似正态分布,2. Poisson分布的特性,2019/6/6,62,3. 应用,应用条件：由于Poisson分布可以看作二项分布的极限分布，二项分布的应用条件也是Poisson分布的应用条件。此外，Poisson分布还要求试验次数n很大，而所关心的事件发生的概率p很小。,2019/6/6,63,概率计算,例: 为监测饮用水的污染情况，现检验某社区每毫升饮用
9、水中细菌数，共得400个，记录如下表：,表5 某社区每毫升饮用水中细菌数,试分析饮用水中细菌数的分布是否服从Poisson分布。若服从，计算每毫升水中细菌数的概率及理论次数，并将次数分布与Poisson分布做直观比较,2019/6/6,64,得：经计算得每毫升水中平均细菌数 =0.5，方差S2=0.496。两者接近，近似服从Poisson分布。,2019/6/6,65,例如某均匀的溶液中，每ml含有3个细菌，即XP（3）。现考虑5ml溶液中的细菌的分布情况。由于X iP(3) i=1，2，3，4，5。据Poisson分布的可加性可得： X1 X2 X3 X4 X5 P(15) 即5ml溶液中的
10、细菌数仍然服从Poisson分布，均数为15。,2019/6/6,66,选择题,1. 理论上，二项分布是一种A 连续性分布 B 离散分布 C 均匀分布 D 标准正态分布 2. 在样本例数不变的情况下，下列何种情况时，二项分布越接近对称分布。A 总体比例越大 B 样本比例P越大 C 总体比例越接近0.5 D 总体比例越小,2019/6/6,67,3.某种人群（如成年男子）的某个生理指标（如收缩压）或生化指标（如血糖水平）的正常值范围一般 A.该指标在所有人中的波动范围 B.该指标在所有正常人中的波动范围 C.该指标在绝大部分正常人中的波动范围 D.该指标在少部分正常人中的波动范围 E.该指标在一
11、个人不同时间的波动范围,2019/6/6,68,4. 正态分布的特点有A.算术均数=几何均数 B.算术均数=中位数C.几何均数=中位数 D.算术均数=几何均数=中位数E.以上都没有,2019/6/6,69,5. 正态分布曲线下右侧5对应的分位点为A.+1.96 B.-1.96C.+2.58 D.+1.64E.-2.58,2019/6/6,70,计算题 某地1998年抽样调查了100名18岁男大学生身高，其均数=172.70cm，标准差=4.01 cm。 （1）估计该地18岁男大学生身高在168 cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数； （2）估计该地18岁男大学生身高在177 cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数。,2019/6/6,71,THANK YOU!,
