1、习题 55-1如图，一轻绳跨过两个质量为 、半径为 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两mr端分别挂着质量为 和 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两2个定滑轮的转动惯量均为 ，将由两个定滑轮以及质量为 和 的重物/2r m2组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图，可建立方程：aTmg221()rJ， a2/联立，解得： ， 。g41mT85-2如图所示，一均匀细杆长为 ，质量为 ，平放在摩擦系数为 的水平桌l 面上，设开始时杆以角速度 绕过中心 且垂直与桌面的轴转动，试求：0O（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。解：（1）设杆的线密
2、度为： ，在杆上l取一小质元 ，有微元摩擦力：dmx，fg微元摩擦力矩： ，Mgd考虑对称性，有摩擦力矩：；2014lxl（2）根据转动定律 ，有： ，Jdt00tMdJ， 。2014mgltl3lg或利用： ，考虑到 ， ， MJ21Jml有： 。03ltgT5-3如图所示，一个质量为 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量m可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为 、半径M为 ,其转动惯量为 ，试求该物体由静止开始下落的过程R2/MR中，下落速度与时间的关系。解：受力分析如图，可建立方程：mgTaJ， R21联立，解得： ， ，mgaM2gT考虑到 ， ，有： 。dvt0vtd
3、t 2mgtvM5-4轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为 ，均4/匀分布在其边缘上，绳子 端有一质量为 的人抓住了绳端，A而在绳的另一端 系了一质量为 的重物，如图。已知滑轮B4/对 轴的转动惯量 ，设人从静止开始以相对绳匀速O2RJ向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求 端重物上升的加速度？B解一：分别对人、滑轮与重物列出动力学方程人AMaTg1物B42滑轮JR1由约束方程: 和 ,解上述方程组aBA4/2MRJ得到 .2g解二：选人、滑轮与重物为系统，设 为人相对绳的速度， 为重uv物上升的速度，注意到 为匀速， ，系统对轴的角动量为：u0dt213()()44MLvRvRvuBAR(
4、)体 人物 物 体而力矩为： ，gg根据角动量定理 有： ， 。dtL)23(4uRvdtR2ga5-5计算质量为 半径为 的均质球体绕其轴线的转动惯量。m解：设球的半径为 ，总重量为 ，体密度 ，R34m考虑均质球体内一个微元： ，2sindrd由定义：考虑微元到轴的距离为，有：2(sin)Jr220isiRr。501(1co)rd25mR5-6一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数 ，当 时弹簧无形变，细棒的质量4/kNm0，求在 的位置上细棒至少应具有多大的角速度g.5，才能转动到水平位置？解：以图示下方的三角桩为轴，从 时，09考虑机械能守恒，那么：时的机械能为：0
5、，2()(2)13lmgml（重 力 势 能 转 动 动 能 ）时的机械能为：09kx有： 22113lmglkx（ ）根据几何关系： ，得：5.).0(x 128.3srad5-7如图所示，一质量为 、半径为 的圆盘，可绕 轴在铅直面内转动。若mRO盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心 C 和盘缘 A 点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。解：（1）设虚线位置的 C 点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒，有： ，而2JmgR2213Rm 3434gvc 16ARgv（2） ，方向向上。273yF（ 重 力 ） （ 向 心 力 ）5-8如图所示，长为
6、l 的轻杆，两端各固定质量分别为 和 的小球，杆可m2绕水平光滑固定轴 O 在竖直面内转动，转轴 O 距两端分别为 和 轻杆原l31来静止在竖直位置。今有一质量为 的小球，以水平速度 与杆下端小球 作m0v对心碰撞，求碰撞后小球的反弹速度和轻杆所获得的角速度。解：设碰撞后小球的反弹速度为 ，轻杆所获得的角速度为 。v根据角动量守恒，有： 2202()()33llmvl根据动能守恒，有： 22220 )1()(11lml联立上述两个方程，可解得 006,5vl5-9一质量均匀分布的圆盘，质量为 ，半径为 ，放在一粗糙水平面上( 圆MR盘与水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘可绕通过其中心 的竖直固定
7、光滑轴转动。开始时，圆盘静止，O一质量为 的子弹以水平速度 垂直于圆盘半径打mv入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过 的竖直轴的转动惯量O为 ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 2MR解：（1）利用角动量守恒：22mv得： ；()vR（2）选微分 ，其中：面密度 ，dr2MR203RfMgmrdg由 有： ，ftJ 21()03tm知： 24g将 代入，即得： 。mRv2vtMg5-10有一质量为 、长为 的均匀细棒，静止平放1l在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，它可绕通过其端点 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一
8、水平运O动的质量为 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另2一端 A 相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 和 ，如图所示。求碰撞后从细1v2棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。(已知棒绕 点的转动惯量 ) 213lmJ解：由碰撞时角动量守恒，考虑到 和 方向相反，以逆时针为正向，有：1v2，得：22123mvllvllm)(3又细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：，利用 ，有：110lfMgxdgl fdMJt，得： 。2103t ldm21()3vltmg5-11如图所示，滑轮转动惯量为 ，半径为 ；物体的质量为2k0.c7，用一细绳与劲度系数 的弹簧相连，若绳与滑轮
9、间无相对滑kg5N/动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。解：（1）设弹簧的形变量为 ，下落最大距离为 。xmax由机械能守恒： ，有：2maa1kg；max0.49（2）当物体下落时，由机械能守恒： ，22211kxvJgx考虑到 ，有： ，vR21kxRJmx欲求速度最大值，将上式两边对 求导，且令 ，有：0d，将 代入，有：21()dkxmJmgxx，45.0g当 m 时物体速度达最大值，有：x，代入数值可算出： 。22max1()gkxvJrmax1.3/vs5-12设电风扇的功率恒定不变为
10、 ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角P速度 成正比，比例系数的 ，并已知叶片转子的总转动惯量为 。 （1）原来kJ静止的电扇通电后 秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？t（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？解：（1）已知 ，而动力矩 ，fMM通电时根据转动定律有： fdJt代入两边积分有： ，可求得： ；kPdt02 )1(2tJkeP（2）见上式，当 时，电扇稳定转动时的转速： ；k稳 定（3）断开电源时，电扇的转速为 ，只有 作用，那么：0kfM，考虑到 ，有： ，dkJtdt00dJ得： 。0JPk5-13如图所示，物体 放在粗糙的水平面上，与水
11、平桌面之间的摩擦系数为A，细绳的一端系住物体 ，另一端缠绕在半径为 的圆柱形转轮 上，物体 RB与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以 绕其0转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体 的速度多A大？物体 运动后，细绳的张力多大？解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体 和转轮 、绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，又 ，ARmvJ0 R21mJ031（2）物体 运动后，由牛顿定律： （1）AmagT对转轮 ，由定轴转动定律： ， （2）约束关系： （3）BJRRa可求出： 。13Tmg5-14. 质量为 的小孩站在半径为 、转动惯量为 的可以自由转动的水平平J台
12、边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动 )。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面v旋转的角速度 为多少？解：此过程角动量守恒： ，有： 。0mRJmRvJ5-15以速度 作匀速运动的汽车上，有一质量为 （ 较小） ，边长为 的立0v l方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面 边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；A（2）此时，货物箱 边所受的支反力。A解：（1）货箱对过 点垂直于平面的转轴角动量守恒： AJlmv20为货箱对 轴的转动惯量，结合平行轴定理可得：AJ代入解得
13、：223)(61mllllv043货箱翻转时，只受重力距作用，根据转动定律有：， ；2lmgl4gl（2）汽车刹车后停止瞬间，货箱以角速度 绕 轴转动，此时，质心角速度的A切向和法向分量分别为： ，latC823 lvlanC20239由质心运动定理： 45cos45cosnxCx mNtyymgn解得货物箱 边所受的支反力为：A，)8329(0lvNx)3298(0lvgy yxz思考题5-1一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 的定滑轮，绳的M两端分别悬有质量 和 的物体 ( )，如图所示，绳与1m212m轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？解：（1）aTg11（2
14、）22（3）Jr)(（4）联立方程可得 、 ， 。121T5-2一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 以角速度O按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 沿盘面方向同F时作用到盘上，则盘的角速度 怎样变化？ 答：增大5-3个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的：（A）机械能守恒，角动量守恒；（ B）机械能守恒，角动量不守恒；（C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。答：（C）5-4在边长为 的六边形顶点上，分别固定有质量a都是 的 6 个质点，
15、如图所示。试求此系统绕下列转m轴的转动惯量：（1）设转轴、在质点所在的平面内，如图 所示；（2）设转轴垂直于质点所在的平面，如图 所示。b答：以为轴转动惯量 ；29maJ以为轴转动惯量 ；3以为轴转动惯量 。5.75-5如图 所示，半径分别是 和 、转动惯量分别是 和 的两个圆柱体，a1R21J2可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为 ，现在将小圆柱体向左0靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为 0。由 ，有小圆柱的最终角速度为：201J。5-6均质细棒的质量为 ，长为 ，开始时处于水平方位，静止于支点 上。MLO一锤子沿竖直方向在 处撞击细棒，给棒的冲量为 。试讨论细棒被球撞dx0Ij击后的运动情况。答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。
