1、 完美 WORD 格式 专业整理 知识分享 习题 22.1 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。(1) (2) ()rect(2)nfxxn()tri(2)ngx2.2 证明下列傅里叶变换关系式：(1) ; (2) ; rect()sic()Fxy22()sinc()iFxy(3) ; (4) ;1,1gn()iFxy(5) ; (6) 。(sin)x2()/exya2.3 求 和 的傅里叶变换。2f2.4 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。()tri1)tri()H()rect(/3)rt()G2.5 证明下列傅里叶变换定理： (1) 在所在 连续的点上 ；(,)
2、fxy1(,)(,)(,)FfxyFfxyfxy(2) 。,*Fhfg2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式： (1) 若 ，则 ;0()rfr0()2J()rBfr(2) 若 时 ，而在其他地方为零，则 ;1a(rf 11J(2)J()raBf(3) 若 ，则 ;()rBfF21()rBfa(4) 22er2.7 设 在极坐标中可分离变量。证明若 ，则：(,)g i(,)(emrffi()eH()mrFfrf其中 为 阶汉克尔变换： 。而 空间频率中的极坐Hm 02()J2)dmrrmfr(,)标。(提示： )isnieJ(eaxkxka完美 WORD 格式 专业整理 知识分享 2.8 计
3、算下列各式的一维卷积。(1) (2) 1rect*(23)x 3rect*(4)(1)2xx(3) (4) rtomb()xsinrt()2.9 试用卷积定理计算下列各式。(1) (2) sinc()*ixsic()2Fx2.10 用宽度为 的狭缝，对平面上强度分布a0()2os()fx扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。2.11 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为 ，光栅常数为 ，缝数为 。adN2.12 计算下面函数的相关。(1) (2) 1rect2x1rect2xtri21xtrix2.13 应用傅里叶定理求下面积分。(1) (2) 2ecos()dx
4、ax 2sinc()idx2.14 求函数 和 的一阶和二阶导数。)rtf(tri)f2.15 试求下图所示函数的一维自相关。2.16 试计算函数 的一阶矩。()rect(3)fx2.17 证明实函数 的自相关是实的偶函数，即： 。,y(,)(,)ffRxyxy2.18 求下列广义函数的傅里叶变换。(1) (2) (3) step()xsgn()x0sin(2)2.19 求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。(1) (2) ()tri1)tri()H()rect(/3)rt()Gxx2.20 表达式完美 WORD 格式 专业整理 知识分享 (,)(,)*combxypxygX
5、Y定义了一个周期函数，它在 方向上的周期为 ，它在 方向上的周期为 。Y(a) 证明 的傅里叶变换可以写为：(,),nmnmPGXYY其中 是 的傅里叶变换。g(b) 当 时，画出函数 的图形，并求出对应的傅里叶变换(,)rect2rtxyxyY(,)pxy。(,)P习题 33.1 设在一线性系统上加一个正弦输入： ，在什么充分条件下，输出是一个(,)cos2()gxyxy空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。3.2 证明零阶贝塞尔函数 是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本02J()r征值是什么？3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到
6、其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问：(a) 这个系统是线性的吗？(b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布 ，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像o(,)Uxy场分布 。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的i(,)Uxy区间 ， 之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体|xB|y，它与真实物体 产生完全一样的像 ，并且等产供效物体的场分布可写成：o(,)y oiUo 0, (,)sinc(2)sinc(2)d,2X
7、Ynm XYnmUxUBmxyB 3.5 定义：, 1(,)d(0,)xyfxyf1(,)d(0,)F完美 WORD 格式 专业整理 知识分享 分别为原函数 及其频谱函数 的“等效面积”和“等效带宽” ，试证明：(,)fxy(,)F1xyA上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。3.6 已知线性不变系统的输入为： 。系统的传递函数为 。当 和 时，()comb()fxrect(/)b13b求系统的输出 ，并画出函数及其频谱。()gx3.7 对一个线性不变系统，脉冲响应为：()7sinc()h用频率域方法对下列的每一个输入 ，求其输出 (必要时，
8、可取合理近似) ：()ifxigx(1) (2) 1()cos4fx 2()cos4ret/75)f(3) (4) 3(8)rect(/75)x4mb()*c2xx3.8 给定正实常数 和实常数 和 ，求证：0ab(1) 若 ，则01|2b00sinc(/)*os(2)cos(2)|xxx(2) 若 ，则0|0i(/)()|b(3) 若 ，则|basinc/*si/|sinc(/)xaxa(4) 若 ，则|222()c()|bxb3.9 若限带函数 的傅里叶变换在带宽 之外恒为零，(1) 如果 ，证明：()fxw1|w(2) 如果 ，上面的等式还成立吗？1sinc/*()|afx1|a3.10
9、 给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波：1()comb(/3)rect(/10)*rect()gxxx若系统脉冲响应： 。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱th的图形。完美 WORD 格式 专业整理 知识分享 3.11 给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波1()comb(/2)rect(/50)*tri(gxxx对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：(1) (2) ()rect(/)H()rect(/4)rect(/2)H3.12 若对函数： 抽样，求允许的最大抽样间隔。2sinhxax3.13 证明在频率平面上一个半径为 的圆之外没有非零的频谱分量的函数，
10、遵从下述抽样定B理：221J2(/)(/)(,),24nmxnBymgxyg 习 题 44.1 尺寸为 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上ab透射光场的角谱。 4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) (2) 200(,)cir()txyxy2001,1(,)axytxy其 它4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：00()cos(2/)txabxd式中， 为光栅的周期， 。观察平面与光栅相距 。当 分别取下述值时，确dabz定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。(1) (2)
11、 (3) 2rz2rzd24rzd4.4 参看下图，用向 点会聚的单色球面波照明孔径 。 点位于孔径后面距离为 的观察PPz平面上，坐标为 。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面(0,)b上强度分布是以 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。完美 WORD 格式 专业整理 知识分享 4.5 方向余弦为 ，振幅为 的倾斜单色平面波照明一个半径为 的圆孔。观察平cos,Aa面位于夫琅禾费区，也孔径相距为 。求衍射图样的强度分布。z4.6 环形孔径的外径为 ，内径为 。其透射率可以表示为：2aa(01)001,()rtr其 他用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为 的观察屏上夫琅
12、禾费衍射图样的强z度分布。4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为 ，中心距离为 。采ad()a用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为 的观察平面上夫琅禾费衍射z图样的强度分布并画出沿 方向截面图。y4.8 参看下图，边长为 的正方形孔径内再放置一个边长为 的正方形掩模，其中心落在2aa点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为 的观察平面上夫琅(,) z禾费射图样的光场分布。画出 时，孔径频谱在 方向上的截面图。0xyx完美 WORD 格式 专业整理 知识分享 4.9 下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为 ，长度为 ，中心相距 。采用abd单位
13、振幅的单色平面波垂直照明，求相距为 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分z布。假定 及 ，画出沿 和 方向上强度分布的截面图。4ba1.5dxy4.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即：00()step()tx采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为 的观察平面上夫琅禾费衍射图z样的复振幅分布。画出沿 方向的振幅分布曲线。x4.11 下图所示为宽度为 的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差 。采用单a 位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为 的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。z画出沿 方向的截面图。x4.12 线光栅的缝宽为 ，光栅常数为 ，光栅
14、整体孔径是边长 的正方形。试对下述条件，adL分别确定 和 之间的关系：d(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。(2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。4.13 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：完美 WORD 格式 专业整理 知识分享 00000(,)comb(/)c(/)comb(.1)/comb(/)txyxayxay采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强z度分布。画出沿 方向的截面图。4.14 如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为 ，齿宽为 ，齿形角为 ，光栅的na整体孔径为边长为 的正方形。采用单位振幅的单色平面
15、波垂直照明，求相距光栅为L的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，z角应如何选择？4.15 衍射零是由 个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为 ，其中心在 方向间距为mn a0x，在 方向间距为 ，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为 的xd0yyd z观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。4.16 在透明玻璃板上有大量 ( )无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是 。采用单N a位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为 的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分z布。enjoy the trust of 得到.的信任 have / put trust in 信任 in trust 受托的，代为保管的take .on trust 对.不加考察信以为真 trust on 信赖 give a new turn to 对予以新的看法 turn around / round 转身，转过来，改变意见 turn back 折回，往回走 turn away 赶走，辞退，把 打发走，转脸不睬，使转变方向 turn to 转向 ，（for help）向 求助，查阅， 变成；着手于 think through 思考直到得出结论，想通 think of 想到，想起，认为，对 有看法/想法
