1、1第七章 数学物理定解问题1研究均匀杆的纵振动。已知 端是自由的，则该端的边界条件为 _ 。0x2研究细杆的热传导，若细杆的 端保持绝热，则该端的边界条件为 。3弹性杆原长为 ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 而静止，放手任其振动，将其平衡l b位置选在 轴上，则其边界条件为 。x0,xxlu4一根长为 的均匀弦，两端 和 固定，弦中张力为 。在 点，以横向力l l 0Txh拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为_ f(0)=0,f(l )=0; _。0F5、下列方程是波动方程的是 D 。A 2txuaf； B 2txuaf；C t； D t。6、泛定方程 要构成定解问题，则应有
2、的初始条件个数为 B 。20txA 1 个； B 2 个；C 3 个； D 4 个。7 “一根长为 两端固定的弦，用手把它的中l点朝横向拨开距离 ， （如图1所示）然后放h手任其振动。 ”该物理问题的初始条件为 ( D )。A ,2),(20lxlhluotB 0tuhC hut0 D 0,2),(2ttulxlhl8 “线密度为 ，长为 l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点 受谐变 )0(lx力 的作用而振动。 ”则该定解问题为( B )。tFsin0A 0, (,)sin002tlxxt uu lxxFaux2/l0u图12B 0, )0(,)(sin002ttlxxtulxxt
3、FaC 0, )0(,)(sin02ttxtulxxtFaD 0, )(sin)(,0 02ttlxxtuxtl9线密度为 长为 的均匀弦，两端固定，用细棒敲击弦的 处，敲击力的冲量为 I，然后l 0x弦作横振动。该定解问题为：（ B ） 。A 0,02ttlxxtuIaB 0,)(002ttlxxtuIaCIulxattlxxt002,)0(,D )(,0)(,02xIulattlxxt10下面不是定解问题适定性条件的( D )。11、名词解释：定解问题；边界条件答：定解问题由数学物理方程和定解条件组成，定解条件包括初值条件、边界条件和连接条件。研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特
4、定“环境” ，而周围花牛的影响常体现为边界上的物理状况，即边界条件，常见的线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；第三类边界条件，规定了所研究的物理量以及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。用 表示边界A有解 B解是唯一的C解是稳定的 D解是连续的3即（1）第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量 在边界上的数值， 代表边界（2）第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数在边界眩的数值，（3）第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界
5、上的数值，第八章 分离变数（傅里叶级数）法1用分离变数法求定解问题 的解，其中 为 的已知函数。20,()txltual )(x解：令 bx)(设42用分离变数法求定解问题 的解，其中 为常数。200,(),txlttualbb解：以分离变数形式的试探解)(),(tTxXtu代入泛定方程和边界条件，得，02aTXa2； ； T0)(lX0)(,)0(lX本征值： ；本征函数： 2ln,31 xlncxXnsi)(2将 代入 ，得2ln 02Ta0)()(2tTlatnn其通解为 tlBtlnAtTnsicos)(本征解为： )(,xXun xltlaBaAnn si)ico ),321(n一般
6、解为： (,)t1nnltltlsi)is0,0tBubxlAn1silnxdbA0si212()nbl11(,)()coinnlanut tll3求定解问题 的解20si,(0),txltatxu解：令 0cos)(),(nxlTtxu5txlnTlann sico)(02 tTsi001At2nnla2natlnTCe， 0tu(0),1nA)cos(),(ttx4求定解问题 的解，其中 为常数。0,)(02tlxxtuula0u解：设 (,),wv00xxl()vAtBt 0)(,)(utAtxu0,02xuwatlxxt令 01()2(,)sinnxtTtl212nnlatlanneC
7、tT2)1()(21()01()(,)sinnatln xwxt l 6xulnCn 00)21(siln dlu0)(sin120)(nnlu所求的定解问题的解为 21()002 ()(,) si1()natln xuluxt el5求定解问题 的解，其中 、 、 均为常数。0000,(),(),)txxxlttaluuIxl 0uI答设所求的定解问题的解为：7第十章 球函数1当 时，函数 以 为基本函数族的广义傅里叶级数展开为 rR22cos1rrR)(coslP)(cos01lPrll2已知 、 、 ，则 以 为基本函数族的广义0xx(1 )13(2)xP2)(xf)(Pl傅里叶级数为(
8、 D ).A )(32PB )()(21C )(120xD以上都不对3在球 的内部求解 ，使满足边界条件 。已知 ，r0u2cos0ru1)(cos0P，cos)(1P)1cos3(2)(cs2P解 定解问题为：这是一个关于极轴对称的拉氏方程的定解问题当 有限 所求的定解问题的解为84半径为 的球形区域外部没有电荷，球面上的电势为 ， 为常数，求球形0r 20cosinu0u区域外部的电势分布。已知 ， ， ，1)(cos0P)(cos)1cos3()(22P。331(cos)(5cs2P解： 20o),0ru01)(cs)(l lllPBA有限 ru0lA01)(cosll)(cos32)(
9、cos0201 PPrBll30r)2,0(,02lBrl)(cos)(cos2300PrPru5在本来是匀强的静电场 中放置导体球，球的半径为 ，求球外静电场的电势。 （已知0E0r， ） 。0(cos)1Pcos)(解：如图所示，建立坐标系，则定解问题为：9当 6在点电荷 的电场中放置一个接地导体球，球的半径为 ，球心与点电荷相距q04 a。求球外静电场的电势。)(1ar解：选择球心为球坐标系的极点，极轴通过点电荷，则极轴是对称轴，问题与 无关；又设导体球接地，所以导体球内电势为 0，即 ， ；在球外， （除点电荷处）任意点 的电势是点电荷 产生的电势 和导体球感应电荷产生的电势 的叠加。因静电感应电荷只在球面上，故由它在球外所产生的电势 满足拉普拉斯方程。于是定解问题为， （1）10因为 ， ，所以 ， （2）在轴对称情况下，方程（1）的一般解为，考虑到（2）的无限远边界条件，应舍弃 项，（3）以（3）代入（2）的球面边界条件，引用母函数比较两边的广义傅里叶系数，得（4）在解（4）中，第二项 ，相当于像电荷产生的电势，这像电荷处在球内极轴 上，带电量为 。
