1、第七章 玻耳兹曼统计习题 7.1 根据公式 证明，对于非相对论粒子：llVaP， =0，1，2，)()21222 zyxnLmps zyxn,有 ,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。VU3证： =llaP )()2122zyxl nnLmVa=)(223zyxl其中 ; Vaul3Lp )()21223zyxl nnVm(对同一 , )l22zyxn= al12)()2zyxn)3(5= =ml 22Lzyx )(5VVU32习题 7.2 试根据公式 证明，对于极端相对论粒子：llVaP， =0，1，2，212)(zyxnLcp zyxn,有 ,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布
2、和费米分布都成立。VU31证： ；llVaP对极端相对论粒子 212)(zyxnLcp类似得 32)VVaPil= Ull 1)(341习题 7.3 当选择不同的能量零点时，粒子第 个能级的能量可以取为 ，ll或以 表示二者之差 。试证明相应的配分函数存在以下关系 ，并ll 11Ze讨论由配分函数 Z1和 Z*1求得的热力学函数有何差别。证： 配分函数 leZl111* Zelll 以内能 U 为例，对 Z1: 1nNU对 Z1*: UNeZZ1lnl1* 习题 7.4 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为 sPNkSln式中 Ps是总粒子处于量子态 s 的概率， , 对粒子的
3、所有1Zesss量子态求和。证法一：出现某状态 几率为 Pss设 S1,S2,Sk状态对应的能级 ；s设 Sk+1 ,Sk+2,Sw状态对应的能级 ；s类似；则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 ；NePsS显然 NPs代表粒子处于某量子态 S 下的几率， 。于是SePS代表处于 S 状态下的粒子数。例如，对于 能级Ses个粒子在 上的 K 个微观状态的概率为： KSS1s kSseSPP1粒 子 数类似写出： kSse1等等。于是 N 个粒子出现某一微观状态的概率。 SPkSse1kSseP1一微观状态数 ， （基于等概率原理）1lnkS WSKSkSSeePP11 k KW
4、KSSSSee1 1lnln将 带入 ；SNPSSSPkNl习题 7.5 固体含有 A、B 两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混合熵为 其中 N 是总原子数，kS)1ln(l!)1(! xxxx x 是 A原子的百分比， （1-x ）是 B 原子的百分比。注意 x1，上式给出的熵为正值。证： 显然 !)1()!21xNnS= =-N = ；k)ln(l)1(lnxxNk由于 1， 故 ；原题得证。)(xx0S习题 7.6 晶体含有 N 个原子。原子在晶体中的正常位置如图中 O 所示。当原子离开正常位置而占据图中位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体这种缺陷叫做弗伦克缺陷。(1
5、)假设正常位置和填隙位置数都是 N，试证明由于在晶体中形成 n 个缺位和填隙原子而具有的熵等于 ；)!(ln2kS(2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为 u。试由自由能 F=nu-Ts 为极小值证明，温度为 T 时，缺位和填隙原子数为 n (设 n N)kTue2证： (1) =)!()!(lnl NkS )!(l(2)略，参见 ex7.7习题 7.7 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以 N 表示晶体中的原子数，n 表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极小的条件证明，温度为 T 时 n
6、(设 n N )其中 W 为原子在表面位置与kTWe正常位置的能量差。证： ,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成 n 个空位需要能量SUF； ,而在 N 个格点上形成 n 个空位，其可能的状态数 nWlks!)(N;利用!ln)l(nl )1(ln!lm)(1!N)(l)l()(l nkTkTkTNWF利用自由能判据 0nF)1()(l)1)(1)l(0 nkknNkk lnTNT； 。,)(kWekTWe习题 7.8 气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为e2022)(ppmxyx 3LdpVzyx证： 设能级 这样构成：同一 中，P 相同，而 P
7、与 P 在变化，于是有：llzxy)3(021lzlzllllappEaN( )l参照教材玻耳兹曼分布证明；有- ,ENlnzp其中 ）（ 221Zyxlm由(1)知: NdpehVzyxpz 3将 代入 并配方得:lzyxpmdehVzyx)2()(3= Npzyxpzyx 2)(2)()2(3 其中 mpyx,2对比 page238 式（7.2.4）得：2323)2( )()(kThnkhVNem整个体积内，分布在 内分zzzyyxx dpdpdp,子数为： zyxzyxzyxmpfemkTNzyx ),()21( 2)(2)(23由条件（3）知 0),(Npdpf zyxzyxz计算得z
8、mpzyx depdepmkT z2)(223 )()1( = zmpyxzyx )(2)(23)()( = 0pNdfzyx 0代入得出分布： 3)(2202“ hdpVezyxppmzyx其中 ,20习题 7.9 (略)结合（7.8 ）求平均值。习题 7.10 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率 ，最概然速v率 和方均根速率 。 mvsv解： 对于二维情形， )(212yxpm（准）连续能量下的简并度： 面积shdy;玻耳兹曼分布： ； 利用yxpkTmdeyx)(212 kTmNehshsNdpehsy
9、xpmyx 22422)(22 yxvkTmdeyx)(22)(:速 度 分 布 率进而推出速率分布： vkNT2习题 7.11 试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度 和相12vr对速率 的概率分布，并求相对速率的平均值 。rv rv解：两分子的相对速度 在 内的几率rvrzyrxdv212 11)()()()(231)()( 21212121 kTme dveVVrx rzryrxzyxvk zyxvvvvkTr同理可求得 分量为 和zyv1, 212)(kTmeryvk212)(kTmervkT232332 )(8)()( rr vkvkTmr eV 引进 ，速度分布变为2 rvk
10、Tmder223)(利用球极坐标系可求得速率分布为： rvkTmder223)(4相对速率平均值 devkTvrvkTmrr r8)2(4203 习题 7.12 试根据麦氏速度分布率证明，速度和平均动量的涨落为 222 )(3)(,83)( emkv解： ； （略） 222)( vv 22习题 7.13 试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于 与 之间的分vd子数为： dekTndkTmv32/3)(证： 在斜圆柱体内,分速度为 的 方向的分子数为:zdtsvVvnfdzzyx;),(*圆 柱stekTmstfv zyxzkTz yx)(2/3* 2对于 :0, 积 分 得从对从 zyxv
11、时间碰撞到 面积上的分子数（ ）dtdsdv0)(223* 2)( dstvekTmn zyxzkTmyx= stdvkTvcos)(/03223得到：若只计算介于 分子数则为：（只对 积分）dv,dvekTmnkTm322/3*)1()(vkT32/3)(习题 7.14 分子从器壁小孔射出，求在射出的分子束中，分子平均速度和方均根速度。解： ； 变量代换dvekTmnvkTnvkm302/3042/3)(2 dxmkTvxnkT2;2045/2/32)()2( x;)8/3()(252/3km 032/3302/3 2)()()( dxeTndvekTnTkm/122/3mk略类 似 求 ,
12、;892/1)()83(/1svmkTkv习题 7.15 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：其中 是常数，求粒子的平均能量。 bxapmzyx22)( a,解： 4)(22 ),(;)2()(1222 据 均 分 律四 个 平 方 项abxapzyxabkT42)/1(*42习题 7.16 气柱的高度为 ，截面为 ，在重力场中。试求解此气柱的内能和HS热容量。解： 配分函数 zyxmgzpmdpdehZzyx)(2321zeSHgxp0323mgHgmh1)(2/52/3设 ；SA)(2/33 mgHeAZ1ln)2/5(ln)/(1)/5(ln / kTgmgHee)(;1)2/
13、5(ln/0 略VvTkgUCNZNU习题 7.17 试求双原子理想气体的振动熵。解： 振动配分函数 eZV12/代入式（7.6.1） )1ln(2/ln1 eZ/代入熵计算式 。VVkTNkS其 中)./ln(习题 7.18 对于双原子分子，常温下 远大于转动的能级间距。试求双原子分子理想气体的转动熵。解：由式（7.5.14）转动配分函数 21IZr其中);/ln(;/ln;2lln11 rTNkSIZ rkIh2习题 7.19 气体分子具有固有电偶极矩 ，在电场 下转动能量的经典表达式0d为：，证明在经典近似下转动配分函数：cos)sin1(202dpIr 01ehZdr解：经典近似下， 视为准连续能量r配分函数 20cossin2121 0 dpedpehdZIIr利用 x2 020cos221)( )2(sin(0 0dehI deIIZ 习题 7.20 同 19 题，试证在高温( )极限下,单位体积电偶极矩（电极10化强度）为： 。kTd320解：电极化强度 )1(1ln00deZN高温极限下， ，保留至 。其中020)(dkTn22VNn习题 7.21 试求爱因斯坦固体的熵。解：将 ，代入至 表达式即得，注意 N 取 3N。(略)heZ12S
